精品解析：河南省新乡市部分校2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 所以 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得. 3. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据给定的复数等式求解出复数，再利用复数模的计算公式计算的值即可. 【详解】由可知，且. 展开得，化简得. 则， . 4. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由图象可知函数的最小正周期， 所以，解得. 5. 已知函数，则（    ） A. 是奇函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再逐一判断各选项的函数是否满足定义域关于原点对称，且即可得到答案． 【详解】依题意得函数的定义域需满足，解得，或， 对于A，令，其定义域满足，或，即，不关于原点对称， 所以不是奇函数，故A错误； 对于B，令，其定义域满足，或，即，关于原点对称， 又， 则， 则， 所以不是奇函数，故B错误； 对于C，令，其定义域满足，或，即，关于原点对称， 又， 则， 则， 所以是奇函数，故C正确； 对于D，令，其定义域满足或，即，不关于原点对称， 所以不是奇函数，故D错误． 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由三角函数值及角的范围可得角及所在象限，再由同角三角函数关系式及半角三角函数关系式可得. 【详解】已知，且，因此是第四象限角，即， 得，该区间是第二象限，因此. 由同角三角函数基本关系​，代入， 所以， 结合是第四象限角，，得. 由半角公式得， 因此. 7. 已知函数的导函数为，若存在使得，则称是函数的一个“类点”，则下列函数中，不存在“类点”的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题属于新定义题型，以 “ 类点” 为载体，考查基本初等函数求导、方程有解的判断，解题核心是读懂定义：判断方程是否存在实数解，转化为函数零点存在性问题，考查导数运算与函数零点的分析能力. 【详解】根据题意，函数存在类点等价于方程有实数根. 对于 A：，，方程为， 变形得，即，存在实数解，故 A 存在 类点. 对于 B：，，方程为， 即，，方程有实根，故 B 存在类点. 对于 C：，，方程为，整理得， 由于，因此，又，故左边，右边， 等式不可能成立，方程无实数解，故 C 不存在类点 对于 D：，定义域，，方程为， 令，在上单调递增，，， 由零点存在定理可知存在零点，方程有解，故 D 存在类点. 8. 若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设两切点，由导数得两切线斜率相等及切点横坐标关系；利用同一直线截距相等建立方程，将斜率表示为参数的函数，求导确定单调性后得最小值. 【详解】设直线与切于，与切于. 求导得，，因此公切线斜率， 整理得①. 的切线方程为； 的切线方程为. 同一直线截距相等，消去同类项得②， 将①代入②，得关于的函数. 对求导得，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此时取最小值，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数均不为0，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】设复数， 对于A，易知， 所以，可得A正确； 对于B，易知， 由可得，所以，即B正确； 对于C，， 而，所以，即C错误； 对于D，根据C中分析可知，即可得，所以D正确. 10. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最小值是8 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式判断A，利用基本不等式判断BC，根据条件转化为关于的二次三项式配方求最值即可判断D. 【详解】对于A，，当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值是16，故A错误； 对于B，由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是，故C正确； 对于D，， 当时，取得最小值，故D错误． 11. 已知函数，其中，则下列说法正确的有（ ） A. 存在实数使得为上的奇函数 B. 若为增函数，则的取值范围为 C. 对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点 D. 若，则方程有三个不同的实数根 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：分和两种情况，结合恒成立运算求解；对于C：令，，结合零点存在性定理分析判断；对于D：分析可知函数在定义域内单调递减，且值域为，即可判断结果. 【详解】对于选项A：因为， 即，可知不为奇函数，故A错误； 对于选项B：若为增函数，可知函数连续不断， 当时，则，可得恒成立， 则，可得； 当时，则，可得恒成立， 则，可得； 综上所述：的取值范围为，故B正确； 对于选项C：当时，令， 因为，， 可知函数在内存在零点，即方程在内有根， 所以对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点，故C正确； 对于选项D：若，则有： 当时，则，可得恒成立， 可知函数在内单调递减，则， 且当x趋近于时，趋近于，所以函数在内的值域为； 当时，则，可得恒成立， 可知函数在内单调递减，则， 且当x趋近于时，趋近于，所以函数在内的值域为； 综上所述：函数在定义域内单调递减，且值域为， 所以方程有且仅有1个实数根，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】由，， 则， 故，， ， 由，所以. 13. 不等式的解集为，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】由不等式的解集为，则，则， 则，当且仅当，即时，取等号， 所以，即实数的取值范围是． 14. 已知函数有最大值，则实数的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出时函数的最大值为，再对时函数的底数分类讨论.当时，段函数趋向正无穷，无最大值；当时，段单调递减，令该段函数上界不大于2，解不等式即可求出的最大值. 【详解】当时，是增函数，因此这一段的最大值为. 当时，​，分两种情况讨论底数： 若，指数函数在上单调递增，则单调递增， 当时，，函数不存在最大值，不符合题意. 若，指数函数在上单调递减，则单调递减， 则当时，. 要使存在最大值，则需保证这一段函数值不大于， 即，整理得. 结合条件，解得， 综上，实数的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（，）的图象过点，且在内存在最大值，但不存在最小值． （1）求的值； （2）求的取值范围； （3）若，求函数图象的对称中心． 【答案】（1） （2） （3），． 【解析】 【分析】（1）由结合即可求出； （2）根据在上有最大值，且无最小值，结合正弦函数图象即可求出的取值范围； （3）结合（1）得的值，进而得到的解析式，化简得到的解析式进而求出对称中心． 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为，所以． 【小问2详解】 由（1）得，． 由，，得， 因为在内存在最大值，但不存在最小值， 由正弦函数的图象，得， 解得， 所以正数的取值范围为． 【小问3详解】 由，及（2）得，则， 所以 ， 令，，解得， 所以函数图象的对称中心为，． 16. 已知函数． （1）若，讨论函数的单调性； （2）若，对任意，恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可； （2）根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为，则令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 若，则. 令， 则， 则在单调递减. 因为对任意的，恒成立， 所以， 即. 所以的最大值为. 17. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围； （2）当时，解关于的不等式． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【小问1详解】 当时，，解，得，解集不是空集，故舍去． 当时，要使的解集为空集，必须满足函数的图象开口向下且与轴最多有一个交点， 即，，即，解得． 综上，实数的取值范围是． 【小问2详解】 由题意，得，即，整理得，即． 因为，所以． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 18. 已知函数（且，，）． （1）若恒成立，求实数的值； （2）讨论函数的零点个数． 【答案】（1） （2）当或时，函数的零点个数为； 当且时，函数的零点个数为． 【解析】 【分析】（1）由变形为恒成立，再构造函数，再分两种情况讨论：当时，当时，，不符合题意；当时，得函数在处取得极小值也是最小值，且，故进而可得所求值； （2）由（1）知，当时，的零点个数为；当时，再分三种情况：①若时有个零点；②若时有个零点；③若时有个零点，进而可得函数零点个数. 【小问1详解】 因为，所以恒成立，即（）恒成立． 两边取自然对数，得，所以恒成立． 令，则在恒成立． 对求导，得． 因为，所以在上单调递增． 当时，，所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以在上单调递减． 因为， 所以当时，，不符合题意． 当时，令，解得， 则当时，；当时，. 故在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值也是最小值，即． 因为，所以要使得恒成立，必有， 解得，即实数的值为． 【小问2详解】 由（1）知，函数的零点个数等价于函数的零点个数． 由（1）知，当时，在上单调递减， 且，所以的零点个数为. 当时，在上单调递减，在上单调递增． ①若，有且仅有，故的零点个数为. ②若，则，即， 因为在上单调递减，由，得. 又当时，，故存在，使得． 此时有两个零点为和，故的零点个数为. ③若，则，即， 因为在上单调递增，由，得． 又当时，，故存在，使得． 此时有两个零点和，即的零点个数为. 综上，当或时，函数的零点个数为； 当且时，函数的零点个数为． 19. 已知． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若 ，求实数a的取值范围； （3）证明： 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为． （2） （3）令， ． 由（2）可知，当时，， 则.所以 ． 因为，所以在上单调递增，所以， 即． 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数单调性，结合函数单调性求解即可. （2）构建新函数，利用局部保号性可求参数的取值范围. （3）构造，根据函数的导数以及单调性证明即可. 【小问1详解】 已知， 则． 令，即，则， 因为，所以，即，解得． 当时，，则，即， 所以在上单调递减． 当时，，则，即， 所以在上单调递增． 所以，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 已知，由可得， 设，则， 若，则，故存在，使得，， 故在上为减函数，故，总有，矛盾； 故， 而当时，， 设，则 ， 故在为增函数，故即， 故即原不等式成立. 综上，， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（    ） A. 是奇函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的导函数为，若存在使得，则称是函数的一个“类点”，则下列函数中，不存在“类点”的是（    ） A. B. C. D. 8. 若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数均不为0，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最小值是8 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 11. 已知函数，其中，则下列说法正确的有（ ） A. 存在实数使得为上的奇函数 B. 若为增函数，则的取值范围为 C. 对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点 D. 若，则方程有三个不同的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若，，则_____． 13. 不等式的解集为，则实数的取值范围是________． 14. 已知函数有最大值，则实数的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（，）的图象过点，且在内存在最大值，但不存在最小值． （1）求的值； （2）求的取值范围； （3）若，求函数图象的对称中心． 16. 已知函数． （1）若，讨论函数的单调性； （2）若，对任意，恒成立，求实数的最大值． 17. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围； （2）当时，解关于的不等式． 18. 已知函数（且，，）． （1）若恒成立，求实数的值； （2）讨论函数的零点个数． 19. 已知． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若 ，求实数a的取值范围； （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $