精品解析：广东省惠州市惠城区第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

数学试题 本试题共4页，19小题． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 设集合，则等于(　　) A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，则化简的结果为（ ） A. i B. C. D. 1 3. 样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 光线沿直线射到直线上, 被反射后的光线所在的直线方程为 A. B. C. D. 5. 木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角，，的对边分别为，，.若，则角的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知,,则函数在区间上为增函数的概率是 A. B. C. D. 8. 如图在长方体中，，E，F，G分别是棱的中点，P是底面内一个动点，若直线平面平行，则线段的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法错误的是 A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 过，两点的所有直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若方程有两个不同的实数解，则 11. 正方体的棱长为2，点M为侧面内的一个动点（含边界），点P、Q分别是线段、的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点M，使得二面角大小为 B. 最大值为6 C. 直线与面所成角为时，则点M的轨迹长度为 D. 当时，则三棱锥的体积为定值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知l1的斜率是2，l2过点A(－1，－2)，B(x,6)，且l1∥l2，则________. 13. 在空间直角坐标系中，若直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到距离为___________ 14. 已知函数是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数m的取值范围为________． 四、解答题：本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知分别为三个内角的对边，向量，. （1）求； （2）若.求的面积. 16. 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图. 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 9 25 3 3 （1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数； （2）由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数； （3）从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率. （注：以各组的区间中点值代表该组的各个值） 17. 图1是由，直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF组成的一个平面图形，其中，，，将直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF分别沿AC，CB折起使得CD，CG重合，连接EF，如图2. （1）求图2中的点B到平面ACDE的距离； （2）证明图2中的A，B，F，E四点共面，并求平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值. 18. 如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，. （1）若过点，且为线段的中点，求直线的方程； （2）若，求的面积取得最大值时直线的方程； （3）设，，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”． （1）证明：是函数的一个“翻倍区间”； （2）判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； （3）已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 本试题共4页，19小题． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 设集合，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集的定义和二元一次方程组的性质求解． 【详解】由 得 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义和二元一次方程组的性质的合理运用． 2. 已知是虚数单位，则化简的结果为（ ） A. i B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】，故. 3. 样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据平均数和方差的公式可知， 由于一个样本a,3,5,7的平均数是b，那么可知a+3+5+7=4b 同时a、b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则可知a+b=5,ab=4,那么解方程可知a=1,b=4，那么可知样本的方差为，故选C. 考点：本试题考查了数字的平均值和方差的求解． 点评：解决该试题的关键是理解平均值的公式和方差的公式，运用表达式准确的表示和求解，需要细心点．属于基础题． 4. 光线沿直线射到直线上, 被反射后的光线所在的直线方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】考点：与直线关于点、直线对称的直线方程． 专题：计算题；综合题． 分析：先求出y=2x+11与y=x的交点（-1，-1），然后求出反射光线与X轴的交点（1，0），然后两点确定直线． 解答：解：直线y=2x+1与y=x的交点为（-1，-1）， 又直线y=2x+1与y轴的交点（0，1）被y=x反射后，经过（1，0） 所以反射后的光线所在的直线方程为：= 即 y=x- 故选B． 点评：本题考查与直线关于电、直线对称的直线方程，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题． 5. 木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正四棱台的外接球的性质可得两底面的边长，进而根据直角三角形的边角关系，结合二面角的定义即可求解. 【详解】如图：正四棱台，由题意可知：是底面正方形的中心也是球O的球心， 且,所以 ,进而可得 取的中点为，过的中点作，连接, 所以 ,,故, 在直角三角形中， 故， 由于,所以即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，故正弦值为， 故选：A 6. 在中，角，，的对边分别为，，.若，则角的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知的等式化简为，得到的值，结合余弦定理可得，将用和表示，然后利用基本不等式求出，结合角的范围，即可得到角的最大值． 【详解】解：因为， 由正弦定理可得，， 所以①， 由余弦定理可得②， 由①②可得， 所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以，又， 所以角的最大值为． 故选：A． 7. 已知,,则函数在区间上为增函数的概率是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用枚举法分情况将所有满足条件的情况举出,再利用古典概型求概率的方法求解即可. 【详解】,,∴基本事件总数.用表示的取值. 若函数在区间上为增函数,则 ①当时,,符合条件的只有,即,; ②当时,则由题意，只需满足,符合条件的有,,,,共4种. ∴函数在区间上为增函数的概率. 故选：A 【点睛】本题主要考查了分类讨论的思想以及古典概型求概率的方法,属于中等题型. 8. 如图在长方体中，，E，F，G分别是棱的中点，P是底面内一个动点，若直线平面平行，则线段的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，建立方程，表达出，求出最小值. 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， ，， 设，平面的法向量为， 则， 令得，故， 由，则， 考虑平面内，由两点间距离公式得 ， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法错误的是 A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 过，两点的所有直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A．根据直线垂直的等价条件进行判断；对于B．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断；对于C．当直线和坐标轴平行时，不满足条件；对于D．过原点的直线也满足条件． 【详解】解：对于A．当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故A错误， 对于B．直线的斜率，则，即，则，，故B正确， 对于C．当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故C错误， 对于D．若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故D错误， 故选：ACD． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及直线方程，直线斜率以及直线垂直的位置关系的判断，难度不大． 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若方程有两个不同的实数解，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇偶性定义即可判断A；分析函数的单调性即可判断B；由函数的奇偶性和单调性得到即可判断C；依次作出函数、和的图象，数形结合即可得解判断D. 【详解】对于A，因为， 所以函数定义域为R，且， 故函数是奇函数，故A正确； 对于B，因为为增函数，所以为减函数， 所以若，则，故B错误； 对于C，因为，所以， 因为为减函数，所以， 所以，故C正确； 对于D，令， 依次作出函数、和的图象如图所示： 因为方程有两个不同的实数解，所以由图得，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：数形结合是解决函数与方程问题的常用方法，求方程有两个不同的实数解的参数m时，通过作出函数、和的图象可简化问题的难度而得解. 11. 正方体的棱长为2，点M为侧面内的一个动点（含边界），点P、Q分别是线段、的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点M，使得二面角大小为 B. 最大值为6 C. 直线与面所成角为时，则点M的轨迹长度为 D. 当时，则三棱锥的体积为定值. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意得到二面角的平面角,其中，可得判定A错误；建系求出点及向量，再应用向量的数量积坐标表示计算最值判断B,根据线面角得出的轨迹，结合边长得出角进而应用弧长公式求出侧面内的劣弧判断C,应用向量垂直得出点的位置，再应用等体积法求体积即可判断D. 【详解】在正方体中，可得平面， 因为平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为，其中，A错误；    如图建系，设， ， 存在时，取最大值为6，B正确；  设面法向量为，直线与面所成角为时， 可得，所以， 则点M的轨迹是以为球心，2为半径的球， 点M为侧面内的一个动点，则点M的轨迹在侧面内是以为圆心，2为半径的劣弧， 如图所示，分别交，于，，如图所示，，则， 则，劣弧的长为，C正确 当时，， 所以，所以，可得为， 则三棱锥的体积为， 所以当时，三棱锥的体积为定值，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解决轨迹长度的关键是先设点计算求轨迹方程，点M的轨迹是以为球心以2为半径的球，再结合侧面内的边长得出角进而得出弧长即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知l1的斜率是2，l2过点A(－1，－2)，B(x,6)，且l1∥l2，则________. 【答案】－ 【解析】 【分析】利用直线与直线平行，可得，利用斜率计算公式可得，再利用对数的换底公式和运算法则即可得出． 【详解】∵直线与直线平行，∴． ∴，解得， ∴，故答案为. 【点睛】本题考查了直线平行与斜率的关系、对数的换底公式和运算法则，考查了学生的运算能力，属于基础题. 13. 在空间直角坐标系中，若直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到距离为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线方程确定直线上的一点和直线的方向向量，再求出向量，最后利用点到直线的距离公式进行计算. 【详解】由题意知，直线的方程可变形为， 所以直线经过点，方向向量为，则. 又，，， 所以. 所以点到距离为：. 故答案为： 14. 已知函数是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意计算可得函数在上的单调性，再利用为偶函数可得性质，再将及化为形式后，利用单调性及对称性计算即可得. 【详解】由，得， 即， 令，则当且时，有， 故在上单调递增. 因为是定义在上的偶函数，则， 所以也是定义在上的偶函数， 因为，所以， 又因为， 则可化为， 化简得，即， 所以，即有，解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知分别为三个内角的对边，向量，. （1）求； （2）若.求的面积. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示可得，利用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和定理、和差公式及辅助角公式即可求解； （2）利用向量的线性运算可得，结合题意由、向量数量积及面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以， 所以， ，即， 又，故，即. 【小问2详解】 ，所以， ， , 又,即, , 或（舍）, 故. 16. 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图. 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 9 25 3 3 （1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数； （2）由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数； （3）从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率. （注：以各组的区间中点值代表该组的各个值） 【答案】（1）75%分位数是，众数是3 （2）3.6 （3） 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图，结合众数、百分位数的求法计算即可； (2)根据频数分布表直接求出男生一周课外阅读时间平均数，根据频率分布直方图，结合平均数的求法求出女生一周课外阅读时间的平均数，即可求出总样本的平均数； (3)根据频数分布表与频率分布直方图求出一周课外阅读时间为的男生与女生人数，结合古典概型的概率公式计算即可. 【小问1详解】 由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是3， 设女生一周阅读时间的75%分位数为，， 解得； 【小问2详解】 由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数 由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数 所以估计总样本的平均数 【小问3详解】 由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有3人， 女生有（人） 若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为， 女生有5人，记为，，，，， 则样本空间， 共有15个样本点. 记事件“恰好一男一女”，则 故所求概率. 17. 图1是由，直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF组成的一个平面图形，其中，，，将直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF分别沿AC，CB折起使得CD，CG重合，连接EF，如图2. （1）求图2中的点B到平面ACDE的距离； （2）证明图2中的A，B，F，E四点共面，并求平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值. 【答案】（1） （2）因为， 所以图2中的A，B，F，E四点共面， 平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值为 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定证明线面垂直，建立空间直角坐标系，求出平面ACDE的法向量，利用点到平面距离的向量公式求解即可； （2）利用共面向量基本定理证明四点共面，求出平面ABFE的法向量，利用平面夹角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，图2中，， 又，平面BCDF，平面BCDF，所以平面BCDF， 在平面BCDF内，过D作于点H，则， 又，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC， 以C为原点，以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，以过点C且与DH平行的直线为z轴， 建立如图空间直角坐标系， 由题意可得，，，， ，，， 设平面ACDE的法向量为，则，得， 令，则，，所以为平面ACDE的一个法向量， 所以点B到平面ACDE的距离为，即点B到平面ACDE的距离为. 【小问2详解】 因为，所以图2中的A，B，F，E四点共面， 由（1）知，，， 所以， 设平面ABFE的法向量为，则，得， 令，则，， 所以为平面ABFE的一个法向量，又是平面ACDE的一个法向量， 所以， 即平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值为. 【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两异面直线所成的角为，； ②直线与平面所成的角为，； ③二面角的大小为，. 18. 如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，. （1）若过点，且为线段的中点，求直线的方程； （2）若，求的面积取得最大值时直线的方程； （3）设，，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标. 【答案】（1） （2） （3）由题意，直线斜率不为，设的方程为. 令，得，即； 令，得，即 ∴， 由得：，即， ∴的方程为，即， ∴直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）由题意，可设，，，由中点列关于方程组即可求解出坐标，计算斜率，利用点斜式写出直线方程；（2）由，根据两点距离公式列式，由基本不等式求解得，从而可得当，时三角形面积最大，从而得坐标，计算斜率，利用点斜式写出直线方程；（3）设的方程为，表示出坐标，从而可得，，代入计算可得，即可得直线方程为，判断得定点坐标. 【小问1详解】 易知直线的方程为，设，，， 为线段的中点，则， 解得，所以，， 所以， 故直线的方程为：， 即. 【小问2详解】 设，，. 由，得，即. ∵，∴， 当且仅当，即，时取等号， 所以的面积， 当的面积取最大值时，，， 所以，直线的方程为：， 即. 【小问3详解】 略 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”． （1）证明：是函数的一个“翻倍区间”； （2）判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； （3）已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围． 【答案】（1） 由函数在上单调增函数知，的值域为， 故是函数的一个“翻倍区间”； （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义，求在上的值域即可得证； （2）根据“翻倍区间”的定义，得到函数需满足的方程，求解方程组即可得解； （3）由题意转化为单调递增且，再转化为一元二次方程根的分布问题，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 假设存在一个“翻倍区间”，由函数是上的单调增函数，有  解得，， 由知所有“翻倍区间”为； 【小问3详解】 由函数有“翻倍区间”知，为上的单调增函数， 而， 可得，解得， 由知可得，是方程的两个根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 即方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 则有或， 解得或， 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $