精品解析：广东省东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2025-2026学年高一上学期学习效率检测(三)数学试题

东莞市东华高级中学 东华松山湖高级中学 2025-2026学年第一学期学习效率检测（三） 高一数学 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项是正确的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即可求出. 【详解】且，得且， 则函数的定义域为. 故选：C 2. 函数零点所在的大致区间为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出的值. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，，， 故函数的零点所在区间为， 又因为函数零点所在的大致区间为，故. 故选：C. 3. 已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可得出关于的等式，求出的值，再结合函数为偶函数检验即可. 【详解】因为函数是幂函数，则，即，解得或， 当时，函数为奇函数，不符合题意， 当时，函数为偶函数，符合题意. 综上所述，. 故选：D. 4. 设函数，则在上的单调递减区间是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性求解即可. 【详解】由已知， 令，，则，， 又，∴在上的单调递减区间为． 故选：D. 5. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图可知的两个根其中一个根在，另一个根在，结合，可得的范围，结合指数的单调性即可判断. 【详解】的图象与x轴的交点的横坐标为方程的两个根， 由可得两根为， 又，所以， 由可知，为增函数， 又由，得，所以的图象与y轴的交点在x轴上方， 只有C选项满足题意， 故选：C 6. 某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数模型，代入数值，化简可得，即可得函数解析式，代入数值可得不等式，解不等式即可. 【详解】已知初始电量为，经过小时后，剩余电量， 则有即，解得， 当剩余电量不低于即，化简得， 两边同取以为底的对数即，由对数运算法则得， 解得，代入数据可得， 故选：C. 7. 已知是定义在上的奇函数，且满足当时，，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得函数在上为递增函数，且，把不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则满足，且， 当时，，因为都是增函数， 可得在上为单调递增函数，所以在上也是单调递增函数， 所以函数在上为单调递增函数，且，， 在不等式，即， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 8. 已知，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将目标式化为，令，得到线性关系式为，结合辅助角、二倍角余弦公式及三角函数的性质有最大值为，由及二次函数的性质求最大值，注意取值条件，即可得答案. 【详解】由 ①， 令，，则①式， 所以的最大值为 ，， 所以，令， 当，即时，， 此时①式，即， 综上，，时目标式取最大值为1. 故选：A 【点睛】关键点点睛：将目标式化为得到线性关系式为关键. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 函数与的图象关于直线对称，则 C. 函数的图象恒过定点 D. 若，则的最小值为4 【答案】BC 【解析】 【分析】A根据全称量词命题的否定定义判断；B写出的解析式，计算即可判断；C计算，即可判断；D利用基本不等式即可判断. 【详解】命题“，”的否定为“，”，故A错误； 由题意可知，，则，故B正确； 因为，所以函数的图象恒过定点，故C正确； 因为，且，所以， 等号成立时，则的最小值为，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于原点对称 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域结合正切函数值域计算判断A，根据周期定义计算判断B，根据对称中心定义计算判断C，化简得出，再结合二倍角公式计算判断D. 【详解】由题意知，解得，所以函数的定义域为，故A正确； ，所以是的周期，故B错误； 由的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于原点对称，故C正确； 若，所以，所以， 所以，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数，若关于x的方程有4个不等的实数根，分别记为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 函数有8个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】先作出函数的图象，对于A，观察函数的图象与何时有个交点即可；对于B，通过求解即可；对于C，由韦达定理可知，由图象可得，进而得，最后结合的范围求解即可；对于D，令，求出的根，代入，继续根据图象求根的个数即可. 【详解】在平面直角坐标系中，作出函数的图象. 关于x的方程有4个不等的实数根，等价于函数的图象与有个交点. 对于A：由图可知，当时，函数的图象与有个交点，故A正确； 对于B：由图可知，，即，得， 解得，故B正确； 对于C：由图可知，是的两个解，因此，由韦达定理可得. ，得， 因此有，得. 因此，故C错误； 对于D：设，则，即， 当时，，解得或； 当时，，得或，解得或. 当时，由图可知，无解； 当时，由图可知，有2个解； 当时，由图可知，有3个解； 当时，由图可知，有3个解. 综上所述，函数有个零点，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知一个面积为的扇形的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用面积先求出半径，再利用求出圆心角弧度数. 【详解】设扇形的半径为 ，圆心角为 ， 依题意可得，解得 . 故答案为：. 13. 若正实数满足，则的最小值是__________. 【答案】9 【解析】 【分析】双变量最值，采取消元手段或者基本不等式处理即可. 【详解】解析一:， 则，等号成立时. 所以的最小值是9. 解析二:， 则， 等号成立时所以的最小值是9. 故答案为：9. 14. 设函数定义在上，，，且当时，.若，则______，______ 【答案】 ①. 0 ②. ##1.3 【解析】 【分析】分析得到当时，，所以，化简得到，所以. 【详解】由函数方程，令 得到，因为存在使得，所以， 令得到，即； 所以当时，，所以； 当，令 ，则右边 ，左边，因为，所以，所以，即 令 ，则，因为 ，所以，所以， 令，得到，结合，所以 所以，所以. 故答案为： 0，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，不等式的解集是或，，. （1）计算； （2）若不等式的解集为，且“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用补集和并集的概念运算； （2）根据一元二次不等式的解集化简不等式，进而求出集合，再利用集合之间的包含关系求解. 【小问1详解】 由或，且，则， 由，等价于，则， 所以. 【小问2详解】 由题意可得，且，1为方程的两个解， 则，，化简可得，， 所以不等式等价于， 化简可得，解得，所以， 因为，且，所以， 则， 因为“”是“”的充分条件，所以， 则， 解得或. 所以，的取值范围是 16. 求下列各式的值： （1）. （2）设，求的值. （3）已知，求的值. 【答案】（1）11 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算法则根据即可求解 （2）根据指对互化，再结合对数的运算法则即可求解； （3）根据幂指数的运算法则得到，，代入即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由，可得，， 则，， 所以. 【小问3详解】 ∵， ∴，∴， ∴， ∴，∴， ∴， ∴. 17. 已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. （1）求的值； （2）求的值； （3）记点的横坐标为，若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义和三角函数的基本关系式，即可求解； （2）利用三角函数的诱导公式，化简原式，代入即可求解； （3）根据题意，得到，结合诱导公式，化简原式，即可求解. 【小问1详解】 解：由圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点， 可得，所以. 【小问2详解】 解：由. 【小问3详解】 解：因为为锐角，且，可得， 将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点， 则点的横坐标为且，所以， 则. 18. 已知函数满足，函数. （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）试判断是否存在实数，使得函数，满足对于任意的，，当时，都有，若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将原关系中 替换为 ，通过两式消元得到函数的解析式； （2）由（1）得到函数 ，然后令，并求得 的取值范围，代入不等式后整理化简，然后通过函数单调性求得不等式一边的最值，即可求得实数 的取值范围； （3）列出函数的解析式，由函数的定义域可得 ，再构造函数，利用函数单调性定义确定单调性，进而利用分段函数单调性列式求解. 【小问1详解】 ∵，∴， ∴， ∴，∴； 【小问2详解】 ， 所以在上恒成立， 令，∵，∴， ∴，∴，. ∵，∴，∴，∴. 【小问3详解】 函数为分段函数 由函数定义域知，当时，函数在处无定义，则， 令函数 对于任意的，，当时，都有， 不妨设，则，即，因此函数在上单调递减， 则，解得， 所以存在实数满足条件，. 19. 函数的最小正周期为，为该函数的一个对称中心. （1）求、； （2）当时，设的最大值为，求的值域； （3）把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线.试问当时，，，能否作为三边长？请说明理由. 【答案】（1）， （2） （3）能，理由如下： 把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到， 当时，，，可以作为三边长， 将问题转化为证明任意两数之和大于第三个数. 先证明：， 由题意可知，，，， ， ， 故， 同理， 又. 综上，，能作为三边长. 【解析】 【分析】（1）由函数的最小正周期求出，再将代入解析式并结合的范围可得的值，从而得到函数解析式； （2）的值域即为在区间上最大值与最小值之差的取值范围，分的对称轴在区间内和不在区间内分别讨论可得结果； （3）图象变换得的解析式，再根据三角变换可证任意两数和大于第三个数. 【小问1详解】 函数的最小正周期为，则，∴， ∵为该函数的一个对称中心，则，即， 又，∴， ∴， 【小问2详解】 由（1）知， 的值域即为在区间上最大值与最小值之差的取值范围. ∵，∴可分下列两种情况讨论： ①若的对称轴在区间内，不妨设对称轴在内，则的最大值为1， 当，即时，此时取最小值为. ②若的对称轴不在区间内，则在区间内单调， 则且，即，. 在两端点处取得最大值与最小值，则， 此时即时，取最大值为1. 即的值域为. 【小问3详解】 能，理由略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞市东华高级中学 东华松山湖高级中学 2025-2026学年第一学期学习效率检测（三） 高一数学 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项是正确的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 函数零点所在的大致区间为，则为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设函数，则在上的单调递减区间是（ ）． A. B. C. D. 5. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的奇函数，且满足当时，，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 函数与的图象关于直线对称，则 C. 函数的图象恒过定点 D. 若，则的最小值为4 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于原点对称 D. 若，则 11. 已知函数，若关于x的方程有4个不等的实数根，分别记为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 函数有8个零点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知一个面积为的扇形的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为______ 13. 若正实数满足，则的最小值是__________. 14. 设函数定义在上，，，且当时，.若，则______，______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，不等式的解集是或，，. （1）计算； （2）若不等式的解集为，且“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 16. 求下列各式的值： （1）. （2）设，求的值. （3）已知，求的值. 17. 已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. （1）求的值； （2）求的值； （3）记点的横坐标为，若，求的值. 18. 已知函数满足，函数. （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）试判断是否存在实数，使得函数，满足对于任意的，，当时，都有，若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由. 19. 函数的最小正周期为，为该函数的一个对称中心. （1）求、； （2）当时，设的最大值为，求的值域； （3）把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线.试问当时，，，能否作为三边长？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $