椭圆及其标准方程单元专项训练（八大题型）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

椭圆及其标准方程常见的八大题型

题型一：椭圆的定义及其应用

解题技巧：根据椭圆定义——平面内到两定点（焦点）的距离之和等于常数，且该常数大于两焦点间的距离——的点的轨迹是椭圆。判断曲线类型时，先把条件改写成“距离之和”形式，再与焦距比较：距离和＞焦距→椭圆；距离和＝焦距→线段；距离和＜焦距→不存在。利用定义还可直接求焦半径：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和恒等于长轴长2a。

1．方程表示的曲线为（    ）

A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形

2．方程表示的曲线为（    ）

A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形

3．已知动点满足，则动点的轨迹是（   ）

A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．线段

4．平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（    ）

A．   B．   C． D．

5．△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（    ）

A．    B．（y≠0）   C． D．

6．若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

7．若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（   ）

A．2 B．5 C．7 D．8

题型二：椭圆的标准方程与参数

解题技巧：椭圆标准方程分焦点在x轴上与焦点在y轴上两种，始终满足a²＝b²＋c²，焦距为2c。已知焦距或焦点坐标时，利用a²－b²＝c²列方程求参数；已知椭圆过两点求标准方程时，可设一般式mx²＋ny²＝1（m＞0，n＞0，m≠n）代入两点坐标解出m、n。

1．已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（    ）

A．  B． 或    C． D． 或

2．设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于（   ）

A．7 B．7或5 C．10 D．10或2

3．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ）

A．3 B．5 C．11 D．8

4．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

5．椭圆的一个焦点是，那么（    ）

A．1 B． C． D．

6．已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（    ）

A． B．或  C． D．以上都不对

题型三：椭圆的焦点位置与参数范围

解题技巧：先将方程化为标准形式，比较x²项与y²项对应分母（或系数）的大小：分母较大者对应的轴即为焦点所在轴。表示椭圆要求两个分母均大于0且不相等；表示焦点在y轴上的椭圆，要求y²项的分母大于x²项的分母。

1．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（        ）.

A． B． C． D．

2．已知方程表示焦点在轴的椭圆，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

3．方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

4．若方程表示椭圆，则的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

5．方程所表示的曲线是椭圆，则的取值范围是_____.

6．设方程表示椭圆，则实数的取值范围是______．

 

题型四：焦点三角形（周长与面积）

解题技巧：椭圆上一点P与两焦点F1、F2构成的三角形称为焦点三角形，其周长＝|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c。过焦点的直线被椭圆截得的弦与另一焦点围成的三角形周长等于4a。

求面积时，联立椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a与余弦定理，求出|PF1|·|PF2|，再得面积；当∠F1PF2＝90°时可直接

用勾股定理。当P位于短轴端点时，∠F1PF2最大、面积最大。

1．已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（   ）

A． B． C． D．

2．椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（    ）

A．12 B．18 C．16 D．20

3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（    ）

A． B． C． D．

4．已知椭圆，过作直线与交于两点，则的周长为（    ）

A．24 B．20 C．16 D．12

5．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ）

A．6 B．12 C． D．

6．已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于、两点，则的周长为_____．

7．已知椭圆的左右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，则的周长为__________.

8．已知点是椭圆上一动点，是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为_______．

9．已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为______.

 

10．已知是椭圆的两个焦点，点在该椭圆上，若，则的面积是______．

11．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于_______.

12．已知点是椭圆上一点，是其左右焦点，且，则三角形的面积为_________

13．已知、是椭圆 的左右焦点，点是椭圆上的一点，若，则____．