精品解析：河南新乡市部分校2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷

2026-2027学年上学期10月月考 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用列举法表示全集，再利用补集的定义进行求解即可 【详解】，所以 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】全称命题的否定是特称命题，只改量词与结论，前提条件不变. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】， 于是，反之不成立， 于是“”是“”的充分不必要条件. 4. 若，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】由题设，则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，解得且， 所以函数的定义域为． 6. 已知是一次函数，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据待定系数法计算求解即可. 【详解】由题意可设， 因为满足， 所以， 即，解得， 所以. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性及特殊值即可解决. 【详解】函数定义域为，， 函数为奇函数，图象关于原点对称， 排除选项B、D； 对于选项A,C，，故C错误，A正确. 8. 若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算、指数与对数的互化、单调性，结合赋值法判断即可. 【详解】设， 则，，. 对于A，当时，，，，则，A有可能. 对于B，当时，，，，则，B有可能. 对于C，要满足，即，同时取对数得， 则. 当时，会非常小；当足够小时，比衰减慢，会出现； 如时，，，， 因为，，， 所以，易得，，所以， 故，C可能. 对于 D，若 ，则必有 和 ． 由 ，得 若 ，则 ，从而 ，矛盾，所以 ． 由 ，得 若 ，则矛盾，所以 ． 这与 矛盾，因此 不可能出现． 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. ， D. 有且仅有一个零点，且该零点为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求定义域判断A，换元法结合二次函数值域计算判断B，求导得出单调性判断C，令函数值为0计算得出零点判断D. 【详解】的定义域为，A正确. 令，则，所以的值域为，B错误. ，当时，，所以在上单调递增，，C正确. 令，即，即，且，解得，D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 集合满足，则满足条件的集合有8个 B. 不等式的解集是 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据集合的包含关系及子集个数、一元二次不等式的求解、充分条件、必要条件及充分必要条件逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：集合满足，则集合中必含元素0，剩余元素1,2,3可任选（选或不选）. 剩余3个元素的子集数为个，因此满足条件的集合有8个，A正确； 选项B：该不等式对应二次函数的二次项系数为-1，图象开口向下，对应方程的两根为1,3， 故解集为，B正确； 选项C：当，，此时，但，如故推不出； 当，，此时，但推不出； 故“”是“”的既不充分也不必要条件，C错误； 选项D：若方程有一正一负根， 则，解得， 故“关于的方程有一正一负根”的充要条件为“”，D正确. 故选：ABD. 11. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 的周期为 C. 的图象关于中心对称 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意推导出的对称中心是，且周期；A．利用转化，结合已知区间解析式算出；B. 周期，判断 B 错；C.验证不是函数对称中心，C 错误；D. 利用的周期，求出，结合计算. 【详解】由，得关于直线对称，即， 由是奇函数，得，即， 所以关于点中心对称，且， 由，，所以， 得到，周期， 已知，， A选项：由，令得，A 正确； B选项：的周期是 ，B错误； C选项：由得， 由，，得， 即，所以是奇函数， 因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为， 又因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为， 所以函数的对称中心为， 令，得，不符合，所以不是对称中心，C 错误； D选项：的周期，， 所以，，所以，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每题6分，共18分） 12. 不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【详解】由不等式移项得，，化简得， 要求不等式的解集，等价于求不等式组的解集， 解得，因此该不等式的解集为. 13. 若，则的最小值为__________． 【答案】9 【解析】 【详解】，故， 由对数有意义可知，则， ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为9． 14. 定义域在上的函数，满足，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质结合一元二次不等式的解法可求不等式的解集. 【详解】因为满足，所以为奇函数，结合图象可知， 当或时，；当或时，. 对于可分为两种情况： 情况一：，即，解得， 情况二：，即，解得， 所以不等式的解集为. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在锐角中，角的对边分别为，已知，． （1）求； （2）是否存在锐角，其面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合同角三角函数关系求解即可. （2）根据三角形面积公式及余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可知：，即， 又，所以. 在锐角中， ，所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，即，所以. 由余弦定理，得， 因为，且， 所以是锐角三角形，故符合题意. 16. 已知椭圆的左焦点为，离心率为. （1）求椭圆E的标准方程； （2）过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 【答案】（1） （2），或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦点坐标特点，结合椭圆离心率公式进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，利用转化法进行求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆的左焦点为，离心率为， 所以， 所以椭圆E的标准方程为； 【小问2详解】 当直线l斜率为零时，此时A，B为左右顶点，不管A，B哪一个为左顶点，均不满足， 当直线l斜率不存在时，此时根据椭圆的对称性，显然不成立， 当直线l存在斜率且不为零时，设直线l的方程为， 于是有， 显然， 设，则有， 因为，所以，即， 因此由 ， 所以直线l的方程为，或， 化为一般式为，或. 17. 袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同.甲、乙两人依次不放回地各摸出个球. （1）求甲摸出的个球都是红球的概率； （2）在甲摸出的个球都是红球的条件下，求乙摸出的个球中至少有个白球的概率； （3）设表示乙摸出的个球中白球的个数，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式计算求解即可； （2）确定甲摸出红球后剩余的球总数与红球个数，再根据古典概型概率计算公式计算求解即可； （3）列举随机变量的可能取值，根据全概率公式计算对应概率可得分布列，进而可得数学期望. 【小问1详解】 记事件为甲摸出的个球都是红球， 则， 所以甲摸出的个球都是红球的概率为； 【小问2详解】 记事件为在甲摸出的个球都是红球的条件下，乙摸出的个球中至少有个白球， 在甲摸出2个红球的条件下，袋中还剩个红球、个白球， 则， 所以在甲摸出的个球都是红球的条件下，乙摸出的个球中至少有个白球的概率为； 【小问3详解】 的可能取值为. 甲摸出的情况：摸到红、红白、白的概率分别为 ，，. . . . 所以的分布列为 . 18. 已知函数 （1）当时，求在处的切线方程； （2）若的极小值为，求的值； （3）讨论的零点个数. 【答案】（1） （2） （3）当时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，有三个零点． 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求得在处的切线的斜率，根据直线的点斜式方程可得； （2）通过讨论导函数的零点，并结合的极小值为，可确定的值； （3）利用导数分析的单调性及极值，从而得到的零点个数. 【小问1详解】 当时，，. ，. 所以在处的切线方程为：， 整理得：. 【小问2详解】 由题得，其中， 当时，恒成立，所以是增函数，无极值，不合题意. 所以. 令，解得或； 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为， 解得. 【小问3详解】 由（2）知当时， 的极小值为， 的极大值为， 当时，；当时，. 所以当即时，有三个零点，如图①曲线； 当，即时，有两个零点，如图②曲线； 当，即时，有一个零点，如图③曲线； 当时，，所以有一个零点. 综上所述， 当时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，有三个零点． 19. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）若点在线段，（与，都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 【答案】（1）因为，，，易得，所以，即， 又因为平面，平面，所以， ，平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理证明，再通过线线垂直证明线面垂直. （2）通过二面角的定义找出二面角所对应的夹角，并通过勾股定理求解线段长度，进而求解余弦值. （3）通过建立空间直角坐标系求解平面法向量，利用法向量表示出二面角余弦值并求解范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接如图所示， 因为，，，平面，所以平面， 又因为，所以，为二面角的平面角. ，得，， 因为平面，所以，，. 【小问3详解】 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， ，，，，， 设，，，， 设平面法向量，满足，解得. 因为平面，所以平面法向量， ， 所以时，，时，， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期10月月考 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是一次函数，且满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. ， D. 有且仅有一个零点，且该零点为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 集合满足，则满足条件的集合有8个 B. 不等式的解集是 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 11. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 的周期为 C. 的图象关于中心对称 D. 三、填空题（本题共3小题，每题6分，共18分） 12. 不等式的解集为________． 13. 若，则的最小值为__________． 14. 定义域在上的函数，满足，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在锐角中，角的对边分别为，已知，． （1）求； （2）是否存在锐角，其面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 16. 已知椭圆的左焦点为，离心率为. （1）求椭圆E的标准方程； （2）过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 17. 袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同.甲、乙两人依次不放回地各摸出个球. （1）求甲摸出的个球都是红球的概率； （2）在甲摸出的个球都是红球的条件下，求乙摸出的个球中至少有个白球的概率； （3）设表示乙摸出的个球中白球的个数，求的分布列与数学期望. 18. 已知函数 （1）当时，求在处的切线方程； （2）若的极小值为，求的值； （3）讨论的零点个数. 19. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）若点在线段，（与，都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $