精品解析：陕西省西安中学2026-2027学年高二上学期第一次综合评价数学试题

陕西省西安中学高2028届高二第一次综合评价 数学试题 （时间：120分钟满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为．甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．若，，与的夹角为，则与夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点是边的中点 B. 若，则点在边的延长线上 C. 若，则点是的重心 D. 若，且，则的面积是面积的 10. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 11. 在棱长为的正方体中，点满足（），点在底面内，且，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 直线和平面所成角的余弦值为 D. 线段长度的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数的虚部为，，在复平面内对应的点位于第二象限，则________. 13. 某工厂的三个车间生产同一种产品，产量占比分别为.现在用分层随机抽样方法按比例分配从这三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则车间应抽取___________件；若三个车间产品的平均使用寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则该样本的方差为____________. 附：，其中为每层占比，为每层平均数，为每层标准差，为总体平均数. 14. 如图，一个三棱锥，已知底面是一个等腰直角三角形，，，侧面是一个等边三角形，二面角为，则____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个顶点是，，. （1）求边上的中线所在直线的斜截式方程； （2）求边上的高所在直线的斜截式方程； （3）求边的垂直平分线的斜截式方程 16. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高. （1）求圆柱的表面积和三棱锥的体积； （2）求点到平面的距离. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）证明：为钝角三角形； （2）若的面积为，求的周长． 18. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示． 某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商对未摘下的芒果提出以下两种收购方案： 方案①：所有芒果以9元/千克收购； 方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购． （1）求抽取的100个芒果质量的平均数； （2）若按分层随机抽样从质量为，的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率； （3）种植园选择哪种方案获利更多． 19. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，． （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）若点在线段都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安中学高2028届高二第一次综合评价 数学试题 （时间：120分钟满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为．甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件的概率性质，先计算甲、乙两人均未猜对的概率，再用1减去该概率得到所求结果。 【详解】设事件为“甲猜对谜语”，事件为“乙猜对谜语”，，，，， 由题意可知与相互独立，则 与相互独立， “甲、乙至少有1人猜对”的对立事件为“甲、乙两人均未猜对”， 所以甲、乙至少有1人猜对的概率为： . 2. 已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据z轴上点的特点，结合空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为， 因为点M到点与到点的距离相等， 所以， 两边同时平方，解得，所以点M的坐标为. 3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量在向量上的投影向量的定义求解. 【详解】因为空间向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量是， 故选：A 4. 已知平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．若，，与的夹角为，则与夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，， 所以， 所以. 所以. 又. 所以， 又，所以. 5. 已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】分析充分性： 已知，设直线的方程为：， 当时，，在轴上的截距为， 当时，，在轴上的截距为， 所以直线在两坐标轴上的截距相等，即充分性成立； 分析必要性： 已知直线在两坐标轴上的截距相等，分两种情况： （1）截距不为0时，设两截距均为，则直线方程为，即，此时斜率； （2）截距为0时，直线过原点，此时斜率不一定为. 所以必要性不成立. 6. 已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【详解】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 7. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为直线上任意一点，过作，垂足为，利用向量表示，，再结合向量模的性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设 ，， 则 ， 因为，所以 即 所以，所以， 所以， ∴当时， 取得最小值， 故直线与之间的距离是 故选：B. 8. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，则， ， ， ， ， ，， ， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则，故选项D正确. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点是边的中点 B. 若，则点在边的延长线上 C. 若，则点是的重心 D. 若，且，则的面积是面积的 【答案】ACD 【解析】 【详解】若，则， 即，所以点是边的中点，故A正确； 若，则，即， 所以点在边的延长线上，故B错误； 设中点，若，则， 所以点是的重心，故C正确； 若，且，则， 设，则有且 可知三点共线，同时有为的中点， 则的面积是面积的，故D正确． 10. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A：直线的方程可化为，由，解得， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B：直线的斜率为，直线与直线垂直， 则直线得斜率，故B错误. 对于C：由，令，解得，依题意，解得，故C正确； 对于D：依题意，因，由正切函数的性质，可得，故D错误. 11. 在棱长为的正方体中，点满足（），点在底面内，且，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 直线和平面所成角的余弦值为 D. 线段长度的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标规律与点的轨迹方程，再逐一验证各选项 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为， 则，，，，. 由得，即； 因为在上底面内，故设， 由得，化简得， 即的轨迹是上底面内以为圆心，半径的一段圆弧（如图所示）. 选项A：时，，，， 两向量不共线，故不平行于，A错误； 选项B：时，，，B正确； 选项C：直线与平面所成角为，其在平面内的射影为，，故，C错误； 选项D：的坐标均为，故长度为上底面中两点距离， 其中在线段上，在上底面内上（不含）， 圆心到线段的距离为，故， 当且仅当三点共线且时等号成立. 故最小值为，D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数的虚部为，，在复平面内对应的点位于第二象限，则________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意设， 因为，所以，解得（舍去）或， 所以. 13. 某工厂的三个车间生产同一种产品，产量占比分别为.现在用分层随机抽样方法按比例分配从这三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则车间应抽取___________件；若三个车间产品的平均使用寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则该样本的方差为____________. 附：，其中为每层占比，为每层平均数，为每层标准差，为总体平均数. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空：根据分层抽样按比例抽取即可得到车间应抽取的件数；空：由分层抽样的方差公式即可求解. 【详解】空：由分层抽样方法可得：抽取车间应抽取的件数为：； 空：样本的总体平均数为：， 样本的总体方差为：. 故答案为：；. 14. 如图，一个三棱锥，已知底面是一个等腰直角三角形，，，侧面是一个等边三角形，二面角为，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，结合已知条件计算相关边长，过点作平面，垂足为，连接，利用几何法找到二面角的平面角，进而计算出，利用几何法计算，进而求出． 【详解】取中点，连接，已知侧面是一个等边三角形， 故，， 底面是一个等腰直角三角形，，则，， 过点作平面，垂足为，连接， 因为平面，则， 又，则平面， 因为平面，则， 已知二面角为，则在两侧，故， 则，， 由，得， 作，则， 则沿方向的距离， 垂直于方向的距离， 故， 故． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个顶点是，，. （1）求边上的中线所在直线的斜截式方程； （2）求边上的高所在直线的斜截式方程； （3）求边的垂直平分线的斜截式方程 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的中点坐标，进而得到所求直线斜率，根据点斜式得到方程，再转化为斜截式即可； （2）先求出直线的斜率，进而得到高的斜率，根据点斜式得到方程，再转化为斜截式即可； （3）根据（1）的中点坐标及（2）的斜率得到方程即可． 【小问1详解】 由题意得的中点坐标， 所以， 所以上的中线方程为，整理得斜截式方程为. 【小问2详解】 所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的斜率， 又上的高过点， 则上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为. 【小问3详解】 由（2）得，与垂直的直线斜率为， 由（1）得的中点坐标， 所以的垂直平分线的方程为，整理得斜截式方程为. 16. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高. （1）求圆柱的表面积和三棱锥的体积； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据底面半径，直接求出圆柱表面积，求出三角形APB的面积，进而求出三棱锥的体积； （2）以为坐标原点，垂直平分线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用向量法公式求出点到平面的距离. 【详解】解：（1）底面半径， 则圆柱表面积：， 为圆O直径，则， 中，， 则； （2）以为坐标原点，垂直平分线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的一个法向量为， 则有：. 取 . 则有：. 其中点到平面的距离为. 【点睛】本题考查圆柱表面积，三棱锥的体积的求法，以及空间向量法求点到面的距离，考查学生计算能力，是中档题. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）证明：为钝角三角形； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1）证明：在中，由正弦定理得， 即， 则，又，， 又，由正弦定理得，，所以， 由余弦定理得，即A为钝角， 所以为钝角三角形． （2）9 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理结合两角和的正弦公式，对已知条件进行边角互化，可得，，再利用余弦定理即可判断，从而得出证明；（2）根据（1）中所求，可得，再利用面积公式建立等量关系，即可求出，从而求出，即可求出三角形周长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，由（1）知，则， 由，得，所以，则， 所以，因此，所以的周长为9． 18. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示． 某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商对未摘下的芒果提出以下两种收购方案： 方案①：所有芒果以9元/千克收购； 方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购． （1）求抽取的100个芒果质量的平均数； （2）若按分层随机抽样从质量为，的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率； （3）种植园选择哪种方案获利更多． 【答案】（1） （2） （3）选择方案②获利更多 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图可求得抽取的100个芒果质量的平均数； （2）利用分层抽样求得每组所抽取的个数，进而利用古典概型概率公式求解即可； （3）分别求得两种方案种植园的获利情况可得结论. 【小问1详解】 抽取的100个芒果质量的平均数为； 【小问2详解】 因为的频率为，的频率为， 所以分层抽样比例为， 所以所抽取的5个芒果中有2个在内，记为； 有3个在内，记为， 从5个芒果中任取2个，样本空间，共10个样本点， 记“这两个芒果取自同一组”，则，共4个样本点. 所以这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为； 【小问3详解】 因为芒果质量的平均数为255克， 所以按方案①获利为元； 按方案②：质量低于250克的频率为， 质量大于等于250克的频率为， 所以按方案②获利为元， 又因为，所以种植园选择方案②获利更多. 19. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，． （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）若点在线段都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 【答案】（1） 在梯形中， ，，， ，， ，， 平面平面，平面平面， 平面，平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理证明，然后由面面垂直的性质定理可证； （2）取中点，连接，，证明为二面角的平面角，然后利用余弦定理求解可得； （3）先作出平面与平面的交线，然后作出二面角的平面角，令，，用表示出，然后可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，， ，，， ，，为二面角的平面角． 由（1）知平面，平面，， ，， ，， ． 【小问3详解】 当与，都不重合时，令，， 延长交的延长线于，连接， 在平面与平面的交线上， 在平面与平面的交线上， 平面平面， 过作交于，连接， 由（1）知，， 又，平面，， 平面，平面，． 又，平面，， 平面，，． 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，整理得， 所以 因为为直角三角形，为斜边上的高，所以， 所以， ，， ，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $