精品解析：内蒙古自治区赤峰市红山区赤峰第四中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

赤峰第四中学2026-2027学年第一学期月考试题 高二数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知实数集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用补集和交集的定义可求得结果. 【详解】， 又，则， 故， 故选：C. 2. 图中的直线的斜率分别为，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果. 【详解】由图象可得，， 故选：C 3. 已知l,m是两条互异的直线，,是两个互异的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】A 【解析】 【详解】 选项A，根据面面平行的性质，一条直线垂直于两个平行平面中的一个，必垂直于另一个，因此若且，则，正确. 选项B，仅当垂直于与的交线时，错误． 选项C，若且，则或，错误． 选项D，若且，则或，错误． 4. 已知向量，向量，若向量与向量共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】向量，向量，若向量与向量共线， 则，即，解得． 5. 某家族有两种遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，两种性状都不出现的概率为，则该成员两种性状都出现的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该家族某成员出现性状为事件，出现性状为事件，进而根据题意得，再结合求解即可. 【详解】解：设该家族某成员出现性状为事件，出现性状为事件， 则两种性状都不出现为事件，两种性状都出现为事件， 所以，，， 所以，， 又因为， 所以，， 故选：B 6. 一条光线从点射出，经x轴反射后，反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. B. 不存在 C. 或不存在 D. 或0 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心坐标与半径，点关于轴的对称点的坐标，设过对称点与圆相切的反射光线所在直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得答案． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为1， 点关于轴的对称点的坐标为，由题意，点在反射光线所在直线上， 设反射光线所在直线方程为，即， 因为反射光线所在直线与圆相切， 所以，解得或， 当时，反射光线为，与轴无交点，不符合反射要求，所以. 7. 已知点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，. 由图像可知，从方向转到方向须经过竖直方向，斜率的取值范围为或，即，A正确. 8. 已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】作出关于直线的对称圆，把转化到与直线同侧的，数形结合找到取最大值的位置，求出的最大值. 【详解】如图所示， 圆的圆心为，半径为3，圆关于直线的对称圆为圆B，其中设圆心B坐标为，则 ，解得：，故圆B的圆心为，半径为1，由于此时圆心A与圆心B的距离为4，等于两圆的半径之和，所以两圆外切，此时点的对称点为，且，所以，在P点运动过程中，当P，B，A，，F五点共线时，且在圆B左侧，点F在圆A右侧时，最大，最大值为 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为0 C. 的最大值为16 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】将条件化为圆的标准方程，利用坐标范围及特殊点判断分式结论，将平方和转化为距离的平方，并利用不等式及取等条件求的最大值． 【详解】对于A，原方程可化为，表示以为圆心、半径为1的圆， 因此，，分式中的分母为正及为非负． 取，满足原方程，此时，故A错误； 对于B，由及得，当时满足原方程且等号成立， 故其最小值为0，故B正确； 对于C，设圆上动点为，定点为，则， 由，及三角不等式得， 当位于时等号成立，因此的最大值为，故C正确； 对于D，由重要不等式可得，所以， 当且仅当时等号成立， 由得 ， 所以，当时满足原方程且取得等号， 因此的最大值为，故D错误． 10. 已知函数（），则下列结论正确的是（ ） A. 对于任意的，总为奇函数 B. 对于任意的，总为周期函数 C. 当时，图像关于点中心对称 D. 当时，的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由奇函数定义即可求解；对于B，由周期函数定义即可求解；对于C，由对称性定义即可求解；对于D，对进行化简即可求得值域. 【详解】对于A，因为，所以对于任意的，总为奇函数，故A正确； 对于B，因为，所以对于任意的，总有周期，总为周期函数，故B正确； 对于C，当时，，所以此时的图象关于点中心对称，故C正确； 对于D，当时， ，又因为的定义域为，所以的值域为，故D错误； 故选：ABC. 11. 已知，，，则（） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：利用对数换底公式连环相乘，中间项消去后可判断；对于B：因为，两边同时取对数可得答案；对于C：构造函数，求导研究单调性可得答案； 对于D：利用倒数换底公式后，代入后可得答案. 