精品解析：广东东莞市嘉荣实验综合高级中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段性学情检测数学试题

数学学科高一第一次阶段性学情检测试题卷 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照．如需改动，用橡皮据干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合B满足，则集合的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】由可得， 又因，故集合的个数即集合的子集个数，为个. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， ． 3. 已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，， 所以. 4. 已知，，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即可得解. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，满足，则，故B错误； 对于C，显然成立，C正确； 对于D，，当时等号成立，故D错误. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】由，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 6. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】命题“”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 注意到要否定结论，而不是否定条件，所以所求否定是：． 7. 下列命题是全称量词命题的是（ ） A. ， B. 存在一个数的平方不大于0 C. 菱形的对角线互相垂直平分 D. 在20到30之间至少有2个质数 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义，逐一判断各选项的量词类型即可得出结果． 【详解】选项A：含存在量词“”，为存在量词命题，不符合要求； 选项B：含存在量词“存在一个”，为存在量词命题，不符合要求； 选项C：命题省略了全称量词“所有”，完整表述为“所有菱形的对角线互相垂直平分”，是对全部菱形作出的共性判断，为全称量词命题，符合要求； 选项D：含存在量词“至少有”，为存在量词命题，不符合要求． 8. 已知，为正实数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将原式的两个分母整体设为新变量，通过解方程组用新变量表示，代入原式化简后结合基本不等式即可求解最值. 【详解】∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数， ∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小翘给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 每一个末位是的整数都是的倍数 B. 对任意实数，的平方是正数 C. 有些菱形是正方形 D. 存在一个三角形，它的内角和小于 【答案】AC 【解析】 【分析】根据命题逐项判断真假即可. 【详解】选项A，每一个末位是0的整数都是5的倍数是真命题，A正确； 选项B，当，,显然0不是正数，B错误； 选项C，正方形是特殊的菱形，C正确； 选项D,所有的三角形内角和都是，不存在内角和小于 的三角形，D错误. 10. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】因为，所以，则，故A，B正确； 因为，所以，故C错误； 若，则不成立，故D错误. 11. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A、B；利用二次函数的性质可判断C、D． 【详解】对于A，由于，当且仅当时等号成立， 因此的最大值为，故A正确； 对于B，由于， 当且仅当时等号成立，因此的最小值为9，故B错误； 对于C，由于， 当且仅当时等号成立，因此的最小值为1，故C正确； 对于D，由于， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为．故D正确． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共三小题，每题5分，共15分） 12. 已知命题，则为_________________ 【答案】 【解析】 【详解】根据全称量词命题的否定， 由命题， 则为. 13. 若集合，且，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为集合，且，所以，解得． 14. 已知，，则的最小值为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】对原式因式分解后可得积为定值，再利用配凑法结合基本不等式可求最小值. 【详解】原式变形可得,分解因式得， 因为,所以,即,, 又因为，当且仅当时等号成立， 故的最小值为． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，或． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据交集运算直接求解即可； （2）先求出集合的补集，再利用并集运算求解即可. 【小问1详解】 由题得，. 【小问2详解】 由题得，或， 则或. 16. 指出下列各组命题中，是的什么条件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答） （1）：为自然数，：为整数； （2）：，：； （3）：同位角相等，：两直线平行． 【答案】（1）充分不必要条件 （2）必要不充分条件 （3）充要条件 【解析】 【小问1详解】 若为自然数，则为整数，但为整数，不妨令，则不是自然数， 所以是的充分不必要条件； 【小问2详解】 因为，且， 所以是的必要不充分条件； 【小问3详解】 同位角相等，可得到两直线平行，反之，两直线平行，可得到同位角相等， 所以是的充要条件． 17. 已知集合，，全集． （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 当时，， 因为，所以； 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 若是空集，则，得； 若不是空集，则，得， 则实数的取值范围为或 18. （1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 【答案】（1）最小值4，此时；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可． （2）通过变形构造和定的情形，结合基本不等式求解即可． （3）通过变形构造积定的情形，结合基本不等式求解即可． 【详解】（1）因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数在时取得最小值4. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以函数的最大值为. （3）因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 19. 两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． （1）若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额. （2）请问，采用哪种策略更经济？说明理由； （3）请根据(2)的讨论，从两种策略的平均价格入手得出一个一般性的数学结论.并用此结论解决下面问题“设，且，求的最小值．” 【答案】（1）策略①购得120件产品，共用180元；策略②购得135件产品，共用180元 （2） 采用策略①，两次购买物品的数量均为，则两次的平均价格为； 采用策略②，两次购买的金额均为，购买物品的数量， 则两次平均价格为， 因为，于是 当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济； 当 时，，采用策略②比采用策略①更经济. （3） 由（1）知，，且，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 【解析】 【分析】（1）由采用策略①和②，结合题意，得出策略①和②中购买的产品总量和总金额； （2）根据题意，分别求得策略①和②中购买的平均价格，比较大小，即可得答案； （3）由（2）的结论，由得到，即，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 采用策略①，两次购买物品的数量均为，且第一次、第二次购买的价格分别为， 则采用策略①购买的产品总量为，总金额为； 采用策略②，两次购买的金额均为，其中第一次、第二次购买的价格分别为， 则策略②购买的产品总量，总金额为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，，且，当且仅当时取等号， 当时，由，得，即， 因此，当且仅当时取等号，则， 所以的最小值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科高一第一次阶段性学情检测试题卷 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照．如需改动，用橡皮据干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合B满足，则集合的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 8 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题是全称量词命题的是（ ） A. ， B. 存在一个数的平方不大于0 C. 菱形的对角线互相垂直平分 D. 在20到30之间至少有2个质数 8. 已知，为正实数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小翘给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 每一个末位是的整数都是的倍数 B. 对任意实数，的平方是正数 C. 有些菱形是正方形 D. 存在一个三角形，它的内角和小于 10. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共三小题，每题5分，共15分） 12. 已知命题，则为_________________ 13. 若集合，且，则______． 14. 已知，，则的最小值为____________________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合，或． （1）求； （2）求． 16. 指出下列各组命题中，是的什么条件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答） （1）：为自然数，：为整数； （2）：，：； （3）：同位角相等，：两直线平行． 17. 已知集合，，全集． （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18. （1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 19. 两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． （1）若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额. （2）请问，采用哪种策略更经济？说明理由； （3）请根据(2)的讨论，从两种策略的平均价格入手得出一个一般性的数学结论.并用此结论解决下面问题“设，且，求的最小值．” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $