贵州贵阳市贵州大学附属中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

贵州大学附属中学高一年级第一次月考 数学试卷 命题人：徐海利　　审题人：陶利娜 2026 年 10 月 注意事项： 1．本试题共150分，考试时长120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、报名号填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题（每题5分，共计40分） 1．（5分）集合 可化简为（　　） A． B． C． D． 2．（5分）以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（　　） A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数 ，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数 ，使 3．（5分）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（　　） A．①③ B．②④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 4．（5分）已知全集 ，集合 = { 或 }， = {}，那么阴影部分表示的集合为（　　） A．{} B．{} C．{ 或 } D．{} 5．（5分）设 ， 是实数，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（5分）已知 ，且 ，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（5分）已知 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 8．（5分）下列一元二次不等式的解集正确的选项是（　　） ① 的解集 { 或 }； ② 的解集 {}； ③ 的解集为 ； ④ 解集为 ． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③ 二、多选题（每题6分，共计18分） 9．（6分）已知集合 = {}，集合 = {}，能使 成立的充分不必要条件有（　　） A． B． C． D． 10．（6分）已知集合 为全集，集合 ，， 均为 的子集．若 ，，，则（　　） A． B． C． D． 11．（6分）非空数集 ，同时满足如下两个性质：（1）若 ，，则 ；（2）若 ，则 ．称 为一个“封闭集”，以下说法正确的是（　　） A．若 为一个“封闭集”，则 B．若 为一个“封闭集”，且 ，，则 C．若 ， 都是“封闭集”，则 是“封闭集”的充要条件是 或 D．若 ， 都是“封闭集”，则 是“封闭集”的充要条件是 或 三、填空题（每题5分，共计15分） 12．（5分）命题“，”的否定是 　　　　． 13．（5分）已知 ： 或 ，： 或 ，若 是 的必要条件，则实数 的取值范围是 　　　　． 14．（5分）“学科阅读课程”是贵州大学附属中学学校提升学生综合素养必开的课程之一，也深受学生们的喜爱．在对“数学阅读”与“物理阅读”这两项理科阅读问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“数学阅读”活动，87%的学生喜欢“物理阅读”活动，则我校既喜欢“数学阅读”又喜欢“物理阅读”活动的学生数占我校学生总数的比例是 　　　　． 四、解答题（共5题77分） 15．（13分）解答下列各题： （1）比较下列各组中两个代数式的大小： ⅰ） 与 ； ⅱ） 与 ． （2）已知 ，，求 的范围． 16．（15分）已知集合 = {}， = {}． （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）若 ，求实数 的取值范围． 17．（15分）已知 ，命题 ：，不等式 恒成立；命题 ：，使得 成立． （1）若 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若 和 一真一假，求实数 的取值范围． 18．（17分）已知集合 = {}，集合 = { 或 }． （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）设 ：，：，若 是 的充分条件，求实数 的取值范围． 19．（17分）已知集合 （，），． （1）若 ，求 ； （2）设 中所有的元素均为正数， 中元素的个数为 ，求 的最小值； （3）若 ，（），求 ． 高一数学　第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州大学附属中学高一年级第一次月考 数学试卷参考答案与试题解析 一、单选题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D B D A D A 1．（5分）集合 可化简为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解方程，再用“”筛掉不是整数的根． 【解答】解：由 得 或 ． ， 舍去， 该集合可化简为 ． 故选：C． 2．