广东省广州市实验外语学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

2026-2027学年第一学期广州市实验外国语学校10月月考 高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线：，：（），若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形．若，且，则的长为（    ） A． B． C． D．5 3．经过两点，的直线的方向向量为，则（    ） A． B． C．0 D．2 4．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则满足条件的直线方程有（    ） A． B． C．或 D．或 5．对于直线：（），现有下列说法： ①无论如何变化，直线l的倾斜角大小不变； ②无论如何变化，直线l一定不经过第三象限； ③无论如何变化，直线l必经过第一、二、三象限； ④当取不同数值时，可得到一组平行直线． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 6．圆：关于直线对称的圆的方程为（    ）． A． B． C． D． 7．在棱长为的正方体中， 分别是的中点，下列说法错误的是（    ） A．四边形是菱形 B．直线与所成的角的余弦值是 C．直线与平面所成角的正弦值是 D．平面与平面所成角的正弦值是 8．在直角坐标平面内，过定点P的直线l: ax+y-2=0与过定点Q的直线m: x-ay+2=0相交于点M，则点M到点(1,1)的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程能表示平行轴的直线 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点的直线方程 11．在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（    ） A．当为中点时，为锐角 B．存在点，使得平面 C．的最小值 D．顶点到平面的最大距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，，若，，三向量共面，则实数_________． 13．在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是_____. 14．在棱长为2的正方体中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线与的夹角为，则点M的轨迹形成图形的面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知圆E经过点，. (1)求圆E的一般方程； (2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程. 16．已知点求： (1)BC边上的中线所在直线的方程； (2)BC边上的高所在直线方程． 17．已知直线，直线，与交于点，点. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求过，两点，且圆心在上的圆的标准方程. 18．如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AE⊥底面ABCD，AE∥CF，AD=3，AB=BC=AE=2，CF=1． (1)求证：BF∥平面ADE； (2)求直线BE与直线DF所成角的余弦值； (3)求点D到直线BF的距离． 19．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，平面平面，为线段的中点. (1)证明：. (2)在直线BC上是否存在点，使得直线AF与平面ABP所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年第一学期广州市实验外国语学校10月月考高二数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B D C A C B BCD BD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】通过两直线互相垂直斜率之积等于求解. 【详解】当即时，：，：，两直线不垂直； 当，时，若，则，解得. 2．A 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积运算即可求解. 【详解】根据空间向量的运算法则，易得， 又因为， 故. 故选：A． 3．B 4．D 【分析】分别讨论直线过原点和不过原点的情况，即可得到答案. 【详解】当直线过原点时，斜率为，故直线方程为； 当直线不过原点时，设方程为， 代入点可得，解得， 故方程为．故所求直线方程为或． 故选：D 5．C 【分析】将直线化为斜截式方程，得出直线的斜率与倾斜角，可判断①正确，④正确；由直线的纵截距为正，可判断②正确，③错误． 【详解】直线：（），可化简为：，即，则直线的斜率为，倾斜角为，故①正确；直线在轴上的截距为，可得直线经过一二四象限，故②正确，③错误；当取不同数值时，可得到一组斜率为的平行直线，故④正确； 故选：C 6．A 【分析】根据两圆心的中点在直线上，过两圆心的直线与已知直线垂直列方程组可得所求圆心坐标，然后可得. 【详解】解：表示以为圆心，以1为半径的圆． 设关于直线对称的点为，则有，解得：，， 所以：关于直线对称的圆的方程为． 故选：A． 7．C 【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量法求出空间角，判断各选项． 【详解】分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，， ，，，所以是平行四边形，由正方体知，因此为菱形，A正确； ，， ，B正确； ，设平面的一个法向量为， 由得：，取，则，即， ， ， 直线与平面所成的角正弦值是，C错； 平面的一法向量是， ， 平面与面所成角的所以的余弦值为，其正弦值为，D正确． 故选：C. 8．B 9．BCD 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标运算一一计算可得. 【详解】解：因为，， 所以，所以，故A错误； 因为，，所以，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，，所以，所以，故D正确. 故选：BCD 10．BD 【分析】对于A，根据截距式方程的适用条件，可得答案；对于B，平行于轴的直线，斜率不存在，令，可得答案；对于C，根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；对于D，根据两点的横坐标是否相等进行讨论，可得答案. 【详解】对于A，当直线的截距不为零时，截距相等的直线可用方程，当截距是零时，不可用，故A错误； 对于B，当时，方程为，此时所表示的直线与轴平行，故B正确； 对于C，当时，不存在，此时直线方程为，故C错误； 对于D，当时，由斜率公式，可得，可整理为； 当时，方程可整理为；故D正确. 故选：BD. 11．ABD 【分析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，当为中点时，根据判断得符号即可判断A；当平面，则，则有，求出，即可判断B；当时，取得最小值，结合B即可判断C；利用向量法求出点到平面的距离，分析即可判断D. 【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 设， 则， 则，故， 则， ， 对于A，当为中点时， 则，， 则，， 所以， 所以为锐角，故A正确； 当平面， 因为平面，所以， 则，解得， 故存在点，使得平面，故B正确； 对于C，当时，取得最小值， 由B得，此时， 则，， 所以， 即的最小值为，故C错误； 对于D，， 设平面的法向量， 则有， 可取， 则点到平面的距离为， 当时，点到平面的距离为0， 当时， ， 当且仅当时，取等号， 所以点到平面的最大距离为，故D正确. 故选：ABD. 12．2 【分析】根据共面向量定理列等式，解方程即可. 【详解】∵，，三向量共面， ∴存在实数，，使得，即， ∴，解得，，． 13． 【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可 【详解】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 14． 【分析】由题可得轨迹为以为顶点，正方体面对角线为母线的圆锥侧面的，据此可得答案. 【详解】因为，则的轨迹为如图以为顶点，为高，正方体面对角线为母线的圆锥侧面的， 又因为正方体面对角线长度为，圆锥底面圆半径为，则轨迹形成的图形面积为. 15． 【详解】（1）设圆的方程为， 则，解得， 则圆E的方程为. （2）设. 因为M为线段AP的中点，所以， 因为点P是圆E上的动点，所以，即， 所以M的轨迹方程为. 16．【详解】（1） 的中点坐标为，且 所以BC边上的中线所在直线的方程： （2）BC的斜率：， 所以BC边上的高所在直线方程的斜率： BC边上的高所在直线方程： 即：. 17．【详解】（1），解得，故, 则的中点坐标为，且,因此中垂线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程，即， 因此线段的垂直平分线的方程为. （2）由（1）知线段的垂直平分线的方程为，则，解得， 故圆心为，因此半径为， 所以圆的标准方程为. ∴存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且或1. 18．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过AD∥BC，AE∥CF得到平面BCF∥平面ADE，再由面面平行得到线面平行即可 （2）以A为坐标原点，AB、AD、AE所在直线分别为x，y，z轴,建立空间直角坐标系，写出，的坐标，利用向量法求出夹角的余弦值即可 （3）由（2）可求与所成角的余弦值，利用同角三角函数关系式求出直线BF与直线DF所成角的正弦值，然后计算即为点D到直线BF的距离 【详解】（1）证明：∵AE∥CF，AE⊄平面BFC，CF⊂平面BFC， ∴AE∥平面BCF， ∵AD∥BC，同理可得AD∥平面BFC， 又AD∩AE=A，∴平面BCF∥平面ADE， ∵BF⊂平面BFC，∴BF∥平面ADE； （2） 以A为坐标原点，AB、AD、AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，3，0），E（0，0，2），F（2，2，1）， 则=（-2，0，2），=（2，-1，1）， ∴直线BE与直线DF所成角的余弦值为 （3）根据（2）可知=（0，2，1），=（2，-1，1）， ． 19．(1) 作于 ，由平面平面ABC，且平面平面，得平面，∴. ∵，，，由勾股定理得， 所以， ∴，，. 在直角三角形中，由勾股定理可得. 又.∴. (2)存在，或1 【分析】(1)作于 ，根据勾股定理分别可求得，的值，只需证得，即可求出，即可得出为等腰三角形，从而可得. (2)建立空间直角坐标系，利用坐标法即可求解. 【详解】（1）略 （2）在平面内，过点作，垂足为点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， ∴，，，，，设， ∴，. 设是平面的法向量， ∴，取，得， 又. 设直线与平面所成的角为， ∴， 化简得，解得或.当时，（在线段上）； 当时，（在线段的延长线上） 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $