内蒙古自治区赤峰第四中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

赤峰第四中学2026-2027学年第一学期月考试题 高二数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知实数集R,集合A={x∈Zx2-2x-3≤0}，集合 B=xly=Vx-1,An(CRB)=( A.[-1,1) B.[1,3] C.{-1,0} D.{1,2,3} 2.图中的直线L1,L2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则有( A.k1<k2<k3 B.k1>k2>k3 C.k1<k3<k2 D.k3<k1<k2 3.已知1、m是两条互异的直线，a、B是两个互异的平面，则下 列命题中正确的是( A.若L1B且aIB,则l1a B.若lcB且a1B,则l1a C.若L1B且a1B,则lIa D.若anB=m且l‖m,则lIa 4.己知向量=(-3,4)，向量五=(-1，m),若向量与向量共线， 则m=() A月 c 高二数学试题共6页 第1页 5.某家族有X,Y两种遗传性状，该家族某成员出现X性状的概率 为等，出现Y性状的概率为号，玉Y两种性状都不出现的概率为品， 则该成员X,Y两种性状都出现的概率为( A吉 B吉 c品 D.i5 6.一条光线从点(-4，-4)射出，经x轴反射后，反射光线所在直 线与圆(x+2)2+(y-3)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为() A首 B.不存在 C.-或不存在 D.-4或0 7.己知点A(-3,2),B(1,-2),过点P(-2,-1)的直线1与线段AB (含端点)有交点，则直线1的斜率的取值范围为( A(←∞，-3]u[子+) B3,-引 C.(-o,-]U[1,+0) D.31 8.已知点P在直线y=x-2上运动，点E是圆x2+y2=1上的动 点，点F是圆(x-6)2+y+2)2=9上的动点，则IPFI-IPEI的最 大值为( A.6 B.7 C.8 D.9 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题 给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分) 高二数学试题共6页 第2页 9.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,则下列说法 正确的是( ) A兰的最大值为 B.的最小值为0 C.(x+1)2+(y-1)2的最大值为16 D.x+y的最大值为2+V2 10.己知函数fx)=os(neN),则下列结论正确的是( sinx A.对于任意的n∈N,f(x)总为奇函数 B.对于任意的n∈N*,f(x)总为周期函数 C.当n=5时，f(x)的图象关于点(，0)中心对称 D.当n=3时，g(x)=f(x)·tanx的值域为[-3,1) 11.已知a=1og23,b=log34,c=log45则() A.abc=10g,5 B.a<1.5 C.a>b>c n.2+1- a cb 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.从分别写有0,1,2,3的四张卡片中不放回地抽取两张，则抽到的 两张卡片上数字之和大于3的概率为 13.复数2的共轭复数为 14.若圆x2+0y-2)2=r2(r>0)上到直线y=V3x-2的距离为1 的点有且仅有2个，则x的取值范围是 高二数学试题共6页第3页 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。) 15.(13分)某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少” 的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间[50,100]，从中随 机抽取了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方 图 (1)求图中a的值，并估算这200名学生的测试成绩的中位数和平 均数：（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)· (2)若样本数据在[80,90)的平均成绩x=84,方差s12=6,在 [90,100]的平均成绩y=98,方差s22=8,求在[80,100]的平均成绩z 和方差s2；(方差s2精确到0.01). (3)现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从[80,90)和 [90,100]的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随 机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件A为“至多有1人测试成绩 位于区间90,1001”，求事件A发生的概率. ◆频率/组距 a-------- 0.025 0.020 0.015 0.010 05060708090100分数 16.(15分)已知△ABC的顶点A(1,2),AB边上的中线CM所在直 线的方程为x+2y-1=0,边AC上的高BH所在直线的方程为 y=x. (1)求点B坐标、直线BC的方程、点C的坐标： (2)求△ABC的面积. 高二数学试题共6页第4页 17.(15分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对 边，且b+c=8,△ABC的面积S△ABc=a2-(b-c)2. (1)求证：cosA=1-是simA; (2)求S△4Bc的最大值. 18.(17分)如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，∠B=90° BE I CD,且BE=2CD=2BC=2,A为BE的中点将△EDA沿AD折 到△PDA位置（如图2），连结PC,PB构成一个四棱锥P-ABCD. (1)求证：AD⊥PB; (2)若PA1平面ABCD. ①求二面角B一PC-D的大小； ②在棱PC上存在点M,满足PM=PC(0<1<1),使得直线AM与 平面PBC所成的角为45°，求λ的值 D E A B 图1 图2 高二数学试题共6页 第5页 19.（17分)在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=max{x1- x2,y1-y2}为两点A(x1,y1),B(x2,y2)的“切比雪夫距离”，又设 点P及直线1上任意一点Q,称d(P,Q)的最小值为点P到1的“切 比雪夫距离”，记作d(P,). (1)已知点P(1,1)和点R(-1,4),直线：x=-1, 求d(P,R)和d(P,). (2)已知圆C:x2+y2-2x-3=0和 圆：x-2+6-a+}-空 ①若两圆心的“切比雪夫距离”d(C,E)=子判断圆C和圆E的位 置关系； ②若a>0,圆E与x轴交于M,W两点，其中点M在圆C外，且 d(M,N)=3,过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A,B 两点，记直线AW为L,直线BW为l2,证明：d(M,L)=d(M,2): 高二数学试题共6页 第6页 参考答案 1.答案：C 解析：A={xeZx2-2x-3≤0}={xeZ-1≤x≤3}={-1,0,1,2,3， 又B={xy=Vx-1}={xx≥1，则CRB={xx<1, 故An(CRB)={-1,0}, 故选：C 2.答案：C 解析：由图象可得，k1<0<k3<k2, 故选：C 3.答案：A 解析 选项A,根据面面平行的性质，一条直线垂直于两个平行平面中的 一个，必垂直于另一个，因此若11B且ayB,则l1a,正确： 选项B,仅当1垂直于a与B交线时l1,错误. 选项C,若l1B且a1B,则ly/a或lc,错误. 选项D,若anB=m且lym,则ly/a或lca,错误 4.答案：D 5.答案：B 解析：设该成员出现X性状”为事件A,“该成员出现Y性状”为事 件B,则该成员X,Y两种性状都不出现”为事件A∩B,该成员两 种性状都出现为事件AnB由愿意得P(④言P到名，Pan B)=,所以P(AUB)=1-P(anB=高又P(AUB)=P(A)+ 高二数学试题共6页第7页 PB)-P(AnB),所以P(AnB)=P(A)+P(B)-PAUB)=+品 品洁 1 6.答案：A 7.答案：A 8.解析：如图①所示，圆(x-6)2+(y+2)2=9的圆心为A(6,-2), 半径为3，圆x2+y2=1关于直线y=x-2的对称圆为圆B,其中设 =-1, 圆心B坐标为(m,n),则mm m=2, 故圆B的圆心为 n=-2 2 (2,-2),半径为1，由于此时圆心A与圆心B的距离为4，等于两圆 的半径之和，所以两圆外切，此时点E的对称点为E,且PE1= IPE,所以PFI-IPE1=1PF-IPEl.在点P运动过程中，如图②所 示，当P,B,A,E1,F五点共线，且E在圆B左侧，点F在圆A 右侧时，IPFI-|PEI的值最大，最大值为E1F=E1B+BA+AF=1+ 4+3=8,故选C. p P A ① ② 9答案：BC 10.答案：ABC 高二数学试题共6页 第8页 解析：对于选项A,因为f(-x)=osC-四 cos(nx) sin(-x) -sinx =-f(x),所以函 数f(x)是奇函数.所以选项A正确.对于选项B,因为f(2π+x)= cos2mm+m四=os0四=f),所以2π是函数的一个周期.所以选项B正 sin(2π+x） sinx 确对于选项C,当n=5时，f)=,因为f-) c0s(5π-59= sin(π-x) -s5x=一fx),所以函数f(x)的图象关于点(，0)成中 sinx 心对称.所以选项C正确.对于选项D,当n=3时，9(x)= f(x)tanx=cos3x.sinx cos3x_ cos 2x cosx-sin2xsinx sinx cosx COSx COSx =cos2x-2sin2x=2cos2x-1,又x≠经，kEZ,所以g(x)的值 域为(-3,1).所以选项D错误.故选ABC. 11.答案：AC 解析：利用对数换底公式， ic=1g,3-1og,4-1og45=g3g4gg51bg,5,A正确； 1g2 1g3 1g4 1g2 比较a,b与1.5的大小： 25=22=√⑧<3，故1og,3>1.5,B错误： 35=35=V27>4,故1og4<1.5,因此a>1.5>b 比较b,c与1.25的大小： 3125=3=243,而44-256>243，故4>315，即1g,4>1.25: 41.25=4-1024,而54=625<1024，故415>5，即1og45<1.25, 因此b>1.25>c. 综上，a>b>c,C正确： 由换底公式，是=log32,=logs4,=log43, 高二数学试题共6页 第9页 由logg2>0,1g4>5>1og43,故+> 1.25 acB,D错误 故选AC 12.答案： 解析：从分别写有0,1,2,3的四张卡片中不放回地抽取两张的基本事 件有： (0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(13),(2,3)共6种抽法， 抽到的两张卡片上数字之和大于3的基本事件有(1,3)，(2,3)共2种抽 法， 所以抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为P=名 13.-吉+i 14.解析：由圆x2+y-2)2=r2(r>0),圆心为(0,2)，半径为r, 则圆心(0,2)到直线y=V3x-2的距离为d=2-2=2, V3+1 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以r-d<1,则r-2引<1，解得1<r<3, 即r的取值范围是(13) 15.答案：（1)a=0.030,中位数75，平均数74.5 (2)88:46.57 (3)器 解：(1)根据题意可得(0.015+0.020+a+0.025+0.010)×10=1, 解得a=0.030, 由[50,60)的频率为：0.015×10=0.15， 由[60,70)的频率为：0.020×10=0.20， 由[70,80)的频率为：0.030×10=0.30， 高二数学试题共6页 第10 页 因为0.15+0.20=0.35<0.5,0.15+0.20+0.30=0.65>0.5， 所以中位数在[70,80)内，设中位数为m, 所以0.15+0.20+(m-70)×0.03=0.5,解得m=75, 平均数元=(55×0.015+65×0.020+75×0.030+85×0.025+ 95×0.01)×10 =8.25+13+22.5+21.25+9.5=74.5 (2)因为80,90)的人数为200×0.025×10=50， [90,100]的人数为200×0.01×10=20， 所以在[80,100]平均成绩为2=84×50+98x20=6160=88, 50+20 70 在[80,100]的成绩的方差为： s2-×[6+(84-88)21+号×[8+(98-88)21=10,216=2≈46.57. 7 (3)因为80,90)和[90,100]这两组的频率之比为0.25：0.1=5：2， 所以在[80,90)中抽5人，在[90,100]中抽2人， 设从80,90)学生中抽取的5人为a,b,c,d,e, 从[90,100]学生中抽取的2人为A,B,则这个试验的样本空间为： 2= {ab,ac,ad,ae,aA,aB,bc,bd,be,bA,bB,cd,ce,cA,cB,de,dA,dB,eA,eB,AB, 故n(2)=21, 又因为A= (ab,ac,ad,ae,aA,aB,bc,bd,be,bA,bB,cd,ce,cA,cB,de,dA,dB,eA,eB 则n(A)=20 所以事件A的概率为P(4)-合-会 高二数学试题 共6页第11 页 16.答案：(1)点B的坐标为(-1，-1)，直线BC的方程为2x- 3y-1=0,点C的坐标为(5，-2) (2)10 解析：(1)如图，由点B在y=x上，设点B(m,m),则AB中点 (2,m)在直线CM上， 于是"2+2×m2-1=0,解得m=-1,即点B(-1,-1), 直线AC的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0 则中70样-即c63, 直线BC的方程为x+6y+7-O, 所以点B的坐标为(-1，-1)，直线BC的方程为2x-3y-1=0,点 C的坐标为(5，-2)， (2)由(1)得1BC=V37, 点A到直线BC的距离d1+12+1=20 37 所以△ABC的面积s=IBcld=10 17.答案：(1)见解析 (2暗 解析：(1)根据三角形面积公式可得：Sa4Bc=besinA, 余弦定理可得：a2=b2+c2-2 bccosA, 又因为SAABG=a2-(b-c)2,所以bcsinA=2bc-2 bccosA,, 在△ABC中bc≠0，两边同时除以2bc整理可得： isinA=1-cosAB cosA=1-isinA. 高二数学试题共6页第12 页 (2)油(1)可知：cosA=1-4sim4,两边平方得： 1-克simA+元sin2A=cos2A,又因为cos2A+sim2A=1, 所以1-6mA+话sim2A=1-sin2A,化简可得：品sin2A-simA=0, 因为A是三角形内角，sinA≠0，解得sinA=号 所以5aBc=bEsinA=号bc,已知b+c=8, 由基本不等式得bc≤()°-16，当且仅当b=c=4时等号成立， 所以5aAsc=·号bc≤号x16= 所以，Sa4c的最大值是等 18.答案：（1)详见解析； (2)①120， ②=号 解析：(1)证明：在图1中， AB //CD,AB CD, ·ABCD为平行四边形， ·ADBC, ∠B=90°，.AD1BE, 当△EDA沿AD折起时，AD⊥AB,AD⊥AE 即AD1AB,AD⊥PA, 又AB∩PA=A,ABc面PAB,PAc面PAB .AD1平面PAB, 又：PBc平面PAB, .AD⊥PB 高二数学试题 共6页第13 页 D D A B 图1 图2 (2)①以点A为坐标原点，分别以AB,AD,AP为xy,z轴， 建立空间直角坐标系，（如图） B 由于PAI平面ABCD, 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),D(0,1,0), PC=(1,1,-1),BC=(0,1,0),DC=(1,0,0), 设平面PBC的法向量为元=(x,y,z), 心院， 取z=1,得元=(1,0,1)， 设平面PCD的法向量元=(a,b,c), 则m既品±-00 取b=1,得m=(0,11), 设二面角B一PC-D的大小为0，可知为钝角， 则c0s日=-m= 1 1 m闭=V2x2=2 高二数学试题共6页 第14 页 .0=120. .二面角B-PC-D的大小为120° ②设AM与面PBC所成角为a, AM=AP+PM=(0,0,1)+1(1,1,-1)=(2,入，1-7) 面PBC法向量元=(1,0,1)， ·直线AM与平面PBC所成的角为45°， .sin a=|cos(AM,)= AM· AM列 示是 12+1-刈 23 解得入=0或1-号 又因为0<λ<1， 所以入=子 19.答案：(1)d(P,R)=3,d(P,)=2 (2)①圆C与圆E相切 ②证明见解析 解析：（1)d(P,R)=max{I1+1,1-4}=max{2,3}=3. 设1上任意一点为Q(-1,y),则d(P,Q)=max{l1+1,1-y}= max{2,11-yl3. 当1-y≥2时，d(P,Q)=1-yl≥2；当1-yl<2时，d(P,Q)=2, 所以d(P,Q)的最小值为2，故d(P,)=2. (2)①由题可知圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4, 所以圆心为C(1,0),半径n1=2 由圆E的方程知圆心为E(a,a-),半径2= d(C,B)=max {la-1.a- 高二数学试题 共6页第15 页 当1a-1≥a-引，即a≥时，由d(c,)=la-1=2解得a= 所以E(,0) 此时CE==2-1,所以圆C与圆E相切（答内切也对）. 当la-1<a-引，即a<时，由d(c,)=a-引=，解得a=1, 所以E(1,-) 此时CE=子=2-n,所以圆C与圆E相切， ②证明：因为M,N都在x轴上，所以MN=d(M,W)=3, 所以a引-、-(-臣-是-2，得a-或a-专（舍去）. 此时圆(x-)+0-22-要，令y=0,解得x=2或x=5, 因为点M在圆C外，所以M(5,0),N(2,0) 由题意设直线AB的方程为x=my+5,A(xAyA),B(xByB): 由l++-可得6m+1y+8+12=-0 当4=64m2-48(m2+1)>0,即m2>3时，有yA+y8=-m2+1 8m 12 yAyB =m2+i' k4w+kaw-兴+品=+ 2myAYB+3(yA+yB) myB+3= m2yAyB+3m(yA+yB)+9 因为2mayB+30a+yB)=24m-24m m2+1m2+1 =0,所以kAN+kBN=0, 所以直线l与l2关于x轴对称，即关于直线MN对称 由对称性知d(M,l)=d(M,l2): 高二数学试题 共6页 第16 页