椭圆及其标准方程 专题训练 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦椭圆定义与标准方程，通过分层题型系统覆盖概念辨析、参数计算及综合应用，强化从定义到性质的逻辑推导，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与方程基础|单选1-6、填空12-14|考查焦点位置判断、参数范围及标准方程构建|从椭圆定义出发，建立a,b,c关系，推导标准方程，形成"定义-方程-参数"逻辑链| |性质应用与综合|单选7-8、多选9-11、解答15-19|涉及焦点三角形面积、周长计算及轨迹方程求解|结合定义与几何性质，通过推理运算解决综合问题，体现模型观念与应用意识|

椭圆及其标准方程 专题训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义表达式，代值计算即得. 【详解】由椭圆方程：，可知， 因，故. 故选：D. 2．若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程转化为，利用椭圆定义法求标准方程. 【详解】已知动点满足方程， 设，且， 则有， 故点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 且中心在原点，焦点在轴，即点的轨迹轨迹方程为椭圆的标准方程， 则，， 故所求轨迹方程为, 故选：B. 3．已知椭圆两个焦点为分别为、，过的直线交该椭圆于A、B两点，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】由图形及椭圆定义可得答案. 【详解】由椭圆方程可得：， 的周长为. 故选：D. 4．已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点在椭圆上得出定义表达式，运用余弦定理，联立求得的值，再运用三角形面积公式即得. 【详解】 如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①， 由余弦定理可得：，化简得：②， 由①式两边平方再减去②式，得：， 于是的面积为. 故选：D. 5．若方程表示椭圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆标准方程的形式列不等式求解即可. 【详解】因为方程表示椭圆， 所以， 解得， 故选：D. 6．过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知方程求出焦点即为所求椭圆焦点，设出所求椭圆方程，代入，解方程组即可. 【详解】由知，焦点为，，即，. 设所求椭圆方程为，则，解得， 故所求椭圆方程为. 故选：A. 7．设是椭圆上的一点，，为焦点，，则的面积为（    ） A． B． C． D．16 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理，求，再代入三角形面积公式，即可求解. 【详解】为椭圆上的一点，，为焦点，， ，，可得，即，， 设，，则有，，， ，． 的面积． 故选：C． 8．椭圆的两个焦点分别为，，点在椭圆上运动，则的周长为（    ） A．6 B． C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可 【详解】由，得，则， 所以， 因为点在椭圆上运动，所以， 所以的周长为， 故选：D 二、多选题 9．已知点P是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P，使得 B． C．的周长为定值6 D． 【答案】BCD 【分析】BC选项，由椭圆定义得到，，从而得到三角形周长；A选项，由余弦定理和基本不等式得到，结合的单调性得到，A错误；D选项，设，则，表达出，求出. 【详解】BC选项，因为， 由椭圆定义得，， 故的周长为，BC正确； A选项，由余弦定理得 ， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 因为在上单调递减，且， 所以，故不存在点P，使得，A错误； D选项，设，则，，， 故， 因为，所以，，D正确.    故选：BCD 10．设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 【答案】BC 【分析】根据椭圆的定义求解. 【详解】由题意知，定点，，可得， 因为，可得， 当且仅当，即时取得等号， 当时，可得的，此时点的轨迹是线段； 当时，可得，此时点的轨迹是椭圆. 故选：BC. 11．椭圆的焦距为4，则m的值可能是（   ） A．12 B．10 C．6 D．4 【答案】AD 【分析】分椭圆的焦点在轴，或在轴，根据椭圆方程，即可求解. 【详解】若椭圆的焦点在轴，则，，， 由，得； 若椭圆的焦点在轴，则，，，由，得， 故选：AD 三、填空题 12．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，则实数m的值为______． 【答案】5 【分析】由题意，根据椭圆方程中即可求解. 【详解】解：因为椭圆的焦点在x轴上，焦距为2， 所以，且， 所以实数m的值为5. 故答案为：5. 13．已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于A、B两点，若的周长为16，则____________． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义求出的值，由此可求得的值. 【详解】由题意得，则椭圆的焦点在轴上， 过的直线交于、两点， 可得的周长为，则， 故. 故答案为： 14．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆， 则， 即． 故答案为：. 四、解答题 15．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)经过点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出焦点在轴上椭圆的标准方程，利用待定系数法求解即可； （2）由于椭圆的焦点所在位置不确定可设为：，然后利用待定系数法求解即可. 【详解】（1）焦点在轴上的椭圆方程设为：. 由于椭圆经过两个点和， 所以，解得， 所以所求的椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的方程为：， 由于椭圆经过点， ，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 16．设k为实数，若椭圆的方程为，求满足下列条件的k的取值范围： (1)椭圆的焦点在x轴上； (2)椭圆的焦点在y轴上． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题可得，即求； （2）由题可知，即得. 【详解】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，椭圆的方程为， ∴，解得， ∴k的取值范围为； （2）∵椭圆的焦点在y轴上，椭圆的方程为， ∴，解得， ∴k的取值范围为. 17．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，如图，求圆心P的轨迹方程．    【答案】 【分析】设|PB|＝r，利用两圆相内切，两圆心距和两半径之间的关系列出|PA|，|PB|的关系式，正好符合椭圆的定义，利用定义法求轨迹方程即可. 【详解】设|PB|＝r.∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10， ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10，而|AB|＝6， ∴|PA|＋|PB|＞|AB|， ∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆． ∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.∴a＝5，c＝3. ∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. ∴圆心P的轨迹方程为. 18．已知椭圆的焦点为，且该椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆上的点满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点间距离公式求得P到椭圆的左右焦点的距离，然后根据椭圆的定义得到a的值，结合c的值，利用a,b,c的平方关系求得的值，再结合焦点位置，写出椭圆的标准方程． （2）利用向量的数量积，求得点满足的条件，再结合椭圆的方程，解得的值． 【详解】（1）解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c， 因为 所以，即， 又因为c=2，所以， 又因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上， 所以该椭圆的标准方程为. （2）解： 因为，所以，即， 又，所以，即. 19．已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 【分析】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得然后得到的最大值与最小值； (2)利用椭圆的定义表示出，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案． 【详解】（1）由椭圆可知，，， 则，，    则，当且仅当、、三点共线时成立， 所以， 所以的最大值与最小值分别为和； （2），，， 设是椭圆上任一点，由，， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 由， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 故的最大值与最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 椭圆及其标准方程 专题训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 2．若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆两个焦点为分别为、，过的直线交该椭圆于A、B两点，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．若方程表示椭圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 7．设是椭圆上的一点，，为焦点，，则的面积为（    ） A． B． C． D．16 8．椭圆的两个焦点分别为，，点在椭圆上运动，则的周长为（    ） A．6 B． C．8 D．10 二、多选题 9．已知点P是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P，使得 B． C．的周长为定值6 D． 10．设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 11．椭圆的焦距为4，则m的值可能是（   ） A．12 B．10 C．6 D．4 三、填空题 12．若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，则实数m的值为______． 13．已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于A、B两点，若的周长为16，则____________． 14．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______. 四、解答题 15．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)经过点. 16．设k为实数，若椭圆的方程为，求满足下列条件的k的取值范围： (1)椭圆的焦点在x轴上； (2)椭圆的焦点在y轴上． 17．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，如图，求圆心P的轨迹方程．    18．已知椭圆的焦点为，且该椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆上的点满足，求的值． 19．已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最大值与最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $