3.3幂函数11题型分类讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本讲义聚焦幂函数的概念、图象及性质这一核心知识点，系统梳理从定义特征（系数为1、底数是自变量、指数为常数）到常用幂函数图象与性质（定义域、值域、奇偶性、单调性）的脉络，再通过11类题型（概念判断、解析式求解、图象应用等）构建从基础到应用的完整学习支架。 该资料亮点在于题型分类细致，覆盖概念辨析、图象定点、性质应用等11类问题，配套表格对比性质培养几何直观，结合2026年各地检测真题提升推理能力。通过实例（如判断幂函数、比较大小）强化数学语言表达，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，发展创新意识与应用能力。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 3.3幂函数11题型分类 一、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 注意：幂函数的特征 (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 二、一些常用幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)． 3、 一些常用幂函数的性质 函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(0， ＋∞)上单调递减 在(－∞，0]上单调递减 在(－∞，0)上单调递减 注意：幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． （一） 幂函数的概念 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 题型1：判断一个函数是否为幂函数 1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．【多选】（2026高一·新疆·阶段检测）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026高一·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·课后作业）下列函数中是幂函数的是（    ） ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ 5．【多选】（2026高一·海南三亚·期中）下列哪些函数是幂函数（ ） A． B． C． D． 题型2：求幂函数解析式或求值 6．（2026高一·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 7．（2026高一·陕西榆林·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则_________． 8．（2026高一·广东中山·专题练习）幂函数的图象过点，则函数的值域是_______________ 9．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为：____________. 题型3：根据幂函数求参数 10．（2026高一·云南昆明·期中）“”是“为幂函数”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2026·上海闵行·模拟预测）已知，若是幂函数，且，则______. 12．（2026高一·湖北十堰·阶段检测）已知幂函数，则（    ） A．8 B．2 C．4 D． 13．（2026高一·浙江杭州·期末）已知幂函数，则是__________． （二） 幂函数的图象及应用 依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 题型4：幂函数过定点问题 14．（2026高一·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 15．（2026高一·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 16．（2026高一·全国·寒假作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 17．（2026高一·安徽安庆·期中）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为_____． 题型5：幂函数的图象及应用 18．（2026高一·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 19．（2026高一·浙江·开学考试）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 20．（2026高一·上海嘉定·期中）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 21．（2026高一·山东青岛·期中）在同一坐标系内，函数和的图像可能是（    ） A． B． C． D． 22．（2026高二·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 23．（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． （三） 求幂函数的定义域和值域 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解.幂函数的定义域由幂指数a确定：①当幂指数取正整数时，定义域为R；②当幂指数取零或负整数时，定义域为(一∞,0) (0,+∞)；③当幂指数取分数时，可以先化成根式(在第四章会学到)，再根据根式的要求求定义域. 题型6：求幂函数的定义域 24．（2026高三·上海静安·期中）函数的定义域为______. 25．（2026高一·上海·随堂练习）函数的定义域为________． 26．（2026高一·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 27．（2026高一·江苏南通·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 28．（2026高一·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________． 题型7：求幂函数的值域 29．（2026高三·上海·期中）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为______． 30．（2026高一·江苏扬州·阶段检测）若，则满足幂函数的定义域与值域相同的构成集合，则集合的非空真子集个数为（    ） A．14 B．7 C．23 D．11 31．【多选】（2026高一·山东潍坊·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 32．（2026高一·上海浦东新·阶段检测）函数，的值域为__________. 33．（2026高三·上海嘉定·阶段检测）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________． （四） 利用幂函数的性质比较大小 （1）比较幂大小的三种常用方法: (2)利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题: 比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小. 题型8：利用函数的单调性比较大小 34．（2026高一·天津·期中）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 35．（2026高一·广东佛山·阶段检测）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 36．【多选】（2026高一·重庆·期中）若函数且，则（    ） A． B． C． D． 37．（2026高三·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 38．（2026高一·山东·期中）已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型9：利用函数单调性求参数的取值范围 39．（2026高二·辽宁辽阳·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数______． 40．（2026高二·河北·期末）已知幂函数在上单调递减，则__________． 41．（2026高二·湖北黄冈·期末）已知幂函数在上单调递减，则（   ） A．1或2 B．0或1 C．1 D．2 42．（2026高一·湖南长沙·阶段检测）已知幂函数的图象在上单调递减，则__________. 43．（2026·安徽合肥·模拟预测）“”是“函数为幂函数，且在上单调递减”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） （五） 幂函数的性质综合应用 利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 题型10：利用幂函数解不等式 44．（2026高一·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 45．（2026高一·四川绵阳·期末）已知幂函数的图象经过点，且，则实数a的取值范围是________． 46．（2026高一·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 47．（2026高一·江苏南京·期中）已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．（2026高一·吉林延边·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 49．（2026高一·云南昆明·阶段检测）若幂函数图象过点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 50．（2026高一·宁夏吴忠·阶段检测）已知幂函数在上是增函数 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围． 题型11：利用幂函数的单调性、奇偶性及其应用 51．（2026高二·浙江·阶段检测）已知函数，不等式对于恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 52．（2026高一·江西赣州·期末）已知幂函数在区间上单调递增，函数是定义域为的奇函数，且满足时，. (1)求的解析式； (2)解关于的不等式. 53．（2026高一·上海静安·阶段检测）已知幂函数在区间上是严格增函数． (1)求该函数的表达式； (2)幂函数为偶函数，记，求函数在区间上的最大值． 1．（2026高一·河南郑州·期末）若幂函数的图象经过点，则在定义域内为（   ） A．减函数 B．增函数 C．偶函数 D．奇函数 2．（2026高一·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·湖南长沙·期末）幂函数在上单调递增，则（   ） A．1 B．3 C． D． 4．（2026高一·江苏连云港·期末）已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026高一·江西九江·期中）下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026高二·福建莆田·期中）如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（    ）    A． B． C． D． 7．（2026高一·河北唐山·期末）已知幂函数的图象经过点，则是（   ） A．偶函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递减 C．奇函数，且在上单调递增 D．奇函数，且在上单调递减 8．（2026高一·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．（2026高一·云南昆明·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 10．（2026高三·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 11．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 12．【多选】（2026高一·四川眉山·期末）已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 13．【多选】（2026高一·江苏常州·期末）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 14．（2026高一·广东汕头·竞赛）已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 15．（2026高二·宁夏银川·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 16．（2026高三·江西·阶段检测）已知幂函数的定义域为，则_________. 17．（2026高一·云南曲靖·期中）幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点__________． 18．（2026高一·湖南衡阳·期中）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递减，则关于的不等式的实数取值范围为_____． 19．（2026高一·广东·阶段检测）已知幂函数的定义域不为. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围. 20．（2026高一·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 21．（2026高一·江苏扬州·期中）已知幂函数在上单调递增． (1)求实数的值： (2)若函数在上的最小值为1，求实数的值． 22．（2026高一·天津武清·阶段检测）若函数为幂函数，且在单调递增． (1)求实数的值； (2)设函数，是否存在实数，使得当时恒成立，若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由． 23．（2026高一·湖南邵阳·期末）已知幂函数在上单调递减，. (1)当时，求的表达式并直接写出在的单调区间． (2)若在上的最小值为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 3.3幂函数11题型分类 一、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 注意：幂函数的特征 (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 二、一些常用幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)． 3、 一些常用幂函数的性质 函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(0， ＋∞)上单调递减 在(－∞，0]上单调递减 在(－∞，0)上单调递减 注意：幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． （一） 幂函数的概念 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 题型1：判断一个函数是否为幂函数 1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 2．【多选】（2026高一·新疆·阶段检测）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义逐项判断. 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数， 对于A：的系数是2，不是幂函数，A错误； 对于B：是，的情形，B正确； 对于C：是指数函数，C错误； 对于D：是，的情形，D正确； 故选：BD. 3．（2026高一·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义，逐一分析选项，判断其是否符合幂函数的形式. 【详解】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 4．（2026高一·全国·课后作业）下列函数中是幂函数的是（    ） ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义即可逐一判断. 【详解】的系数是而不是1，故①不是幂函数； 是指数函数，故②不是幂函数； 的底数是而不是，故④不是幂函数； 是两个幂函数和的形式，故⑥也不是幂函数； 而和具有幂函数的形式，故③ ⑤是幂函数. 故选：C. 5．【多选】（2026高一·海南三亚·期中）下列哪些函数是幂函数（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据幂函数定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，为指数函数，A错误； 对于BD，与均符合（为常数）的形式，即为幂函数，BD正确； 对于C，不符合（为常数）的形式，不是幂函数，C错误. 故选：BD. 题型2：求幂函数解析式或求值 6．（2026高一·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题意得，，则，则. 7．（2026高一·陕西榆林·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则_________． 【答案】27 【分析】先根据题意得到，再计算即可. 【详解】由题知：，，所以. . 8．（2026高一·广东中山·专题练习）幂函数的图象过点，则函数的值域是_______________ 【答案】 【分析】由条件，结合幂函数定义利用待定系数法求得，令，换元可得，结合二次函数性质求结论. 【详解】设，代入点得， 所以， 所以，， 则，， 令，则， 所以， 函数的值域是. 9．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为：____________. 【答案】 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点， 所以 ，即，解得 ，即， 则，定义域为 . 故所求幂函数的解析式为：. 题型3：根据幂函数求参数 10．（2026高一·云南昆明·期中）“”是“为幂函数”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先根据幂函数定义确定系数条件，再分别判断“”能否推出“是幂函数”以及“是幂函数”能否推出“”，即可判断其充分性和必要性. 【详解】由，可得，所以函数为幂函数， 反之，由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 故“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：B 11．（2026·上海闵行·模拟预测）已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值. 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. 12．（2026高一·湖北十堰·阶段检测）已知幂函数，则（    ） A．8 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】由幂函数的定义，知，解得，所以，则. 13．（2026高一·浙江杭州·期末）已知幂函数，则是__________． 【答案】1 【详解】因为函数为幂函数， 所以. （二） 幂函数的图象及应用 依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 题型4：幂函数过定点问题 14．（2026高一·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 15．（2026高一·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【答案】3 【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 16．