（5分）以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（　　） A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数 ，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数 ，使 【答案】B 【分析】“存在量词命题”要求句子里有“存在”“至少有一个”这类词，还要能举出具体例子． 【解答】解： 是省略了“任意”的全称命题，且锐角三角形的内角都是锐角，说法本身也不贴切，不符合； 含“至少有一个”，是存在量词命题，取 时 成立，是真命题，符合； 是全称命题，且 是有理数，是假命题，不符合； 是存在量词命题，但 时 ，不可能大于 ，是假命题，不符合． 故选：B． 3．（5分）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（　　） A．①③ B．②④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 【答案】D 【分析】逐条比对：集合相等看元素是否完全一样；子集看“左边每个元素是否都在右边”； 是没有元素的集合， 是含一个元素的集合，两者不能混． 【解答】解：①集合的元素与顺序无关，正确； ②两个集合相等，自然互为子集，正确； ③ 不含任何元素， 含一个元素 ，二者不相等，错误； ④ 含元素 ，而 不含任何元素，错误； ⑤空集是任何集合的子集，正确； ⑥ 是 的元素，正确． 不正确的是③④． 故选：D． 4．（5分）已知全集 ，集合 = { 或 }， = {}，那么阴影部分表示的集合为（　　） A．{} B．{} C．{ 或 } D．{} 【答案】B 【分析】阴影是“ 中不属于 的部分”，即 ；先求 再与 取交集． 【解答】解： = { 或 }， = {}， 又 = {}， = {}． 故选：B． 5．（5分）设 ， 是实数，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】两个条件互相都推不出，各举一个反例即可． 【解答】解：取 ，，则 ，但 ， 不是充分条件； 取 ，，则 ，但 ， 不是必要条件． 是既不充分也不必要条件． 故选：D． 6．（5分）已知 ，且 ，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 与 先定出 的范围，再比较三个量的大小． 【解答】解：，，又 ，， ，． 又 ，，， 且 （因为 ）， ． 故选：A． 7．（5分）已知 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】凑成“积为定值”：把 拆成 ，再用基本不等式． 【解答】解：，， ， 当且仅当 ，即 时取等号， 最小值为 ． 故选：D． 8．（5分）下列一元二次不等式的解集正确的选项是（　　） ① 的解集 { 或 }； ② 的解集 {}； ③ 的解集为 ； ④ 解集为 ． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③ 【答案】A 【分析】逐个解出解集再对照．注意②中 只要 即可，③把二次项系数化为正数再看判别式． 【解答】解：① 即 ，解集为 { 或 }，正确； ② 即 ，解集为 {}，正确； ③ 即 ，，解集为 ，正确； ④ 中 ，解集为 ，错误． 正确的是①②③． 故选：A． 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9．（6分）已知集合 = {}，集合 = {}，能使 成立的充分不必要条件有（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】 就是 ，先把 的充要条件求出来，再找“能推出它、但推不出反方向”的选项． 【解答】解：，， 又 = {}， = {}，，即 ． ：取 ，此时 ，不是充分条件，错误； ：取 ，此时 ，不是充分条件，错误； ： 一定能推出 ，但 时不满足 ，是充分不必要条件，正确； ： 一定能推出 ，但 时不满足 ，是充分不必要条件，正确． 故选：CD． 10．（6分）已知集合 为全集，集合 ，， 均为 的子集．若 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】 说明 中的元素都不在 中；再结合“子集取补集后方向相反”判断 、；、 用反例或直接推理． 【解答】解：：，， 又 ，， ，正确； ：， 中有元素属于 ，而 ， 这些元素不在 中，，错误； ： 不一定成立（题目没有给“并集是全集”的条件），错误； ：，，正确． 故选：AD． 11．（6分）非空数集 ，同时满足如下两个性质：（1）若 ，，则 ；（2）若 ，则 ．称 为一个“封闭集”，以下说法正确的是（　　） A．若 为一个“封闭集”，则 B．若 为一个“封闭集”，且 ，，则 C．若 ， 都是“封闭集”，则 是“封闭集”的充要条件是 或 D．若 ， 都是“封闭集”，则 是“封闭集”的充要条件是 或 【答案】ABD 【分析】“封闭集”要求对乘法、取倒数封闭且非空．、 直接验证；、 要弄清“充要条件”两个方向，能用反例的先反例． 【解答】解：： 非空，取 ，由性质（2）得 ， ，正确； ：，，再由（1）得 ，正确； ：取 ，，二者都是封闭集， 此时 也是封闭集，但 、 都不成立，“充要条件”不成立，错误； ：若 或 ，则 等于其中一个，当然是封闭集（充分性）； 反过来，若 是封闭集，而 、 都不成立， 则存在 且 ， 且 ， 由（2） 且 ； 且 ． ， 或 ： 若 ，则 ，与 矛盾； 若 ，则 ，与 矛盾． 或 （必要性），正确． 故选：ABD． 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12．（5分）命题“，”的否定是 　　　　． 【答案】， 【分析】全称量词命题的否定：量词换成“存在”，结论反过来． 【解答】解：原命题是“对任意 ，都有 ”， 其否定为“存在 ，使 ”． 故答案为：，． 13．（5分）已知 ： 或 ，： 或 ，若 是 的必要条件，则实数 的取值范围是 　　　　． 【答案】 【分析】 是 的必要条件，意思是 ，即 的解集包含在 的解集里． 【解答】解：记 的解集为 ， 的解集为 ． 是 的必要条件，． ①当 ，即 时，， 成立； ②当 ，即 时， ，此时 取不到的区间是 ， 要使 ，需 ，这要求 ，即 ，与 矛盾． ． 故答案为：． 14．（5分）“学科阅读课程”是贵州大学附属中学学校提升学生综合素养必开的课程之一，也深受学生们的喜爱．在对“数学阅读”与“物理阅读”这两项理科阅读问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“数学阅读”活动，87%的学生喜欢“物理阅读”活动，则我校既喜欢“数学阅读”又喜欢“物理阅读”活动的学生数占我校学生总数的比例是 　　　　． 【答案】69% 【分析】“至少一项”对应并集，“两项都喜欢”对应交集，用 ． 【解答】解：设喜欢“数学阅读”的学生构成集合 ，喜欢“物理阅读”的构成集合 ， 则 ，，， 由 得 ． 既喜欢“数学阅读”又喜欢“物理阅读”的学生占 ． 故答案为：69%． 四、解答题（共5题，77分） 15．（13分）解答下列各题： （1）比较下列各组中两个代数式的大小： ⅰ） 与 ； ⅱ） 与 ． （2）已知 ，，求 的范围． 【答案】（1）ⅰ）；ⅱ）；（2） 【分析】比较大小最稳妥的办法是作差，再看差的符号；配方后如果只剩完全平方加正数，符号就一目了然．第（2）问是不等式性质的基本用法，先求 再同向相加． 【解答】解：（1）ⅰ）作差： ， ，，； ⅱ）作差： ， ，， 该差大于 ， ． （2），，又 ， ，即 ． 16．（15分）已知集合 = {}， = {}． （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1） 意思是 要把 那一段“补上”，即 ；（2） 就是 ，此时必须先讨论 是否为空集． 【解答】解：（1），． ， 区间 = {} 必须被 覆盖，即 ， ，解得 且 ，． （2），． ①当 ，即 时，，符合； ②当 ，即 时，需 且 ， ． 综上所述，． 17．（15分）已知 ，命题 ：，不等式 恒成立；命题 ：，使得 成立． （1）若 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若 和 一真一假，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 或 【分析】“恒成立”找左边式子的最小值，“存在”找右边式子的最大值，把命题翻译成关于 的不等式再解；第（2）问按“ 真 假”和“ 假 真”两类讨论． 【解答】解：（1） 在 上单调递减， 当 时取最小值 ， 要使不等式恒成立，只需 ， 即 ，，． （2） 使 成立，，即 为真时 ． ①若 真 假，则 且 ，； ②若 假 真，则（ 或 ）且 ，． 综上所述， 或 ． 18．（17分）已知集合 = {}，集合 = { 或 }． （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）设 ：，：，若 是 的充分条件，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 或 【分析】 是两条射线的并集，中间空出 ． 就是 整段落在这个“空隙”里； 则是 完全避开这个空隙． 【解答】解：（1）， 区间 = {} 中的数既不能 ，也不能 ， ，解得 且 ， ． （2） 是 的充分条件，． ①当 ，即 时，， 成立； ②当 时， 中空出 ，要用它“避开” = {}， 需 或 ，即 或 ． 综上所述， 或 ． 19．（17分）已知集合 （，），． （1）若 ，求 ； （2）设 中所有的元素均为正数， 中元素的个数为 ，求 的最小值； （3）若 ，（），求 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 里的数都是 中两个不同元素作商（分子小、分母大）。（1）把六对数逐一算出来；（2）把所有元素按大小排好，最小元素除以第 、、 个元素得到的三个商互不相同，所以至少 个；（3）由 中负数的个数定出 有 个负数，再用“最小商”“最大商”和元素和把 解出来． 【解答】解：（1）， 能作商的只有以下 对： ，，，，，， ． （2）把 中四个正数按从小到大排列为 ，则 ， 这三个商互不相同， 中至少有 个元素； 取 时，，恰有 个元素， 的最小值为 ． （3） 中有两个负数（ 与 ，另有 也是负数），说明 中有正有负． 把 中元素按从小到大排列为 ． 若只有一个负数，则负数作商（分子为负、分母为正）会得到 个互不相同的负数，与 中负数个数不符； 中恰有 个负数、 个正数，即 ． 此时 中的负数来自 、、、，正数来自 与 ． 中最小的（最负的）是 ，，即 ； ，且 ，，即 ； 且不等于 （否则与 重复），，即 ； 于是 ，正好是 中的 ． 再由 ，，与 中 、 吻合． ，， ． 高一数学 参考答案与试题解析　第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $