精品解析：内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

赤峰四中 高二上学期10月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （福建省福州2018届高三质检）规定：投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀.根据以往经验，某选手投掷一次命中8环以上的概率为.现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率： 用计算机产生0到9之间的随机整数，用0,1表示该次投掷未在 8 环以上，用2,3,4,5,6,7,8,9表示该次投掷在 8 环以上，经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 031 257 393 527 556 488 730 113 537 989 据此估计，该选手投掷 1 轮，可以拿到优秀的概率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由所给数据可知，组数据中有 组191，031，113不是优秀，其余组是优秀，所以可以拿到优秀的概率为，故选D． 2. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】先利用斜率公式求出斜率，进而可得倾斜角. 【详解】由斜率公式可得， 故经过，两点的直线的倾斜角为60°. 故选：B. 3. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 4. 已知平面的一个法向量为，点在平面内．若点P的坐标为，则直线PA与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面夹角的向量表示运算求解. 【详解】由题得，则， 设直线PA与平面所成的角为，则， 因为，所以． 故选：B． 5. 如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系,从而在方向上的投影向量，即在轴正方向上的投影向量. 【详解】∵平面,， ∴,, 故以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系，令. 则， 则， ∴在方向上的投影向量，即在轴正方向上的投影向量为. 故选：C. 6. 设，若点在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系求式子的取值范围. 【详解】如图： 问题转化为过点的直线与线段有公共点时，直线斜率的取值范围. 因为，， 且当倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大； 当倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大. 所以斜率的取值范围是：或. 故选：C 7. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】因为平面的方程为，故其法向量为， 因为直线的方程为，故其方向向量为， 故直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 8. 如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）． ①当点P为中点时，异面直线与所成角为 ②三棱锥中，点P到面的距离为定值 ③过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 ④直线与面所成角的正弦值的范围为 以上命题为真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间坐标系，得到各点坐标，计算得到①正确，计算平面的法向量为，根据距离公式得到②正确，确定截面为，计算面积得到③正确，根据向量的夹角公式得到④正确，得到答案. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，，设，， 对①：，，故，正确； 对②：设平面的法向量为，则，取，得到，，点P到面的距离为，正确； 对③：如图所示，连接，则，平面，平面，故平面，同理平面，，故平面平面，故截面即为，为等边三角形，面积为，正确； 对④：，线与面所成角为，则，，故，正确. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式分析C、D，综合可得答案． 【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则 ， ， ， 所以有， ， 对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误； 对于B，，A、C相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误． 故选：BC． 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 有两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则 B. 若，，三点不共线，平面外任一点，有，则，，，四点共面 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为 【答案】BD 【解析】 【分析】由两平面平行的向量表示判断A；由空间向量基本定理可判断B；与反向时可判断C；由直线与平面所成角的定义判断D. 【详解】因为，所以与不平行，所以与不平行，故A错误； 根据空间向量基本定理可知因为，且， 根据空间四点共面的充要条件可知四点共面，故B正确； 当时，，，因为，所以与反向，夹角为，故C错误； 由线面角的定义可知若，则与所成角为，故D正确. 故选：BD 11. 直线的方程为，若在轴上的截距为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 直线关于点对称的直线经过点 B. 直线与的交点坐标为 C. 已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则的方程为 D. 已知动直线经过与的交点，当原点到的距离最大时，点到的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题可得方程，可得过点，据此可判断选项正误；对于B，由A分析可得交点坐标；对于C，考虑直线过原点及直线横纵截距全不为0两种情况，可判断选项正误；对于D，由题可得方程，然后由点到直线距离公式可判断选项正误. 【详解】对于A，由，可知，由在轴上的截距为知过点， 所以直线的方程为，即．令，得，即直线过点， 所以直线关于点对称的直线经过点，故A正确； 对于B，联立，解得，即直线与的交点坐标为．故B正确； 对于C，当直线经过与的交点且过原点时，方程为，即，满足题意； 当直线不过原点时，设直线的方程为，将点代入可得，所以直线的方程为． 综上，满足条件的直线的方程为或．故C错误； 对于D，由题意过点的动直线中，到原点距离最大的直线与原点和的连线垂直，故此时直线的斜率为， 所以直线为，即，所以点到的距离为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是__________. 【答案】． 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，，由斜率与倾斜角关系得到不等式，再结合正切函数的图象性质即可得解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，因为，所以， 如图，根据正切函数的图象性质，可得直线的倾斜角. 故答案为：. 13. 已知事件与相互独立，，，则____. 【答案】0.92## 【解析】 【分析】首先利用独立事件的乘法公式求出，再根据加法公式求出. 【详解】因为与相互独立，所以， 所以. 故答案为： 14. 在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线夹角的向量公式即可求解. 【详解】如图，在三棱锥中，，，， 平面，以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 可知，，， ，， ，则，设，且，则， 可知，， ，，异面直线与所成的角的余弦值为，，解得或（舍去），. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在矩形和中，，，，，，，记，，． （1）将用表示出来； （2）当时，求与夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的加减运算法则化简即得； (2)分别求得，，利用向量数量积的运算律求得，，利用空间向量的夹角公式计算即得结果. 【小问1详解】 由图知， ； 【小问2详解】 当时，由（1）知，，， 因 故 ， 且 ， 设与的夹角为， 则. 16. 如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，E是的中点. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 平面，平面，， ，，， ，， 又，平面，平面， 平面，平面平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得，然后结合勾股定理利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量和平面的法向量，利用平面与平面夹角的向量公式列式求得，再利用线面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点，取中点， 、、分别为轴、轴、轴正向，建立空间直角坐标系， 则，，.设， 则，，，， 取，则，为平面的法向量. 设为平面的法向量，则， 即，取，，，则. 依题意，，则. 于是，. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 如图，在五面体中，底面为正方形，. （1）求证：； （2）若为的中点，为的中点，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分 【答案】（1） 证明：底面为正方形,则， 又平面，平面， 则平面， 又平面平面，平面， 故. （2）选择任意条件①②，都为 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再利用线面平行的性质证明； （2）选①②：证明 平面，建立以M为原点的空间坐标系，求出平面的法向量，利用线面角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 选①，取中点G,连接，因为，所以， 易知为梯形的中位线，则， 又平面，故平面，平面， 则平面，且必相交，故平面， 延长GM交BC于P,则P为中点，易得，故为矩形. 以M为原点，所在直线为z轴，MG所在直线为x轴，过M作CB平行线为y轴，建立空间直角坐标系如图： 则， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 设直线与平面所成角为. 选②：取中点G, 连接，易知为梯形的中位线，， 则，由题，，则，故 又平面，故平面， 延长GM交BC于P,则P为中点，易得，故为矩形. 以M为原点，所在直线为z轴，MG所在直线为x轴，过M作CB平行线为y轴，建立空间直角坐标系如图： 则， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 设直线与平面所成角为. . 18. 为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲、乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下： ①抛一次质地均匀的硬币，若正面朝上，则由甲回答一个问题，若反面朝上，则由乙回答一个问题. ②回答正确者得10分，另一人得0分；回答错误者得0分，另一人得5分. ③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分. 已知甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，且两人每道题目是否回答正确相互独立. （1）求乙同学最终得10分的概率； （2）记为甲同学的最终得分，求的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按乙同学最终得10分的所有可能分类计算再相加即可； （2）甲同学的最终得分的可能结果有得10、15、20分，分别计算概率再相加即可. 【小问1详解】 设乙同学最终得10分为事件， 则可能情况为甲回答两题且错两题，甲、乙各答一题且各对一题，乙回答两题且对一题错一题，则， 即乙同学最终得10分的概率是. 【小问2详解】 设“”为事件， ， ，. 故. 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，则的值； （3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到⊥BE，⊥BE，且，由勾股定理逆定理求出AF⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求解出点P的坐标， （3）根据（2）可得，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 取BE的中点F，连接AF，， 因为四边形ABCE是边长为4的菱形，并且， 所以均为等边三角形， 故⊥BE，⊥BE，且， 因为，所以， 由勾股定理逆定理得：AF⊥， 又因为，平面ABE， 所以⊥平面ABED， 因为平面， 所以平面平面ABED； 【小问2详解】 以F为坐标原点，FA所在直线为x轴，FB所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，，， 即，解得：， 故， 设平面的法向量为， 则，则， 令，则，故， 其中 则， 解得：或（舍去）， 所以存在点，使得到平面的距离为，此时. 【小问3详解】 由（2）可得：， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰四中 高二上学期10月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （福建省福州2018届高三质检）规定：投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀.根据以往经验，某选手投掷一次命中8环以上的概率为.现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率： 用计算机产生0到9之间的随机整数，用0,1表示该次投掷未在 8 环以上，用2,3,4,5,6,7,8,9表示该次投掷在 8 环以上，经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 031 257 393 527 556 488 730 113 537 989 据此估计，该选手投掷 1 轮，可以拿到优秀的概率为 A. B. C. D. 2. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 4. 已知平面的一个法向量为，点在平面内．若点P的坐标为，则直线PA与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 设，若点在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）． ①当点P为中点时，异面直线与所成角为 ②三棱锥中，点P到面的距离为定值 ③过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 ④直线与面所成角的正弦值的范围为 以上命题为真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 有两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则 B. 若，，三点不共线，平面外任一点，有，则，，，四点共面 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为 11. 直线的方程为，若在轴上的截距为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 直线关于点对称的直线经过点 B. 直线与的交点坐标为 C. 已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则的方程为 D. 已知动直线经过与的交点，当原点到的距离最大时，点到的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是__________. 13. 已知事件与相互独立，，，则____. 14. 在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在矩形和中，，，，，，，记，，． （1）将用表示出来； （2）当时，求与夹角的余弦值. 16. 如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，E是的中点. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 如图，在五面体中，底面为正方形，. （1）求证：； （2）若为的中点，为的中点，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分 18. 为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲、乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下： ①抛一次质地均匀的硬币，若正面朝上，则由甲回答一个问题，若反面朝上，则由乙回答一个问题. ②回答正确者得10分，另一人得0分；回答错误者得0分，另一人得5分. ③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分. 已知甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，且两人每道题目是否回答正确相互独立. （1）求乙同学最终得10分的概率； （2）记为甲同学的最终得分，求的概率. 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，则的值； （3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $