精品解析：江苏省邗江中学等校2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷

高一年级12月联考 数学试题 命题人：倪富春 孙霞 2025.12 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面直角坐标系中点位于第三象限，且，则角为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 6. 已知某放射性物质的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示原有的某种物质的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的某种物质的质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ） （参考数据：，） A. 690年 B. 700年 C. 710年 D. 720年 7. 如图是的图象，则的图象为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数且的图象恒过定点 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的最小值为6 D. 函数的单调增区间为 10. 设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为定义在上的偶函数，当时，，则_____ 13. 如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为________． 14. 已知实数，满足，，则的值_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设全集，已知，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. （1）求的值； （2）求的值； （3）记点的横坐标为，若，求的值. 17. 某自来水水源地污染超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度（毫克/升）满足：，其中，当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）时称为有效净化：当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化. （1）如果投放的药剂的质量为，试问自来水达到有效净化总共可以持续多少天？ （2）如果投放的药剂的质量为，为了使在前9天（从投放药剂时算起到第9天结束）之内的自来水达到最佳净化标准，试确定应该投放的药剂质量的最大值. 18. 已知二次函数的图象经过原点，函数是偶函数，方程有两相等实根. （1）求的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围. 19. 定义：对于函数，，，若存在实数，使得，则称为，的生成函数. （1）设，，，写出生成函数在的单调区间（无需证明）； （2）设，，生成一个函数，同时满足下列条件：为偶函数，且的最大值为. ①求函数的解析式； ②已知，，，，对于上的任意值，记，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级12月联考 数学试题 命题人：倪富春 孙霞 2025.12 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用三角函数的周期性化简角度，再将大角度转化为特殊锐角后求值即可. 【详解】， 又因为，所以， 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式和对数的运算性质分别求出集合A、B，结合交集的定义和运算即可求解. 【详解】由，解得， 所以； 由，解得， 所以， 所以. 故选：B 3. 若，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别利用正弦函数，指数函数和对数函数的性质，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由，所以， 又由，因为，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：A. 4. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求解即可. 【详解】由题意， 故，又，则. 故选：C 5. 已知平面直角坐标系中点位于第三象限，且，则角为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，得到为第二象限角，得到，结合，即可求解. 【详解】由点位于第三象限，可得且，可得为第二象限角， 则，可得 当为奇数时，可得为第三象限角，可得，不满足题意； 当为偶数时，可得为第一象限角，满足， 综上可得为第一象限角. 故选：A. 6. 已知某放射性物质的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示原有的某种物质的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的某种物质的质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ） （参考数据：，） A. 690年 B. 700年 C. 710年 D. 720年 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，即，结合对数的运算公式，得到，代入参考数值，即可求解. 【详解】由题意知，某放射性物质的质量随时间的衰变规律满足， 要使得某放射性物质的质量是原来的倍，可得，即， 两边取自然对数，可得，可得， 所以年. 故选：B. 7. 如图是的图象，则的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由关于轴对称变换得的图象，再向右平移一个单位可得的图象． 【详解】作函数的图象关于轴对称的图象得到函数的图象， 再将函数的图象向右平移1个单位长度得到的图象． 故选：B． 8. 已知函数，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，单调性和对称性解函数不等式. 【详解】对于函数，其定义域为，且， 所以是偶函数， 令，当时，，根据对勾函数的单调性可知在上单调递增， 所以在上单调递增， 又的图象是由的图象向右平移1个单位得到的，所以的图象关于直线对称， 又的图象也关于直线对称，所以的图象也关于直线对称， 当时，， 因为在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递增，故在上单调递增， 所以等价于，即， 因为，所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 进一步变形为对任意恒成立， 由对任意恒成立，可得对任意恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以  ，可得 ； 由对任意恒成立，可得对任意恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以 ，所以， 综上，实数的取值范围是， 故选：D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数且的图象恒过定点 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的最小值为6 D. 函数的单调增区间为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，由指数函数的性质分析A，由函数的定义域分析B，由复合函数的值域分析C，由复合函数的单调性分析D，综合可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项： A．函数，当，即时，，则函数的图象恒过定点，A错误，不符合题意； B．已知函数的定义域为， 对于函数，则有，解可得，即函数的定义域为，B正确，符合题意； C．设，则， 又由，结合对勾函数的性质可得在区间上递增， 则，C错误，不符合题意； D．函数，有，解可得，即函数的定义域为，； 设，则， 在区间上，为增函数，在区间上，为减函数， 由于为定义域为的减函数，故有， 故函数的单调增区间为，正确，符合题意； 故选：BD． 10. 设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合三角函数的基本关系式，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】因为是方程的两根， 可得， 对于A，由，平方可得， 解得，所以，解得，所以A错误； 对于B，由， 因为且，所以， 所以，则，所以B正确； 对于C，联立方程组，解得， 所以，所以C错误； 对于D，由 ，所以D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出函数图象，即可判断选项A，然后根据，的取值范围，逐项分析即可. 【详解】作出函数图象 由图可知，故A正确； 对于B：因为函数的对称轴为直线， 所以，且， 所以， 所以， 当时，，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C：根据题意， 所以，， 所以，， 所以，故C错误； 对于D：， 由图可知，所以， 所以， 当且仅当，即时取得等号，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为定义在上的偶函数，当时，，则_____ 【答案】2 【解析】 【分析】先判断，并得到，然后根据为定义在上的偶函数，将转化为，将代入即可解得. 【详解】依题意，所以； 又因为为定义在上的偶函数，且时，， 所以. 故答案为：2. 13. 如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆半径得到为等边三角形得出，则阴影部分的面积用扇形与等边三角形面积表示即可． 【详解】如图，连接. 由题意知，线段的长度都等于半径， 所以，为正三角形，则， 故的面积为， 扇形的面积为， 由图形的对称性可知，扇形的面积与扇形的面积相等， 所以阴影部分的面积. 故答案为：. 14. 已知实数，满足，，则的值_____ 【答案】 【解析】 【分析】把方程转化为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，化简方程为，令，得到，转化函数的图象与函数的图象交点的横坐标，根据反函数的性质，求得，进而求得，代入即可求解. 【详解】因为，可得，所以为方程的解， 即函数的图象与函数的图象交点的横坐标， 又因为，可得， 即，可得， 令，可得，所以为方程的解， 即为函数的图象与函数的图象交点的横坐标， 由函数和互为反函数，其图象关于对称， 如图所示，函数与的图象的交点为，所以， 所以，所以，即 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设全集，已知，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，根据交集运算列式求解即可； （2）分析可知集合B是集合A的真子集，根据包含关系列式求解即可. 【小问1详解】 对于，可得，等价于，解得， 所以； 又因为，可得； 若，则或，可得或， 所以实数的取值范围. 【小问2详解】 由（2）可知：集合，集合， 若“”是“”的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. （1）求的值； （2）求的值； （3）记点的横坐标为，若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义和三角函数的基本关系式，即可求解； （2）利用三角函数的诱导公式，化简原式，代入即可求解； （3）根据题意，得到，结合诱导公式，化简原式，即可求解. 【小问1详解】 解：由圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点， 可得，所以. 【小问2详解】 解：由. 【小问3详解】 解：因为为锐角，且，可得， 将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点， 则点的横坐标为且，所以， 则. 17. 某自来水水源地污染超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度（毫克/升）满足：，其中，当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）时称为有效净化：当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化. （1）如果投放的药剂的质量为，试问自来水达到有效净化总共可以持续多少天？ （2）如果投放的药剂的质量为，为了使在前9天（从投放药剂时算起到第9天结束）之内的自来水达到最佳净化标准，试确定应该投放的药剂质量的最大值. 【答案】（1）21 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出的表达式，自来水达到有效净化只需，讨论求解不等式即可； （2）分析函数的单调性从而求得函数值域，根据最佳净化标准的要求，列不等式求解即可． 【小问1详解】 当时，， ①当时，恒成立， 即当时，自来水达到有效净化的标准； ②当时，由，解得， 即当时，自来水达到有效净化的标准. 由①②可知当时，自来水均能达到有效净化的标准， 也即自来水达到有效净化一共可持续21天. 【小问2详解】 因为从投放药剂第1天算起到第9天结束， 所以， ③当时，，设， 则，即， 则函数在区间上为增函数，故，即， ④当时，，设. 则，即， 则函数在区间上为减函数， 故，即； 由③④得， 又因为从投放药剂第1天算起到第9天结束，期间自来水要达到最佳净化标准， 所以必有，解得， 所以投放的药剂质量的最大值为. 18. 已知二次函数的图象经过原点，函数是偶函数，方程有两相等实根. （1）求的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式； （2）利用换元法整理成二次函数恒成立问题求参即可； （3）将函数交点问题转化成方程解的问题分类讨论求参. 【小问1详解】 因为二次函数图象过原点，所以设， ， 由是偶函数，得对称轴为，即，故. 所以. 又因为有两个相等的实数根，则， 解得，(舍去)， 因此. 【小问2详解】 先化简，因为， ， 所以令，则， 整理得， 令，由对勾函数性质，， 得到，则恒成立. 设，是一个开口向下的二次函数，对称轴为， 所以在单调递减，， 即，故的取值范围为. 【小问3详解】 化简， 因为的图象只有一个公共点，得， 整理，令， 则，两边同乘，得， 转化为该方程有且只有一个正解的问题. 当时，方程变为舍去. 当时，此时方程为一元二次方程， 所以. 当，解得或， 当时，方程为，解得舍； 当时，方程为，解得符合题意； 当时，若方程有一正一负根，满足条件，由根与系数关系得，两根之积为，解得； 当且时，方程有两个正根，不符合题意，舍去. 当且时，方程有两个负数根，不符合题意，舍去. 综上，实数的取值范围为. 19. 定义：对于函数，，，若存在实数，使得，则称为，的生成函数. （1）设，，，写出生成函数在的单调区间（无需证明）； （2）设，，生成一个函数，同时满足下列条件：为偶函数，且的最大值为. ①求函数的解析式； ②已知，，，，对于上的任意值，记，求的最大值. 【答案】（1）单减，单增 （2）； 【解析】 【分析】根据对勾函数单调性求解即可；先找到的关系，化简整理函数并通过最大值条件求出的值代入即可； 分析在的单调性，利用绝对值的性质化简并求其最大值. 【小问1详解】 由题可得， 因为，当且仅当时等号成立，此时， 所以由对勾函数性质可得，在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 ①因为， 所以. 由是偶函数，得 ， 即， 因为代入， 化简得， 即对任意成立，故， 将代入中得 ， 化简对数部分， 故令，则， 由对勾函数性质，，当且仅当，即时取等， 故，即， 由的最大值为，分情况讨论， 当时，，解得； 当时，无最大值，舍去. 因此. ②由在处取得最大值，且 故在单调递增，单调递减. 的几何意义为折线段的长度之和，其最大值是函数在上的总变差， 已知，， 则， 所以去绝对值得， ， 即的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $