精品解析：江苏南通市通州区刘桥中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

南通市通州区刘桥中学九年级 数学集中作业 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线与y轴交点的坐标是（ ） A. （0，3） B. （3，0） C. （1，0） D. （0，1） 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 要得到二次函数的图象，需将的图象（　　） A. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 4. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点在函数图象上 D. 当时， 5. 如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（ ） A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，反比例函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系 6. 某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 8. 点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（为常数），当自变量的值满足时，其对应的函数值y的最小值是，则常数的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共6小题，共22分． 11. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为______． 13. 在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则______（填“>”“=”或“<”）. 14. 抛物线与轴只有一个交点，则________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 16. 某种型号飞机在跑道上刹车后滑行的距离S（米）与滑行的时间x（秒）的函数解析式是，则飞机滑行________秒停止，飞机停止前最后2秒滑行的距离为________米． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，已知四边形为矩形，且B点坐标为，反比例函数的图象与矩形交于D点和E点，且，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的长． 18. 已知二次函数（m为常数）． （1）若点在该函数图象上，则______； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点． 19. 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ （2）矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 20. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）． （1）求该抛物线的顶点坐标（用含代数式表示）； （2）如果点都在该抛物线上，比较与大小． 21. 如图，已知二次函数的图象经过点. （1）求的值和图象的顶点坐标． （2）点在该二次函数图象上. ①当时，求的值； ②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 23. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 24. 某数学兴趣小组研究函数的图象：首先根据式子结构采用分类的数学方法：当时，；当时，．然后根据一次函数图象的画法分别画出图象，如图（1）所示．类似地，研究函数的图象时，他们已经画出了时的图象． （1）当时，函数解析式是________；请补全此函数的大致图象； （2）根据图象，直接写出当x为何值时，y随着x的增大而减小； （3）当时，的最大值是1，最小值是0，请你直接写出的取值范围． 25. 综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求此抛物线的表达式． （2）是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求此时点的坐标及的面积． （3）抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市通州区刘桥中学九年级 数学集中作业 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线与y轴交点的坐标是（ ） A. （0，3） B. （3，0） C. （1，0） D. （0，1） 【答案】A 【解析】 【分析】将代入抛物线，求得即可． 【详解】解：将代入抛物线得，， 即与y轴交点的坐标是， 故选：A 【点睛】此题考查了二次函数与坐标轴的交点，解题的关键掌握与y轴交点，横坐标为0． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了顶点式的顶点坐标，根据的顶点为求解，即可解题． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 3. 要得到二次函数的图象，需将的图象（　　） A. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 根据函数图象平移的法则解答即可． 【详解】解：根据“左加右减，上加下减”规律： 二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到二次函数的图象． 故选：B． 4. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点在函数图象上 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像性质判断即可； 【详解】解：∵ ， ∴当 时， 随 的增大而增大，故A不符合题意； ∵ ， ∴图象位于第二、四象限，故B不符合题意； 当 时， ，故C不符合题意； 当 时， ，故D错误，符合题意； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像性质，准确分析判断是解题的关键． 5. 如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（ ） A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，反比例函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【解析】 【分析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项． 【详解】解：由题意得： ，整理得：， ， ∴y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系； 故选A． 【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键． 6. 某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，把直接代入解析式即可解答． 【详解】解：根据题意B的横坐标为10， 将代入得：， ， 即水面与桥拱顶的高度等于， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键． 7. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据图象可知抛物线过点，利用对称轴求出点的对称点，结合图象求出当时的自变量的取值范围即可. 【详解】解：由图象可知：抛物线过点，对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点为， 由图象可知，当时，或；   故选： B． 8. 点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：， 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴点为顶点，其纵坐标为最大值；点、在对称轴右侧， 时，随增大而减小， ， ， ， 故选：C． 9. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】梳理函数图象与参数的对应关系，分情况讨论k的取值，综合分析确定正确选项． 【详解】解：①当时，一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限，故B选项的图象符合要求； ②当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数的图象位于第二、四象限，没有符合条件的选项； 综上，只有B选项符合要求． 10. 已知二次函数（为常数），当自变量的值满足时，其对应的函数值y的最小值是，则常数的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线开口向上，顶点纵坐标小于给定区间的最小值，故对称轴不在给定区间内，分对称轴在区间左侧、右侧两种情况求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，的最小值为． ∵当时，的最小值为，且， ∴不在的范围内． 当时，在中，随的增大而增大， ∴时取最小值， 代入得， 整理得， 解得，（不符合，舍去）． 当时，在中，随的增大而减小， ∴时取最小值， 代入得， 整理得， 解得（不符合，舍去），． 综上可知，常数的值为或． 二、填空题：本题共6小题，共22分． 11. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，当时，函数图象位于第二、四象限，当时，函数图象位于第一、三象限；据此即可求解． 【详解】解：∵函数图象位于第二、四象限， ∴； 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值． 【详解】解：∵函数的图象经过点和 ∴把点代入得， ∴反比例函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则______（填“>”“=”或“<”）. 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，k>0，在每个象限内，y随x的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵k>0， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ， ∴>． 故答案为：>． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键． 14. 抛物线与轴只有一个交点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，令，计算，即可求解． 【详解】解：令，则 依题意， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由题意知，关于直线的对称点为，根据的解为抛物线与轴交点的横坐标，作答即可． 【详解】解：由题意知，关于直线的对称点为， ∵的解为抛物线与轴交点的横坐标， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 16. 某种型号飞机在跑道上刹车后滑行的距离S（米）与滑行的时间x（秒）的函数解析式是，则飞机滑行________秒停止，飞机停止前最后2秒滑行的距离为________米． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】飞机停止时滑行距离达到最大值，对于开口向下的二次函数，最大值在顶点处，先求顶点横坐标得到停止时间，再计算滑行秒和秒的距离差，即可得到停止前最后秒滑行的距离． 【详解】解：飞机刹车后停止时不再滑行，此时滑行距离取得最大值， 该二次函数中，开口向下，最大值在顶点处， ∵顶点横坐标为，其中，， ∴，即飞机滑行秒停止． 对函数配方得： ， 当时，最大滑行距离米． 停止前最后秒，即求到滑行的距离，将代入得： ， ∴最后秒滑行距离为米． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，已知四边形为矩形，且B点坐标为，反比例函数的图象与矩形交于D点和E点，且，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的应用，勾股定理的应用，化为最简二次根式，熟练的求解反比例函数的解析式是解本题的关键； （1）由矩形的性质先求解，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求解D的坐标，求解，，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∵B点坐标为， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵比例函数的图象与矩形交于D点和E点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵比例函数的图象与矩形交于D点， ∴D点的纵坐标为4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 已知二次函数（m为常数）． （1）若点在该函数图象上，则______； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点． 【答案】（1）2 （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系： （1）把代入函数解析式，进行求解即可； （2）求出的符号，即可得证． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得； 【小问2详解】 略 19. 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ （2）矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【答案】（1）三边长分别为 （2）三边长分别为 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可； （2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 【小问2详解】 解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 20. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）． （1）求该抛物线的顶点坐标（用含代数式表示）； （2）如果点都在该抛物线上，比较与大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． （1）把一般式化为顶点式，即可作答． （2）分别代入，整理与的式子，即可作答． 【小问1详解】 解： ， 抛物线顶点坐标为； 【小问2详解】 解：， ∵点都在该抛物线上 ， 21. 如图，已知二次函数的图象经过点. （1）求的值和图象的顶点坐标． （2）点在该二次函数图象上. ①当时，求的值； ②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 【答案】（1）；（2）① 11；②. 【解析】 【分析】（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a； （2）①把m=2代入解析式即可求n的值； ②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得. ∵， ∴顶点坐标为. （2）①当m=2时，n=11， ②点Q到y轴的距离小于2， ∴|m|＜2， ∴-2＜m＜2， ∴2≤n＜11. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把，代入求，n，确定点A，B的坐标，再利用待定系数法，确定直线的表达式即可； （2）根据数形结合思想，解答即可； （3）根据题意，得，根据三角形的面积计算即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点，两点，， ，， 解得， 根据题意，的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为． 【小问2详解】 解：不等式即， 观察图象得：此时或． 【小问3详解】 解：根据题意，与y轴的交点为， ， ， ． 23. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 【答案】（1）； （2）将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元； （3）捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．解决本题的关键是根据二次函数的性质求出二次函数的最值，从而解决利润最大的问题． 根据销售单价每上涨元，每天销量减少个，列出与之间的函数关系式，根据规定销售单价不低于元，且不高于元可得自变量的取值范围； 根据利润销量单件利润可以得到，利用二次函数的性质求出最大利润； 根据捐款后每天剩余利润不低于元，可以得到，求出方程的解，再根据自变量的取值范围确定销售单价的范围． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得： 整理得：， 配方得：， ，抛物线的对称轴为， 当时，随的增大而增大， 又， 当时，有最大值，最大值为， 将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：根据题意可得：剩余利润为元， 捐款后每天剩余利润不低于元， ， ， 解方程， 可得：，， 又，， 要使捐款后每天剩余利润不低于元，则， 答：捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是． 24. 某数学兴趣小组研究函数的图象：首先根据式子结构采用分类的数学方法：当时，；当时，．然后根据一次函数图象的画法分别画出图象，如图（1）所示．类似地，研究函数的图象时，他们已经画出了时的图象． （1）当时，函数解析式是________；请补全此函数的大致图象； （2）根据图象，直接写出当x为何值时，y随着x的增大而减小； （3）当时，的最大值是1，最小值是0，请你直接写出的取值范围． 【答案】（1）解：，补图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】根据，，计算求解即可； 根据图像，结合抛物线的性质，解答即可； 利用数形结合思想，根据抛物线的性质解答即可． 【小问1详解】 解：当时，， 故； 画图象略； 【小问2详解】 解：当时，，对称轴； 当时，，对称轴，当时，y随x的增大而增大，不符合要求． ∴，随增大而减小． 【小问3详解】 解：当时，，对称轴； 当时，函数的最大值为1， 当或时，函数的最小值为0， 当时，， 解得，． ∴取值范围． 25. 综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求此抛物线的表达式． （2）是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求此时点的坐标及的面积． （3）抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），的面积为 （3）或或或或 【解析】 【分析】（1）把点代入抛物线中可得的值，从而可得抛物线的解析式； （2）过点Q作x轴的垂线，交于点M，求出直线的解析式，设，则，求出，根据的面积为列关系式，再利用二次函数的性质即可解答； （3）先求出抛物线的对称轴为，设，再求出，由等腰三角形性质，分情况讨论：①当时；②当时；③当时，从而可以解答． 【小问1详解】 解：把点代入抛物线中， 得：， 解得： 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图，过点Q作x轴的垂线，交于点M， 抛物线中，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为， 此时，的面积为； 【小问3详解】 解：∵抛物线的对称轴为， 设， ∴， ①当时， 则， 解得：， 此时，； ②当时， 则， 解得：， ∴点的坐标为或； ③当时， 则，即， 解得：， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，二次函数与问题的问题，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $