江苏常州市新北区常州市外国语学校2026-2027学年九年级上学期数学第一次学情自测试题

常州外国语学校 2026一2027学年第一学期九年级讲义 数学 注：以下题目的答案请全部做在答题纸上 一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分） 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC=2,那么tanB的值是(). A.2 B.2 c D.25 5 2.若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值为(). A.-4 B.-1 C.1 D.4 3.若方程x2-4x-2=0的两根为x1,x2,则x1·x2的值为(）. A.-2 B.2 C.-4 D.4 4.如图，点P在反比例函数y= -(x>0)的图象上，PQ1x轴于点0，连接OP,若△0PO的面积为2， 则k的值为(). A.4 B.-4 C.2 D.-2 5.如图，四边形ABCD内接于⊙O,若∠C=110°，则∠A的大小为(). A.90° B.80° C.70° D.60° 0 0 B D 第4题 第5题 第7题 6.我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担.某种药品经过两次降价，药价从每盒140元下调至 35元.设平均每次降价的百分率是x,可列出方程(). A.35(1+x)2=140 B.35(1-x)2=140 C.140(1+x)2=35 D.140(1-x)2=35 7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,∠ACD=60°，∠ADC=50°，则∠CEB的度数为(). A.1009 B.110 C.120° D.130 8.如图，在矩形空地ABCD上划有一些车位，矩形EFGH是其中一个车位.B,F,E三点在同一直线上，点E 在边AD上，点G在边BC上，且EF=5.3m,FG=2.4m,∠AEB=8,则AB的长度（单位：m)为(）. A.5.3 sin0+2.4 cos0 B.5.3 cos0+2.4sin0 C.5.3 sin0+2.4 sin0 D.5.3 cos0+2.4 cos0 B 第8题 第1页共8页 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分） 9若8-3则 = 10.在平面直角坐标系x0y中，若函数y=(k≠0)的图象经过点3，)和(-3，)，则+为的值 是 11.若两个相似三角形的周长之比是1：2，其中较小的一个三角形的面积是3，则另一个三角形面积 是 12.在对某物体做功一定的情况下，此物体在力的方向上移动的距离S（米)与力F(牛)成反比例函数关系， 其图象如图所示.当物体在力的方向上移动的距离S不超过20米时，F的取值范围为」 S(米) y 6 5 A (20,30) 3 20 2 C 1 O →F(牛) 0123456 第12题 第13题 13.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,4)、B(3,4)、C(5,2),则△ABC的外接圆的半径为 14.《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几 何？”其大意为：今有一圆柱形木材埋在墙壁中，不知其大小，设其横截面为⊙O,用锯子去锯这个木材，锯 口深AB为1寸，锯道长CD为1尺.由此可得这块圆柱形木材横截面的直径是一尺.（注：1尺=I0 寸) B 墙壁 第14题 15.如图，正方形ABCD是由4个全等的正方形和4个全等的矩形拼接而成.若矩形的对角线与长边的夹角为 a,则tana的值是 B C 第15题 第2页共8页 16.如图，左图是有盖垃圾桶的侧面示意图，为判断该垃圾桶放置在桌下是否合适，需要计算打开盖后垃圾 桶的最大高度.已知完全打开盖后如右图，∠DAD=60°，则打开盖后该垃圾桶的最大高度为 cm. D' D A60 D 36cm B →C 30cm 第16题 17.在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律.如图MN为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜MW 的光心，E为凸透镜的焦点.在凸透镜MN左侧的主光轴上垂直放置一只蜡烛AB,透过凸透镜后成的像为 CD.平行于主光轴的光线AF,通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线AO汇聚于点C.若物距OB=6cm,像 距OD=12cm,则凸透镜MW的焦距OE的长为 cm. M F E D B C 第17题 18.如图，将半径是1的量角器中心与坐标原点重合，0°线与x轴重合，90°线与y轴重合，OA、OB、OC 对应的度数分别是75°、x°、15°，过点B作x轴的垂线，垂足为D(m,0),借助该图可得cosx°=m,则 cos15°-c0s75°的值为 y 8580°75°70°65°60°55°50°45 A 40°35 0 30 C 令 J X D 第18题 第3页共8页 三、解答题（共8大题，共84分） 19.(10分)(1)计算：2cos245°-tan30°.sin60°. (2)求3tan(a-20)=V3中锐角a的值. 20.(10分)解下列方程： (1)x(x-5)=3x-15: (2)x2-4x-1=0. 21.(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1,-2)、B(4,-1)、C(3,-3) (1)以原点O为位似中心，画出△ABC的一个位似△A1B,C1,使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B 的对应点B,的坐标—： (2)若△ABC内部任意一点P的坐标为（α，b),直接写出经过(1）的变化后点P的对应点P,的坐标（用含 a,b的代数式表示)P,的坐标是； (3)请仅用无刻度直尺，描出A1C1上的点D,使AD:C,D=2:3. y 6 2) -8-6-4-20 第4页共8页 22.(8分)某景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图，单位：），现在其中修建一条观花道（图中阴影部 分)供游人赏花.若改造后观花道的面积为13m2,求x的值. 一8 6 23.(10分)如图，在△ABC中，点O是AB上一点，以点O为圆心、OA为半径作⊙O,与BC交于点D, 且D为弧EF的中点，与AB交于点E,与AC交于点F,连接AD (1)求证：AC‖OD: (2)若AC=6,BE=4,求⊙O的半径 C D B 0 第5页共8页 24.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=c+b的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B, 与反比例函数y=m(m>0,x>0)的图象相交于点C.已知点B、C的坐标分别为(0,1)、(2,2). (1)求一次函数、反比例函数的表达式， (2)点D在反比例函数y=”(m>0,x>O)的图象上，且点D与点C不重合，作射线CD,交坐标轴于 X 点M,连接OC、OD.若SAOCM=2 SAODM,求点D的坐标. C B 25.(8分)阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=α的形式：求解二元一次方程组，把它转 化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.各类方程的解法不 尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想：转化，把未知转化为己知 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程x+x2-2x=0,可以通过 因式分解把它转化为x(x2+x一2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解. (1)问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x3=一’5=— 1 (2)拓展：①己知方程2+京-7=0，若设x+=m,可将原方程化为关于n的方程：一： 2解方程：-√+1-5=0 第6页共8页 26.(10分)【活动背景】 如图，为了测量一个圆柱形土坑的深度，某数学兴趣小组借助无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺 开展测量，具体研究方法与过程如下： ①在水平地面上选定一个激光发射点A,使A位于土坑上底面直径DE所在的直线上： ②操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方： ③调整反射镜与水平线的夹角日，使得从A处发出的激光经反射镜C处反射后恰好射到达坑底最右端F处： ④在线段AD上确定一点B,使得从B处发出的激光经反射镜C处反射后恰好射到达坑底最左端G处 (以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内.根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光 线与镜面的夹角.) 水平线-. C 反射镜 B E G 【问题解决】 测得∠CAB=30°，∠CBD=60°，0=22.5°，且此时无人机显示距离水平地面高度为15m,DE=12m. (1)∠GCF=°：点A到点B的距离为 (2)计算土坑的深度.（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin22.5°≈0.38，cos22.5°≈0.92， tan22.5°≈0.41，√2≈1.41，√3≈1.732，结果精确到0.1m) 第7页共8页 27.(10分)新定义：三角形中的两个内角a与B,若满足a一B=90°，则称该三角形为“差余三角形”，B 是a的差余角 (1)概念理解： ①若△ABC是“差余三角形”，∠B是∠A的差余角，∠B=40°，则∠C=: ②若△ABC是“差余三角形”，有个角为120°，则三边长的比为一： (2)拓展探索： 2 如图1，直线1：y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C为直线I上位于第一象限内的点， 若△O4C是“差余三角形”，且∠A是∠A0C的差余角，求BC的值 AB y C 之 X A 0 图1 (3)灵活运用： 如图2，sin∠MaN=5, ,点B在射线AM上，且AB=2,点C在射线AN上，若△ABC是“差余 形”，直接写出AC的长. A B M N 图2 第8页共8页