【详解】选项A：利用对数换底公式，得： ，所以A正确； 选项B：因为， 根据在上单调递增， 可知，，即，所以B错误； 选项C：我们可以构造函数（其中）， 利用换底公式：， 对其求导： 令（其中）， 对其求导， 因为， 所以，所以， 所以在区间上严格单调递增， 所以， 因此，函数在上单调递减， 因为，所以， 即，也就是，所以C正确； 选项D：， ，所以D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张，则抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型的概率求解. 【详解】从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张的基本事件有： 共6种抽法； 抽到的两张卡片上数字之和大于3的基本事件有共2种抽法， 所以抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为. 13. 复数的共轭复数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数运算法则及共轭复数的概念即可求解． 【详解】， 所以复数的共轭复数为． 14. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线即的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，则，解得， 即的取值范围是． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值，并估算这200名学生的测试成绩的中位数和平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. （2）若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差；（方差精确到）. （3）现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至多有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率. 【答案】（1），中位数，平均数 （2）88；46.57 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的小矩形的面积和为1求解出的值，先分析出中位数所在的区间，然后根据中位数的求解方法求解，最后按照频率分布直方图中平均数计算方法直接计算即可； （2）利用分层随机抽样的平均数公式与方差公式求解； （3）由按比例分配的分层随机抽样，确认在中抽5人，在中抽2人，列出样本空间和满足事件的总情况，利用求解. 【小问1详解】 根据题意可得， 解得， 由的频率为：， 由的频率为：， 由的频率为：， 因为，， 所以中位数在内，设中位数为， 所以，解得， 平均数 . 【小问2详解】 因为的人数为， 的人数为， 所以在平均成绩为， 在的成绩的方差为： . 【小问3详解】 因为和这两组的频率之比为， 所以在中抽5人，在中抽2人， 设从学生中抽取的5人为， 从学生中抽取的2人为，则这个试验的样本空间为： ， 故， 又因为， 则， 所以事件的概率为. 16. 已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． （1）求点坐标、直线的方程、点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）点，根据中点在直线上求参数，即得坐标，利用点关于直线对称及点斜式求直线，进而联立直线方程求的坐标； （2）应用两点距离、点线距离公式及三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 由点在上，设点，则中点在直线上， 于是，解得，即点， 设A关于直线的对称点为，则，解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 由，解得，则点， 所以，直线的方程为，点的坐标为． 【小问2详解】 由（1）得， 点A到直线的距离， 所以的面积． 17. 已知，，分别为的三个内角，，的对边，且，的面积． （1）求证：； （2）求的最大值． 【答案】（1）根据三角形面积公式可得：， 余弦定理可得：， 又因为，所以， 在中，两边同时除以整理可得： 即 . （2） 【解析】 【分析】（1）先分别写出三角形面积公式和余弦定理表达式，再结合已知条件建立等式，最后通过化简等式求解. （2）通过已知条件求出的值，再利用基本不等式求出的最大值，进而得到三角形面积的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：，两边平方得： ，又因为， 所以，化简可得：， 因为是三角形内角，，解得， 所以，已知， 由基本不等式得 ，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，的最大值是． 18. 如图1，已知四边形为直角梯形，，且，为的中点将沿折到位置（如图2），连结构成一个四棱锥． （1）求证：； （2）若平面． ①求二面角的大小； ②在棱上存在点，满足，使得直线与平面所成的角为，求的值． 【答案】（1）详见解析；（2）①；②． 【解析】 【分析】(1)先根据已知条件得到，从而得到平面，即可得到； (2)①根据题意以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，分别求出平面的法向量和平面的法向量，代入夹角的计算公式即可； ②由已知条件写出的坐标和平面法向量，再代入线面角的夹角公式即可求出的值. 【详解】(1)证明：在图1中， ， 为平行四边形， ， ， 当沿折起时， 即， 又，面，面 平面， 又平面， ． (2)①以点为坐标原点，分别以为轴， 建立空间直角坐标系，（如图） 由于平面， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 设平面的法向量， 则， 取，得， 设二面角的大小为，可知为钝角， 则， ． 二面角的大小为． ②设与面所成角为， 面法向量， 直线与平面所成的角为， ， 解得或． 又因为， 所以． 【点睛】本题考查了由线面垂直证明线线垂直，利用空间向量的方法求二面角的大小以及由线面求参数的值，考查了学生的计算能力，属于较难题. 19. 在平面直角坐标系中，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到的“切比雪夫距离”，记作. （1）已知点和点，直线，求和. （2）已知圆和圆. ①若两圆心的切比雪夫距离，判断圆和圆的位置关系； ②若，圆与轴交于两点，其中点在圆外，且，过点任作一条斜率不为0的直线与圆交于两点，记直线为，直线为，证明：. 【答案】（1）3，. （2）①圆与圆相切； ②因为都在轴上，所以， 所以，得或（舍去）. 此时圆，令，解得或， 因为点在圆外，所以. 由题意设直线的方程为. 由可得， 当，即时， 有. ， 因为，所以， 所以直线与关于轴对称，即关于直线对称， 由对称性知. 【解析】 【分析】（1）根据“切比雪夫距离”定义计算；（2）①转化为圆与圆的位置关系判定即可；②运用直线与圆联立，借助韦达定理证明即可. 【小问1详解】 . 设上任意一点为， 则. 当时，； 当时，， 所以的最小值为2，故. 【小问2详解】 ①由题可知圆的标准方程为，所以圆心为，半径.由圆的方程知圆心为，半径. . 当，即时，由，解得，所以. 此时，所以圆与圆相切（答“内切”也对）. 当，即时，由，解得，所以. 此时，所以圆与圆相切. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰第四中学2026-2027学年第一学期月考试题 高二数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知实数集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 图中的直线的斜率分别为，则有（ ） A. B. C. D. 3. 已知l,m是两条互异的直线，,是两个互异的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若且，则 4. 已知向量，向量，若向量与向量共线，则（ ） A. B. C. D. 5. 某家族有两种遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，两种性状都不出现的概率为，则该成员两种性状都出现的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 一条光线从点射出，经x轴反射后，反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. B. 不存在 C. 或不存在 D. 或0 7. 已知点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为0 C. 的最大值为16 D. 的最大值为 10. 已知函数（），则下列结论正确的是（ ） A. 对于任意的，总为奇函数 B. 对于任意的，总为周期函数 C. 当时，图像关于点中心对称 D. 当时，的值域为 11. 已知，，，则（） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张，则抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为______． 13. 复数的共轭复数为___________． 14. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值，并估算这200名学生的测试成绩的中位数和平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. （2）若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差；（方差精确到）. （3）现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至多有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率. 16. 已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． （1）求点坐标、直线的方程、点的坐标； （2）求的面积． 17. 已知，，分别为的三个内角，，的对边，且，的面积． （1）求证：； （2）求的最大值． 18. 如图1，已知四边形为直角梯形，，且，为的中点将沿折到位置（如图2），连结构成一个四棱锥． （1）求证：； （2）若平面． ①求二面角的大小； ②在棱上存在点，满足，使得直线与平面所成的角为，求的值． 19. 在平面直角坐标系中，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到的“切比雪夫距离”，记作. （1）已知点和点，直线，求和. （2）已知圆和圆. ①若两圆心的切比雪夫距离，判断圆和圆的位置关系； ②若，圆与轴交于两点，其中点在圆外，且，过点任作一条斜率不为0的直线与圆交于两点，记直线为，直线为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $