精品解析：湖南岳阳市岳阳楼区长岭中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027年度九年级第一次月考 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列每个选项的两个图形，是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似图形的概念即可作出判断． 本题考查了相似图形的概念：形状相同，大小不同的两个图形是相似图形． 【详解】解：由相似图形的概念知，选项C中的两个图形相似 故选：C 2. 若，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质，计算判断即可． 本题考查了比例的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由得， A.由得，不符合题意； B. 不符合题意； C. 符合题意； D. 由得，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（ ） A. 1.5 B. 4.5 C. 7.5 D. 10.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题关键．先根据平行线分线段成比例可得，则可得的长，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 4. 如图，在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 先由得到，再由即可得到，即可解答． 【详解】解： ． 故选：C． 5. 在中，D、E分别在的边、上，不能判定的是（　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 画出图形，逐一判断即可． 【详解】解：如图， A．，但不一定等于，无法判定； B．，，可以判定； C．，，可以判定； D．，则，再由，可以判定； 故选：A． 6. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，若OA·OC＝OB·OD，则下列结论中一定正确的是( ) A. ①和②相似 B. ②和③相似 C. ①和④相似 D. ②和④相似 【答案】D 【解析】 【分析】根据：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.进行分析. 【详解】由OA·OC＝OB·OD，得 ,又∠AOD=∠BOC，所以，△AOD∽△BOC. 故选D 【点睛】本题考核知识点：三角形相似判定. 解题关键点：熟记三角形相似判定方法. 7. 如图，是斜边上的高，，，则的长为（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握其判定和性质是解题的关键． 根据题意，可得，，可证，得到，则有，由此即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形，，是斜边上的高， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 8. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么较短线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，据此设较短线段的长度为，，列出成比例的线段的关系式，利用公式法解一元二次方程，舍去不符合题意的根即可解题． 【详解】解：设较短线段的长度为，则，由题意得， 即 整理得 （舍去）， 即 故选：D． 【点睛】本题考查黄金分割、成比例线段，涉及公式法解一元二次方程等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点H，若H恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知，证明，得到，结合，即可求得答案． 【详解】解：根据题意可知，， ∴， ∴， ∵H恰好为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】依次判断四个结论，①：根据，可证明；②：根据即可证明；③过点作交于点，交于点，先证明是中点，从而是中点，即可证明垂直平分，则；④根据，得到线段的相似关系比，证出，从而． 【详解】解：过点作交于点，交于点， ①四边形是矩形， ， ， ， ， ，①正确； ② E是边的中点， ， ， ， ， ，②正确； ③， 四边形是平行四边形， ， 是中点， 又， 是中点， 垂直平分， ，③正确 ④， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即，④正确． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 线段a，b，c，d是成比例线段，若，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：． 12. 如图，，添加一个条件：_____，使．（写一个即可） 【答案】（或或） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等）是解题的关键． 先由推出，再分别添加一组对应角相等或对应边成比例，利用相似三角形的判定定理证明． 【详解】解：情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：（或或）． 13. 如图，在中，，，与相交于点H．若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据已知得到，则，，再证明，，得到，，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 14. 如图，等边三角形的边长为，为边上的一点，，为边上的一点，连接，，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由等边三角形性质得出及三角形的边长，结合利用外角性质证明，从而证得，利用对应边成比例求解． 【详解】解： ∵为等边三角形， ∴， ，，  ∴， ， ∵是的外角， ∴ ， 又∵，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 在和中，   ， ∴ ， ∴ ； 即 ， ∴． 15. 已知a、b、c均为非零实数，满足，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质以及分式的化简求值，分类讨论是解题的关键． 先对的值进行分类讨论①设，进而得出，再进行化简求值；②，得到，满足，最后进行化简即可． 【详解】解：①若， 设， ， ， ， ， ； ②若， ， 则， ， 综上，或． 故答案为：或． 16. 如图，点，，分别在的边，，上，，，． （1）__________． （2）点是的中点，连接并延长交于点，则值是__________． 【答案】 ①. ##0.25 ②. 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据相似三角形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得； （2）取的中点，连接，先根据三角形的中位线定理可得，再证出，然后根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）如图，取的中点，连接， ∵， ∴设，则，， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 如图，四边形四边形，求x，y的值和的度数． 【答案】，， 【解析】 【分析】根据相似多边形的对应角相等，对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， 由图可得,， ∴，． 18. 如图，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的证明，利用两边成比例且夹角相等证明三角形相似是解题的关键． 首先根据得到，再根据即可求证． 【详解】略 19. 已知，求下列分式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得，代入计算即可； （2）根据，得，代入计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ． 20. 如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得，得，根据，，即可求出； （2）由（1）得，根据，得，得，即可求出． 【小问1详解】 ∵ ∴， ∴ ∴，即 又∵且 ∴ ∴． 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ 故． 【点睛】本题考查相似三角形的知识，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 21. 如图，四边形中，，、交于点O，． （1）求证：； （2）E是边上一点，连接交于点F，如果，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ， ∴； （2） 证明：由（1）知，，， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质证明，推出，再证明，即可证明； （2）由推出，等量代换得，利用相似三角形的判定定理推出，证明，据此即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点，点的坐标为，点在轴上． （1）求a的值； （2）求直线的解析式； （3）若点是直线上一动点（不与点重合），当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点A的横坐标代入直线中即可求出a； （2）用待定系数法直接求出直线的解析式； （3）先由两三角形相似即可得出，进而得出点E的横坐标，再代入直线的解析式中，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点的坐标为， ∴设直线的解析式为， 由（1）知，， ∴， ∵点A在直线上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：∵点B是直线与x轴的交点， 又当时，， ∴， ∵， ∴， ∴点E的横坐标为， 当时，， ∴． 23. 如图，在中，已知，点E是边的中点．动点D从点A出发，以每秒2个单位的速度运动到点C停止，连接．设点D运动的时间为t秒．求当t取何值时，与相似？ 【答案】当或，与相似 【解析】 【分析】随着运动状态的改变，三角形相似的对应关系发生变化，分两种情况求解即可． 【详解】解：由题意可得，．∵点E是边的中点，∴， 当时，．则，即，解得． 2．当时，．则，即，解得． 所以，当或，与相似． 【点睛】本题主要考了相似三角形及动点问题，掌握三角形相似的对应关系是关键，分类讨论是重要思想． 24. 【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M． ①AC与BD之间的数量关系为　 　； ②∠AMB的度数为　 　； 【类比探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数； 【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC＝ ，求点A、D之间的距离． 【答案】【操作发现】①AC=BD；②∠AMB=45°；【类比探究】，∠AMB=90°；【实际应用】4或5 【解析】 【分析】操作发现:如图（1），证明△COA≌△DOB（SAS），即可解决问题． 类比探究:如图（2），证明△COA∽△ODB，可得，∠MAK＝∠OBK，已解决可解决问题． 实际应用:分两种情形解直角三角形求出BE，再利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：操作发现:如图（1）中，设OA交BD于K． ∵∠AOB＝∠COD＝45°， ∴∠COA＝∠DOB， ∵OA＝OB，OC＝OD， ∴△COA≌△DOB（SAS）， ∴AC＝DB，∠CAO＝∠DBO， ∵∠MKA＝∠BKO， ∴∠AMK＝∠BOK＝45°， 故答案为AC＝BD，∠AMB＝45° 类比探究:如图（2）中， 在△OAB和△OCD中， ∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°， ∴∠COA＝∠DOB，OC＝OD，OA＝OB， ∴， ∴△COA∽△ODB， ∴，∠MAK＝∠OBK， ∵∠AKM＝∠BKO， ∴∠AMK＝∠BOK＝90°． 实际应用:如图3﹣1中，作CH⊥BD于H，连接AD． 在Rt△DCE中， ∵∠DCE＝90°，∠CDE＝30°，EC＝1， ∴∠CEH＝60°， ∵∠CHE＝90°， ∴∠HCE＝30°， ∴EH＝EC＝， ∴CH＝， 在Rt△BCH中，BH＝， ∴BE＝BH﹣EH＝4， ∵△DCA∽△ECB， ∴AD：BE＝CD：EC＝， ∴AD＝4． 如图3﹣2中，连接AD，作 CH⊥DE于H． 同法可得BH＝，EH＝， ∴BE＝+＝5， ∵△DCA∽△ECB， ∴AD：BE＝CD：EC＝， ∴AD＝5． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年度九年级第一次月考 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列每个选项的两个图形，是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（ ） A. 1.5 B. 4.5 C. 7.5 D. 10.5 4. 如图，在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则等于（　　） A. B. C. D. 5. 在中，D、E分别在的边、上，不能判定的是（　 ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，若OA·OC＝OB·OD，则下列结论中一定正确的是( ) A. ①和②相似 B. ②和③相似 C. ①和④相似 D. ②和④相似 7. 如图，是斜边上的高，，，则的长为（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 18 8. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么较短线段的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点H，若H恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 10. 如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①② 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 线段a，b，c，d是成比例线段，若，则________． 12. 如图，，添加一个条件：_____，使．（写一个即可） 13. 如图，在中，，，与相交于点H．若，则______． 14. 如图，等边三角形的边长为，为边上的一点，，为边上的一点，连接，，若，则的长为______． 15. 已知a、b、c均为非零实数，满足，则______． 16. 如图，点，，分别在的边，，上，，，． （1）__________． （2）点是的中点，连接并延长交于点，则值是__________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 如图，四边形四边形，求x，y的值和的度数． 18. 如图，，，求证：． 19. 已知，求下列分式的值． （1）； （2）． 20. 如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，． （1）求的值； （2）求的值． 21. 如图，四边形中，，、交于点O，． （1）求证：； （2）E是边上一点，连接交于点F，如果，求证：四边形是平行四边形． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点，点的坐标为，点在轴上． （1）求a的值； （2）求直线的解析式； （3）若点是直线上一动点（不与点重合），当时，求点的坐标． 23. 如图，在中，已知，点E是边的中点．动点D从点A出发，以每秒2个单位的速度运动到点C停止，连接．设点D运动的时间为t秒．求当t取何值时，与相似？ 24. 【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M． ①AC与BD之间的数量关系为　 　； ②∠AMB的度数为　 　； 【类比探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数； 【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC＝ ，求点A、D之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $