精品解析：湖南永州市零陵区永州柳子中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测试卷

永州柳子中学九年级数学学科阶段性检测 本卷满分120分，考试时间120分钟 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的甲、乙两个平行四边形相似，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，在由单位长度为1的小正方形组成的网格中，已知为的角平分线，为的角平分线，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为习字格边框的黄金分割点（），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点是与的位似中心，若，，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，中，点、分别是边、上的点，且，下列结论不一定能得出的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（ ） A. ①和②相似 B. ①和③相似 C. ①和④相似 D. ②和④相似 8. 如图①是一种沙漏计时器，某一时刻该沙漏计时器中沙子的情况如图②所示，一段时间后该沙漏计时器中沙子的情况如图③所示，则此时下半部分沙面的宽度为（ ） A. B. C. D. 9. 现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同但比它大的矩形，则至多要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）．的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 18 10. 如图，在中，，相交于点，点在上，且，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知，则________． 12. 如图，与交于点，若使得，则可以添加的一组条件为__________． 13. 如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 14. 如图，已知，且相似比为，那么直线的图象必定经过________象限． 15. 如图，在中，是的中点，是上靠近的三等分点，与交于点，若，则__________． 16. 如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则_______． 三、解答题（本大题共8个小题，其中17-18题各6分，19-20题各8分，21-22题各10分，23-24题各1 2分，共72分） 17. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 18. 如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 19. 如图，在的正方形网格图中，与的顶点都在小正方形的格点上，且这两个三角形关于点位似． （1）在图中标出位似中心点；（保留作图痕迹） （2）与的相似比是 ； （3）将平移到的内部得到，在图中画出（的顶点均在小正方形的格点上） 20. 如图是一个照相机成像的示意图，像高，景物高为，为水平视线，根据物体成像原理可知：． （1）当焦距是时，能拍摄外（物距）高为多少的景物? （2）若要完整地拍摄高为的景物，物距为，像高不变，则照相机的焦距应调整为多少毫米? 21. 如图，在平行四边形中，为边上的点（不与点，重合），连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，且的面积为1，求四边形的面积． 22. 如图，点E为边上一点，过点C作，交的延长线于点D，交的延长线于点F，且． （1）求证：； （2）如果，求证：． 23. 如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是多少秒？ 24. 解答下列问题 （1）如图①，中，点为边的中点，过点作交边于点，点在边上，直线交于点，交于点．若，，则______． （2）如图②，中，点在的延长线上，直线交于点交于点．求证：； （3）如图③，中，，，，若分别是边的中点，连接，点是边上任意一点，连接分别交于点，求周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永州柳子中学九年级数学学科阶段性检测 本卷满分120分，考试时间120分钟 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将每组线段按长度从小到大排序，验证最小与最大线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，相等则该组线段成比例，逐项判断即可． 【详解】解：A、排序得，，，， ，， ，该组线段不成比例． B、排序得，，，， ，， ，该组线段不成比例． C、排序得，，，， ，， ，该组线段成比例． D、排序得，，，， ，， ，该组线段不成比例． 2. 如图所示的甲、乙两个平行四边形相似，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据“相似多边形的对应边成比例”即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得． 3. 如图，在由单位长度为1的小正方形组成的网格中，已知为的角平分线，为的角平分线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相似三角形性质：相似三角形对应角平分线的长度比等于相似比，解答即可； 【详解】解：观察网格可得，，点共线， ∴， ∴， ∵，， ∴两个三角形的相似比为， ∵、分别是两个相似三角形的对应角平分线， ∴． 4. 黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为习字格边框的黄金分割点（），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由黄金分割的定义列式后，逐项验证即可． 【详解】解：由题意可知，则四个选项中只有正确． 5. 如图，点是与的位似中心，若，，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由位似图形的性质得，，由相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 与是位似图形， ， ∴， ， ， 解得：． 6. 如图，中，点、分别是边、上的点，且，下列结论不一定能得出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可判断A、B选项正确，根据得出，根据相似三角形的性质可判断C选项正确，D选项不一定能得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，故B选项正确，不符合题意； ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，，故C选项正确，不符合题意； ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定能得出，故D选项符合题意． 7. 如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（ ） A. ①和②相似 B. ①和③相似 C. ①和④相似 D. ②和④相似 【答案】B 【解析】 【分析】由对顶角相等及已知线段比例，利用相似三角形判定定理即可得出结论． 【详解】解：由图可知 即①和③相似． 8. 如图①是一种沙漏计时器，某一时刻该沙漏计时器中沙子的情况如图②所示，一段时间后该沙漏计时器中沙子的情况如图③所示，则此时下半部分沙面的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出点O到的距离为，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：根据题意得，点O到的距离为，和之间的距离为， ∴点O到的距离为， 根据题意得，， ∴， ∴． 9. 现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同但比它大的矩形，则至多要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）．的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】如果与它形状一样且比它大，所以宽变成3张，长变成张，一共使用了18张正方形的纸，这样所用正方形纸片数量最多，由此得出答案即可． 【详解】解：∵正方形纸片大小相同， ∴拼一个与它形状相同但比它大的长方形，至少长和宽各是原来的3倍， ∴需要正方形的纸片是（张）． 10. 如图，在中，，相交于点，点在上，且，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形对边平行的性质判定，求出线段比判断①；根据两边对应成比例且夹角相等判断②；利用相似三角形周长比等于相似比判断③；通过面积比例关系计算判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①错误； 在和中，， ∵，， ∴， ∴与不相似，故②错误； ∵，且相似比为， ∴，故③正确； ∵，， ∴，即为中点， 设，则， ∴， ∴， ∵，且相似比为， ∴， ∴ ， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有③④，共2个． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例设参数表示和，代入所求式子化简计算即可． 【详解】解： 可设，（） 将，代入 得． 12. 如图，与交于点，若使得，则可以添加的一组条件为__________． 【答案】或或或（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据，然后利用两角分别相等的两个三角形相似或两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴； 或∵，， ∴； 或∵， ∴， 又∵， ∴； 或∵，， ∴； 综上可知答案不唯一， 故答案为或或或（答案不唯一） 13. 如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平移的性质可知，，，进而可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：等边三角形沿边上的高线平移到， 且与边相交于、点， ，， ，， ， ， ， ， 的阴影部分面积记为，， ， 解得． 14. 如图，已知，且相似比为，那么直线的图象必定经过________象限． 【答案】一、三、四 【解析】 【分析】先根据相似三角形的性质得出，然后根据一次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，其相似比为k， ∴， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴直线的图象必定经过一、三、四象限． 15. 如图，在中，是的中点，是上靠近的三等分点，与交于点，若，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】过点E作，交于点，证明，，利用三角形相似的性质，代换证明即可； 【详解】解：过点E作，交于点， 在中，∵是的中点， ∴， ∵是上靠近的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则_______． 【答案】81米## 【解析】 【分析】由可得即，易得；同理依次求出、、、． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴，解得：； 同理：， ∴，即， ∴，解得：； 同理：， ∴，即， ∴，解得：； 同理：， ∴，即， ∴，解得：． 三、解答题（本大题共8个小题，其中17-18题各6分，19-20题各8分，21-22题各10分，23-24题各1 2分，共72分） 17. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）60 【解析】 【分析】（1）设，，，将其代入分式，消去参数k，算出分式结果； （2）同样设，，，代入求出k，再把k代入计算结果． 【小问1详解】 解：设，，． ． 【小问2详解】 解：设，，． ， ，解得， ，，， ． 18. 如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】利用题目条件推出，从而，代入值可得的长． 【详解】解：，， ， ， ，，， ， ． 19. 如图，在的正方形网格图中，与的顶点都在小正方形的格点上，且这两个三角形关于点位似． （1）在图中标出位似中心点；（保留作图痕迹） （2）与的相似比是 ； （3）将平移到的内部得到，在图中画出（的顶点均在小正方形的格点上） 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2） （3） 如图，即为所求， ． 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移变换，找位似中心，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接、、，交点即为所求； （2）由图可得，，结合相似三角形的性质即可得解； （3）根据平移的性质作图即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得：，， 故与的相似比是； 【小问3详解】 略 20. 如图是一个照相机成像的示意图，像高，景物高为，为水平视线，根据物体成像原理可知：． （1）当焦距是时，能拍摄外（物距）高为多少的景物? （2）若要完整地拍摄高为的景物，物距为，像高不变，则照相机的焦距应调整为多少毫米? 【答案】（1）能拍摄外高为的景物 （2）相机的焦距应调整为 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，将相关数据代入求解即可； （2）由（1）的关系式，将相关数据代入求解即可． 【小问1详解】 解：， ． 又， ， ． ∵像高，焦距是，物距为， 解得， ∴能拍摄外高为的景物； 【小问2详解】 解：∵拍摄高为的景物，物距为，像高不变， ∴由（1）可得， 解得， ∴相机的焦距应调整为． 21. 如图，在平行四边形中，为边上的点（不与点，重合），连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，且的面积为1，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得，得．由，得，从而可得结论； （2）利用平行四边形的性质证明，利用相似三角形的性质可得，由 ， ，得 ， ，由的面积为1，得，即得． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解： ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∴． 22. 如图，点E为边上一点，过点C作，交的延长线于点D，交的延长线于点F，且． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ∴． 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据相似三角形的性质、对顶角相等和三角形内角和即可得证； （2）根据等腰三角形的三线合一即可得出，再证明，根据相似三角形的性质得出，根据等式的性质和等量代换即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是多少秒？ 【答案】或 【解析】 【分析】设运动时，根据相似三角形的判定和性质，，分当时，和当时，两种情况讨论，利用相似三角形的对应线段成比例解得的值即可． 【详解】解：设运动时，以为顶点的三角形与相似，则， ， ， 当时，有， ， ， ； 当时，有， ， ， ， 当以为顶点的三角形与相似时，运动的时间是或． 24. 解答下列问题 （1）如图①，中，点为边的中点，过点作交边于点，点在边上，直线交于点，交于点．若，，则______． （2）如图②，中，点在的延长线上，直线交于点交于点．求证：； （3）如图③，中，，，，若分别是边的中点，连接，点是边上任意一点，连接分别交于点，求周长的最小值． 【答案】（1） （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ，，，， ， ， ，， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，通过证明，得到是的中位线，是的中点，根据，得到； （2）根据平行四边形的性质得到，，进而根据对应线段成比例和等量代换即可得到答案； （3）以所在直线为对称轴作点的对称点，连接、连接交于点，通过证明为的中位线，得到，连接，即当三点共线时，此时周长最小，根据勾股定理和的直角三角形的性质得到，进而得到周长最小值． 【小问1详解】 解：如图，连接，交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， 是的中点， ， 是的中位线，是的中点， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，以所在直线为对称轴作点的对称点，连接、连接交于点， ， ，且分别是边的中点， 由（1）可知，是的中点， 为的中位线， ， ， ， 连接，即当三点共线时，此时与的交点形成的的周长最小， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在中，， 的最小值为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $