陕西省西安中学2026-2027学年高二上学期第一次综合评价数学试题

陕西省西安中学高2028届高二第一次综合评价 数学试题 (时间：120分钟满分：150分命题人：陈德炜) 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求) 1.为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活 动.甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为号，乙猜对的概率为子，甲和乙猜 对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为() A月 B c D. 5 2.已知点M在z轴上，且点M到点A(1,0,2)与到点B(1,-3,1)的距离相等，则点M 的坐标为() A.(0,0,3) B.(0,0,-3) C.(00,-2) D.(0,0,2) 3.已知空间向量ā=(2，-2，-1)，b=(3,0,),则向量6在向量ā上的投影向量是() A(g9引 10 10 c. D. 4. 已知平面上的三个力，万，作用于一点，且处于平衡状态.若F=N,= 2N,与瓦的夹角为，则万与F夹角的正弦值为() A. 2W7 B.27 C.-27 D.-27 7 5.已知直线l的斜率为k,p:k=-1,9:直线l在两坐标轴上的截距相等，则P是9的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 第一次综合评价数学试题 第1页，共6页 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 6.已知A(-3,0),B(3,2),若过点(1，-2)的直线1与线段AB(含端点)总有公共点，则 直线1的斜率的取值范围为() A.[] c.（m+o D.（2[2w 7.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距 离的最小值.在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD中，直线AC与BC之间的距离是 () A.√2 B.3 3 C. D. 8.已知平行六面体ABCD-AB,CD的所有棱长均为2， cos∠B4D=cos∠BM4=cos∠D4=石，则异面直线4C与BC夹角的余弦值为（) A.3 3 B.43 9 C.2 7 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是() A,若M=)西+)AC,则点M是边BC的中点 B.若AM=2AB-AC,则点M在边BC的延长线上 C.若AM=-BM-CM,，则点M是△ABC的重心 D.若AM=xB+yAC,且+y=之，则aMBC的面积是△MBC面积的 10.已知直线l:y=x+6k-9,则下列说法正确的是（) A.直线1恒过定点(-6，-9) 第一次综合评价数学试题 第2页，共6页 B.若直线1与直线2x+y-1=0垂直，则k=月 C.若直线l在x轴上的截距为3，则k=1 D.若k≥5，则直线的倾斜角a的取值范围为 11.在棱长为4的正方体ABCD-AB,CD,中，点M满足AM=AA+14B+元AD (∈[0，])，点N在底面AB,CD内，且BN=3√2，则() A.当=1时，AM∥AB B. 当元=2时，M=26 C.直线BN和平面A4CD,所成角的余弦值为 3 D.线段MN长度的最小值为√ 第Ⅱ卷（非选择题) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知复数z的虚部为√5，=2，在复平面内z对应的点位于第二象限，则z= 13.某工厂的A,B,C三个车间生产同一种产品，产量占比分别为20%，50%，30%.现在 用分层随机抽样方法按比例分配从这三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使 用寿命的测试，则A车间应抽取 件；若A,B,C三个车间产品的平均使用寿命 分别为200,220,210小时，方差分别为30,20,40，则该样本的方差为 附：=号+（民-门，其中为每层占比，无为每层平均数，马为每层标准 差，x为总体平均数 14.如图，一个三棱锥P-ABC,已知底面ABC是一个等腰 直角三角形，∠ACB=90°，AC=2,侧面PAC是一个等边三 角形，二面角P-AC-B为150°，则PB= B 第一次综合评价数学试题 第3页，共6页 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 15.(本小题13分) 已知△ABC的三个顶点是A(0,4),B(-1,1),C(3,-I). (I)求边BC上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边BC上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边BC的垂直平分线的斜截式方程. 16.(本小题15分) 如图，己知点P在圆柱OO的底面圆O上，∠AOP=120°，圆O的直径AB=4,圆柱的 高00=3. 01 B P (1)求圆柱的表面积和三棱锥A-APB的体积： (2)求点A到平面APO的距离. 17.(本小题15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(cosB+1)+b(cosA+)=3c, sin A=2sin B. (1)证明：△ABC为钝角三角形； ②若21C的面积为3，求8C的周长。 第一次综合评价数学试题 第4页，共6页 18.(本小题17分)》 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在 [100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400)(单位：克)中， 经统计得到的频率分布直方图如图所示. 频率组距 0.006 0.005 0.004 0.003 0.0014 0.0006 0100150200250300350400质量/克 某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值用样本估计总 体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商对未摘下的芒果提出以 下两种收购方案： 方案①：所有芒果以9元/千克收购； 方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒 果以3元/个收购， (1)求抽取的100个芒果质量的平均数： (2)若按分层随机抽样从质量为[200,250)，[250,300)的芒果中随机抽取5个，再从这 5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率： (3)种植园选择哪种方案获利更多. 第一次综合评价数学试题 第5页，共6页 19.(本小题17分) 如图，在梯形ABCD中，ABIICD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°，四边形ACFE为矩 形，平面ACFE⊥平面ABCD,CF=I. B (I)求证：BC⊥平面ACFE; (2)求二面角A-BF-C的平面角的正弦值； (3)若点M在线段EF,(M与E,F都不重合)上运动，设平面MAB与平面FCB所 成的角为(0≤90)，试求cos0的范围， 第一次综合评价数学试题 第6页，共6页