（2026高一·全国·寒假作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的性质，令，可得定点的横坐标，然后利用幂函数的性质求定点的纵坐标． 【详解】令，即时， ， 图象恒过定点． 故选：B. 17．（2026高一·安徽安庆·期中）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为_____． 【答案】(1,2) 【分析】根据幂函数的性质确定所过定点，即可确定所过定点． 【详解】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有， 所以，即的图象经过定点(1,2)， 故答案为：． 题型5：幂函数的图象及应用 18．（2026高一·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 【答案】C 【详解】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又，则该函数图象在轴及上方， 而，则函数在上单调递增， 所以幂函数的图象经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增. 19．（2026高一·浙江·开学考试）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得函数的定义域，再求得为偶函数，且在上单调递减，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，则满足，解得， 即函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除BD选项， 又由幂函数的性质，可得在上单调递减， 所以选项A的图象符合题意. 20．（2026高一·上海嘉定·期中）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的图象，结合幂函数的性质判断即得. 【详解】令图象为的幂函数分别为， 观察图象知，曲线在第一象限内从左到右下降，对应函数在上单调递减，则； 曲线在第一象限内从左到右都上升，对应函数在上都单调递增， 而在时，曲线在直线上方，曲线在直线下方，则， 因此. 故选：D 21．（2026高一·山东青岛·期中）在同一坐标系内，函数和的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时： 直线：斜率，轴截距，故直线过一、三、四象限. 幂函数：若，在递增且“上凸”，无此选项. 若，是偶函数，图像为开口向上的抛物线，对应选项C. 若，在递增且“下凸”，无此选项. 当时： 直线：斜率，轴截距，故直线过一、二、四象限，无此选项. 幂函数：在递减，对应选项A、D，但A中直线截距为负，D中直线截距为负，均与矛盾. 综上，只有选项C符合条件. 22．（2026高二·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 23．（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【答案】 【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除， 图象关于轴对称，故函数是偶函数， 时，，定义域为，满足，是偶函数； 时，，定义域为，满足，是奇函数； ． （三） 求幂函数的定义域和值域 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解.幂函数的定义域由幂指数a确定：①当幂指数取正整数时，定义域为R；②当幂指数取零或负整数时，定义域为(一∞,0) (0,+∞)；③当幂指数取分数时，可以先化成根式(在第四章会学到)，再根据根式的要求求定义域. 题型6：求幂函数的定义域 24．（2026高三·上海静安·期中）函数的定义域为______. 【答案】 【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可. 【详解】由，使得式子有意义，则，则定义域为. 故答案为： 25．（2026高一·上海·随堂练习）函数的定义域为________． 【答案】 【分析】由二次根式有意义的条件列出不等式即可求解. 【详解】要使有意义，则，解得. 故答案为：. 26．（2026高一·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 27．（2026高一·江苏南通·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出幂函数，再由幂函数有意义列出不等式组求解. 【详解】设， 代入点，可得，解得， 所以， 要使有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为. 28．（2026高一·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________． 【答案】1 【分析】根据已知条件列出约束式即可求解. 【详解】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1 题型7：求幂函数的值域 29．（2026高三·上海·期中）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为______． 【答案】 【分析】代入点可得，结合即可得函数值域. 【详解】将点代入可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 30．（2026高一·江苏扬州·阶段检测）若，则满足幂函数的定义域与值域相同的构成集合，则集合的非空真子集个数为（    ） A．14 B．7 C．23 D．11 【答案】A 【分析】分别分析取不同值时，的定义域和值域，可得集合A，根据非空真子集个数的求法，代入公式，即可得答案. 【详解】当时，，定义域为，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为，符合题意； 当时，，定义域为，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为，符合题意； 当时，，定义域和值域都为R，符合题意； 当时，，定义域为R，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为R，符合题意； 所以集合，则集合的非空真子集个数为. 故选：A. 31．【多选】（2026高一·山东潍坊·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数解析式分别计算值域判断各个选项即可. 【详解】，函数值域为，A选项正确； ，函数值域为，B选项错误； ，函数值域为，C选项正确； ，函数值域为，D选项正确； 故选：ACD 32．（2026高一·上海浦东新·阶段检测）函数，的值域为__________. 【答案】 【分析】根据基本初等函数性质，判断函数单调性，判断函数值域. 【详解】可知和在上都单调递增， 则在上都单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为，则函数值域为. 故答案为：. 33．（2026高三·上海嘉定·阶段检测）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解. 【详解】由函数单调递增， ①当时，若，有， 而，此时函数的值域不是； ②当时，若，有，而， 若函数的值域为，必有，可得． 则实数的取值范围为． 故答案为： （四） 利用幂函数的性质比较大小 （1）比较幂大小的三种常用方法: (2)利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题: 比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小. 题型8：利用函数的单调性比较大小 34．（2026高一·天津·期中）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应的幂函数单调性进行求解. 【详解】由题意得函数在上单调递增， 因为，所以得：，故A项正确. 故选：A. 35．（2026高一·广东佛山·阶段检测）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数在第一象限内是增函数，即可判断的大小. 【详解】因为，，， 又在第一象限内是增函数，， 所以，即. 故选：D. 36．【多选】（2026高一·重庆·期中）若函数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】判断出函数的单调性及图象形状，结合复合函数单调性的判断方法、特殊值法逐项分析即可. 【详解】函数在定义域上为增函数. 选项A：因为，则， 又函数为增函数，所以，即， 所以，A正确； 选项B：令. 取，，则，， 此时，即，也即，B错误； 选项C：因为函数为增函数，函数为增函数，所以函数也为增函数， 因为，所以，C正确； 选项D：函数简图如下： 函数在上为凸函数，此时； 函数在上为凹函数，此时，D错误. 故选：AC. 37．（2026高三·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A.， 38．（2026高一·山东·期中）已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，得到在上单调递减，进而即得. 【详解】由点在幂函数的图象上，可得，解得， 所以，函数在上单调递减， 因为，所以，即， 又因为，所以. 故选：D. 题型9：利用函数单调性求参数的取值范围 39．（2026高二·辽宁辽阳·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】已知是幂函数，则，解得或， 又因为在上单调递减，所以，即，所以． 40．（2026高二·河北·期末）已知幂函数在上单调递减，则__________． 【答案】 【详解】由题意可知， 所以，解得. 所以， 所以. 41．（2026高二·湖北黄冈·期末）已知幂函数在上单调递减，则（   ） A．1或2 B．0或1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先依据幂函数的定义求出的可能取值，再结合函数在上单调递减的性质筛选得到正确结果. 【详解】根据幂函数的定义可得 ，即，解得或， 又在上单调递减，可得，即， 所以. 42．（2026高一·湖南长沙·阶段检测）已知幂函数的图象在上单调递减，则__________. 【答案】 【详解】因为函数是幂函数，所以，得， 当时，，函数图象在区间上单调递增，不满足条件， 当时，，函数图象在区间上单调递减，满足条件， 所以. 43．（2026·安徽合肥·模拟预测）“”是“函数为幂函数，且在上单调递减”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【详解】当为幂函数时，解得或， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减. 所以 “”是“为幂函数，且在上单调递减”的充分不必要条件． （五） 幂函数的性质综合应用 利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 题型10：利用幂函数解不等式 44．（2026高一·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性定义和幂函数性质得在上单调递增，并将所求不等式化为，利用单调性可得自变量大小关系，进而求得结果. 【详解】的定义域为，， 为定义在上的奇函数； 由幂函数性质知：在上单调递增； 由得：， ，解得：，不等式的解集为. 故选：D. 45．（2026高一·四川绵阳·期末）已知幂函数的图象经过点，且，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】首先求得函数的解析式，然后求解实数的取值范围即可. 【详解】设幂函数的解析式为，由题意可得：， 即幂函数的解析式为：， 则即：， 得：，求解不等式组可得实数的取值范围是. 故答案为： 46．（2026高一·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，得到函数解析式，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数. 因为，所以，解得． 故答案为：. 47．（2026高一·江苏南京·期中）已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过幂函数定义解出，再通过判定出，根据单调性再解即可. 【详解】由为幂函数可知：或， 又，故在单调递减，故，所以， 则得，即，整理得， 解得或或， 实数的取值范围是. 故选：D. 48．（2026高一·吉林延边·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数的运算性质求的坐标，根据幂函数定义求，利用函数性质解不等式即可. 【详解】函数（且）的图象恒过定点， 设幂函数，， 因为幂函数的图象过点， 则，解得，即， 显然函数的定义域为全体实数， 因为， 所以函数是偶函数， 由幂函数的单调性的性质，函数在上单调递增， 则，即，即， 整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 49．（2026高一·云南昆明·阶段检测）若幂函数图象过点，且，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件求出的知，分析函数在上的单调性，由可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由已知条件可得，解得，则， 所以，函数在上为增函数， 由可得，解得. 故选：B. 50．（2026高一·宁夏吴忠·阶段检测）已知幂函数在上是增函数 (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义与性质即可得解； （2）利用的单调性与定义域即可得解. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或， 又在上是增函数，故， ，则. （2）由（1）知在上是增函数， 又，的定义域为， ，解得， 的取值范围是． 题型11：利用幂函数的单调性、奇偶性及其应用 51．（2026高二·浙江·阶段检测）已知函数，不等式对于恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，结合函数性质把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】当时，，所以； 当时，，所以； 当时，. 所以对，总有. 所以函数为奇函数. 当时，，在上单调递减. 结合奇函数的性质和函数图象可得函数在上单调递减. 所以， 所以，恒成立. 又（当且仅当时取等号）. 所以，可得. 即实数的取值范围为. 52．（2026高一·江西赣州·期末）已知幂函数在区间上单调递增，函数是定义域为的奇函数，且满足时，. (1)求的解析式； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据幂函数的概念，结合时，幂函数在上单调递增可求得； 再利用奇函数的性质求时的解析式，即可得在R上的解析式； （2）利用的奇偶性和单调性将不等式转化为含参不等式，求解不等式即可. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递减，不符合题意； 当时，，在上单调递增，符合题意； 所以，， 所以时，. 因为函数是定义在R上的奇函数，所以，， 当时，，则. 故. ∴. （2）由（1）中的解析式易证在上是增函数. ， ， ，即 当时，原不等式可化为，即，所以， 所以此时不等式的解集为. 当时，的两根为，. 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为. 53．（2026高一·上海静安·阶段检测）已知幂函数在区间上是严格增函数． (1)求该函数的表达式； (2)幂函数为偶函数，记，求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)或； (2)， 【分析】（1）由幂函数的单调性列不等式求出参数即可分析求解； （2）由幂函数奇偶性得函数的解析式，进而分、和三种情况分析函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以有，解得，又，所以或1或2， 当或2时，；当1时，； 综上，该幂函数的表达式为或； （2）由幂函数为偶函数，可知，所以， 则函数的图象开口向下，对称轴为， ①当时，g(x)在上单调递减，所以； ②当时，g(x)在上单调递增，在上单调递减，所以； ③当时，g(x)在上单调递增，所以； 综上， g(x)在上的最大值为 1．（2026高一·河南郑州·期末）若幂函数的图象经过点，则在定义域内为（   ） A．减函数 B．增函数 C．偶函数 D．奇函数 【答案】B 【分析】利用幂函数定义可求得其解析式，即可判断其单调性和奇偶性. 【详解】由题意得,得,即幂函数, 则函数在时单调递增,A错误，B正确. 因为函数的定义域为，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数,C，D错误. 故选：B 2．（2026高一·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】函数是幂函数，定义域为R， 又，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除AD； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，选项B符合要求. 故选：B 3．（2026高一·湖南长沙·期末）幂函数在上单调递增，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数的定义和单调性得到，进而求解即可. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 由幂函数的定义及单调性得，解得． 故选：B 4．（2026高一·江苏连云港·期末）已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求得，再根据其单调性和奇偶性求解. 【详解】设幂函数， 因为的图象过点， 所以，解得， 所以且在上是增函数，奇函数， 又， 所以， 所以，解得， 故选：B 5．（2026高一·江西九江·期中）下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的定义判定选项即可. 【详解】形如（为常数）的函数为幂函数，故A、B、C均为幂函数，D错误. 故选：D 6．（2026高二·福建莆田·期中）如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作直线分别与曲线相交，结合函数的单调性即可判断. 【详解】因为函数为增函数，所以， 所以作直线分别与曲线相交，交点由上到下分别对应的n值为， 由图可知，曲线相应n值为. 故选：A    7．（2026高一·河北唐山·期末）已知幂函数的图象经过点，则是（   ） A．偶函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递减 C．奇函数，且在上单调递增 D．奇函数，且在上单调递减 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出的解析式，根据奇函数定义和幂函数性质判断. 【详解】设，则，所以，故，， 又，所以是奇函数，且在上单调递增. 故选：C. 8．（2026高一·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， ，所以. 故选：B. 9．（2026高一·云南昆明·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因在上单调递增， 由，可得， 故. 故选：C. 10．（2026高三·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 11．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 12．【多选】（2026高一·四川眉山·期末）已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 【答案】AC 【分析】根据幂函数的定义和性质判断即可. 【详解】因为点在幂函数的图象上，所以，解得. 所以. 由于，所以是奇函数，A正确B错误； 易知，所以C正确； 根据幂函数的性质可知，分别在上单调递减，但是定义域内不是单调函数，所以D错误. 13．【多选】（2026高一·江苏常州·期末）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】由题意，结合幂函数的概念，可求得，代入函数解析式，根据幂函数的图像性质，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由幂函数定义可知，系数，解得或， 又因为，所以，故A正确； 对于B选项，当时，，其定义域为， 且满足，所以函数是偶函数，故B错误； 对于C选项，由可知，，， 所以，故C错误； 对于D选项，函数的值域为，故D正确. 14．（2026高一·广东汕头·竞赛）已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于轴对称. 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符. 所以， 15．（2026高二·宁夏银川·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 【答案】6 【详解】由题意得，，解得，. 16．（2026高三·江西·阶段检测）已知幂函数的定义域为，则_________. 【答案】4 【分析】根据函数是幂函数得出参数，再代入计算求出函数值. 【详解】因为函数是幂函数，所以，所以， 所以或， 又因为函数的定义域为， 当时，定义域为不符合题意； 当时，符合题意； 所以，则。 故答案为：4. 17．（2026高一·云南曲靖·期中）幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点__________． 【答案】 【分析】根据幂函数过点可求解析式，写出，根据函数的解析式可求所过定点. 【详解】因为幂函数过点，可解得， 所以， 故， 当时，， 故恒过定点. 故答案为 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式，函数过定点，属于中档题. 18．（2026高一·湖南衡阳·期中）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递减，则关于的不等式的实数取值范围为_____． 【答案】 【分析】根据幂函数的奇偶性和单调性得到，故，根据函数的定义域和单调性，得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】因为幂函数的图像关于轴对称，则函数是偶函数， 即为偶数，所以为奇数，又在上单调递减， ，解得，又，， 故不等式可化为， 函数的定义域为，且在与上均单调递减， 因而或或， 解得或或， 即满足所求不等式的实数取值范围为. 故答案为： 19．（2026高一·广东·阶段检测）已知幂函数的定义域不为. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数定义求得或，再结合幂函数定义域不为验证即可； （2）结合幂函数的奇偶性、单调性列不等式求解. 【详解】（1）由幂函数的定义可得，解得或， 若，则的定义域为，不符合题意， 若，则的定义域为，符合题意， 所以的解析式为. （2）由（1）得，的定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数， 由可得， 因为在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或， 解得或， 所以a的取值范围为． 20．（2026高一·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由幂函数的定义求解即可； （2）由（1）知，再结合二次函数的性质即可求解； （3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意可得，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 又因为函数在区间上是增函数， 所以，解得或，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 21．（2026高一·江苏扬州·期中）已知幂函数在上单调递增． (1)求实数的值： (2)若函数在上的最小值为1，求实数的值． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性求解； （2）根据二次函数的性质讨论求解即可. 【详解】（1）由题可得，即，解得或1， 当时，在上单调递减，不合题意； 当时，在上单调递增，合题意. 综上，. （2）由（1），所以，，对称轴， 当时，在上单调递增，所以，不合题意； 当时，在上单调递减，所以， ，解得，不合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，又，所以； 综上，. 22．（2026高一·天津武清·阶段检测）若函数为幂函数，且在单调递增． (1)求实数的值； (2)设函数，是否存在实数，使得当时恒成立，若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性求解即可； （2）由（1）得是一元二次函数，利用一元二次函数的图象和性质分情况讨论即可. 【详解】（1）因为函数为幂函数，且在单调递增， 所以，解得. （2）由（1）得，则是一元二次函数， 当时恒成立，只需即可， 当时，在上单调递增， ， 解得，与矛盾，此时无解； 当时，在单调递减，在单调递增， ，解得， 当时，在上单调递减， ， 解得，与矛盾，此时无解； 综上. 23．（2026高一·湖南邵阳·期末）已知幂函数在上单调递减，. (1)当时，求的表达式并直接写出在的单调区间． (2)若在上的最小值为，求的值． 【答案】(1)，单调递减区间为，单调递增区间为． (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得出关于实数的等式与不等式，解出值，得函数的解析式和函数的解析式，当时，根据对勾函数的单调性可得出函数在的单调区间； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合可求得实数的值. 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以，解得，故， 所以， 当时，，根据对勾函数的单调性， 所以函数在的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）由（1）可知， ①当时，因为函数、在上均为减函数， 则函数在上单调递减，则，解得（舍去）； ②当时，函数在上单调递减， 此时，不符合题意； ③当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 若，即当时，函数在上单调递增，则，符合题意， 若，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得（舍去）， 当时，即当时，函数在上单调递减， 此时，解得（舍去）． 综上所述，． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $