30.1.2 课时2 切线长定理 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.2 圆的切线 课时2 切线长定理 ▌课时目标 1. 理解切线长的概念，掌握切线长定理的内容及其证明思路。 2. 掌握切线长定理基本图形中的全等与等腰关系，能利用定理计算线段长与角度。 3. 能运用方程思想解决切线长综合问题，并会推导圆外切四边形对边之和的关系。 ▌课时目录 知识点01：切线长的概念 知识点02：切线长定理（切线长相等，夹角被平分） 知识点03：切线长定理中的基本图形（全等三角形与等腰三角形） 知识点04：利用切线长定理计算线段长与角度 知识点05：切线长定理与方程思想的综合 知识点06：圆外切四边形对边之和的关系 ▌知识点01：切线长的概念 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 切线长是一个数量（长度），而切线是一条直线，二者不可混为一谈。 从圆外一点可以引圆的两条切线，对应两条切线长。 注意：切线长只对圆外一点有意义，圆上一点、圆内一点都不存在两条切线。 1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G．利用切线长定理得出，结合三角形周长及等量代换求解即可 【详解】解：设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G． ∴． ∴． ∵的周长是， ∴． ∴． ∴的周长为 2．（2026·北京海淀·二模）如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得点，在以为直径的上，连接，证明和都是的切线，利用切线长定理结合四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意得点，在以为直径的上，连接， ∴， ∵和都是的半径， ∴和都是的切线， ∴， ∴． 3．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，则的内切圆半径_____ ． 【答案】 【分析】首先求出的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于的方程，即可求出． 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于，，，连接，，， 则，，， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵的内切圆半径为， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，解得． 即的内切圆的半径为 ． 4．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，以点为圆心，为半径作，过上的动点作的切线，，过劣弧上一点作的另一条切线分别交，于点，，则周长的最小值为_________________ ． 【答案】 【分析】先根据切线长定理得到的周长为，然后连接，，则，即可得到当时，最小，最小，的周长最小，然后根据勾股定理解题即可． 【详解】解：∵，，是的切线， ∴，，， ∴的周长为， 连接，，如图，则， ∵的半径不变，， ∴长随着的变化而变化，即当最小时，最小，的周长最小； ∴当时，最小， 在中，，， 由勾股定理得：，点是的中点， 则， 在中，由勾股定理得：， ∴的周长最小为． ▌知识点02：切线长定理（切线长相等，夹角被平分） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 同时，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 符号表述：PA、PB分别切⊙O于A、B，则PA＝PB，且OP平分∠APB（也平分∠AOB）。 证明思路：由切线性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再用HL证Rt△OAP≌Rt△OBP。 5．（2026·河南南阳·一模）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图①），图②是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘分别与相切于点A、B，若该圆半径是1，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据切线的性质得，再说明，可得，，接下来根据勾股定理求出，然后根据得出答案． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得． ∴． 6．（25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）如图，，是的切线，切点分别为，，点在上，如果，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先在优弧上取点，连接、，利用圆内接四边形对角互补，由求出，再根据圆周角定理求出，接着根据切线的性质及余角性质得出，证明平分，最后通过角平分线的性质即可得出的大小． 【详解】解：如图，在优弧上取一点，连接、， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∵，是的切线，切点分别为，， ∴，， ∴，， ∴，即平分， ∴． 7．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，是的内切圆，为切点．若，，则的周长为______． 【答案】 【分析】设，则，由切线长定理可得，，，进而即可求解． 【详解】解：设，则， ∵是的内切圆，为切点， ∴，，， ∴的周长． 8．（2026·广东广州·模拟预测）如图，为的弦，，为的切线，且，点为劣弧上一动点（点与点，不重合），则的度数为______． 【答案】/度 【分析】连接、，在优弧上取一点，连接、，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而得出是等边三角形，根据四边形内角和为求出，根据圆周角定理及圆内接四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、，在优弧上取一点，连接、， ∵，为的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵和是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ▌知识点03：切线长定理中的基本图形（全等三角形与等腰三角形） 基本图形中的相等关系：PA＝PB，OA＝OB，∠APO＝∠BPO，∠AOP＝∠BOP，∠OAP＝∠OBP＝90°。 △PAB是等腰三角形（PA＝PB），PO是其对称轴，故PO⊥AB且平分AB。 Rt△OAP与Rt△OBP全等，是推导一切结论的源头。 熟悉这些基本关系，解题时可快速找到等角、等边与直角。 9．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的判定与性质、切线长定理、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 10．（25-26九年级上·湖北荆州·期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线长定理、切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握切线长定理是解答的关键． 先根据切线长定理和切线性质得到，，再根据等边对等角，结合等腰三角形的性质求得，进而可求解． 【详解】解：∵，是的切线，，为切点，是的直径， ∴，，又， ∴， ∴． 故选：B． 11．（2026·山东临沂·一模）按要求解答： (1)课本再现：如图①，，是的两条切线，切点分别为，．若图中的，则的长度是多少？如果，则的度数是多少？请说明理由． (2)知识应用：如图②，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点交于点，过点作交于．求证：是的切线． 【答案】(1) 解：的长度是，的度数是， 理由：如图，连接、， ∵，是的两条切线，切点分别为、， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； (2) 证明：∵、、分别与相切于点、、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 【分析】（1）连接、，利用切线性质得两个直角三角形，通过证明全等，从而得到切线长相等和对应角相等 （2）先由切线长定理得角平分线，结合平行线证等腰三角形，再用三线合一得，最后由平行推出，判定是切线． 【详解】（1）略 （2）略 12．（25-26九年级上·江苏常州·期中）有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”． (1)关于“对分四边形”，下列说法正确的是_．（填所有正确的序号） ①菱形是“对分四边形” ②“对分四边形”至少有两组邻边相等 ③“对分四边形”的对角线互相平分 (2)如图1，为的切线，A为切点．在上是否存在点B、C， 使以P、A、B、C为顶点的四边形是“对分四边形”？ 小明的作法： ①以P为圆心，长为半径作弧，与交于点B； ②连接并延长，交于点C； ③点B、C 即为所求． 请根据小明的作法补全图形，并证明四边形是“对分四边形”． (3)如图2，的半径为5，是的弦，，点C是上的动点，若存在四边形是“对分四边形”，且有一条边所在的直线是的切线，直接写出的长度． 【答案】(1)①② (2) 解：补全图形如下： 证明：连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“对分四边形”； (3)或4或8 【分析】（1）根据定义的判断和推理得出①②； （2）根据画法画出图形，证明，再证；再由全等三角形性质得出、，根据“对分四边形”的定义即可判定； （3）分为，，三种情形，画出图形，利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：因为菱形的对角线平分每组对角， 所以菱形是“对分四边形”， 因为“对分四边形”的被平分对角的对角线分成的两个三角形全等， 所以至少两组邻边相等， 故答案是①②； （2）略 （3）解：①如图3， 当，，是的切线时，由对称性可知：此时，都是的切线． 连接并延长交于E，连接，， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． ②如图4， 当，，是的切线时， 连接并延长交于F，连接并延长交于点E， ∵是的切线， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴ ∴， ∴． ③如图5， 当，，是的切线时， 由②可得∶，， ∴， ∴， 综上所述：的值为 或或8． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，全等三角形的判定和性质,解决问题的关键是正确分类及找出角之间的关系，转化求解． ▌知识点04：利用切线长定理计算线段长与角度 求线段长：在Rt△OAP中用勾股定理，PA＝；已知两边可求第三边。 求角度：利用∠OAP＝90°，在直角三角形中由边关系求角；或利用∠APB与∠AOB互补（四边形OAPB中两直角，故∠APB＋∠AOB＝180°）求角。 多条切线问题：利用切线长相等进行线段的等量代换，把分散的线段集中到一条直线上。 13．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，线段是半圆的直径，，点为半圆上的动点，分别过点、作的切线交于点，连接、，则面积的最大值是（     ） A． B．12 C． D．16 【答案】C 【分析】令的圆心为点，连接，根据切线长定理证明，得出，得出，确定当时，的面积最大，即可求解． 【详解】解：如图，令的圆心为点，连接， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，的面积最大，最大值为， 即面积的最大值是． 14．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．利用切线长定理，得出三角形三边被切点分成的线段长度关系，进而求出三角形的周长． 【详解】解：是的内切圆，且与，，相切于点，，， ，，， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，则的长是_______． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故答案为：3． 16．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）结果如此巧合！ 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积． 解：设的内切圆分别与、相切于点，，的长为． 根据切线长定理，得，，． 根据勾股定理，得． 整理，得． 所以 ． 小颖发现12恰好就是，即的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下面的探索． 已知：的内切圆与相切于点，，． 可以一般化吗？ (1)若，求证：的面积等于． 倒过来思考呢？ (2)若，求证：． (3)若，，，直接写出的面积． 【答案】(1)证明：如图所示， 设的内切圆分别与、相切于点，，的长为， 根据切线长定理，得，，， ∴， 而． 根据勾股定理，得， ∴． 整理，得． 所以 ； (2)证明：设的内切圆分别与、相切于点，，的长为， 根据切线长定理，得，，， ∴， 而， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴是直角三角形，即； (3) 【分析】（1）设的内切圆分别与、相切于点、，的长为，仿照例题利用勾股定理得，再根据即可得到； （2）设的内切圆分别与、相切于点，，的长为，根据，得到，再证明，即可证明； （3）过点作，垂足为，在中，，，则， 在中根据勾股定理得，由此，据此代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，过点作，垂足为， 设的内切圆分别与、相切于点，，的长为， 根据切线长定理，得，，， ∴， 而， 在中，， ∴， ∴ ∴，， 在中，根据勾股定理，得， ， ∴， ∴， ∴ ∴， 所以 ， 当，时，． ▌知识点05：切线长定理与方程思想的综合 当图形中有多个切点时，设切线长为未知数x，用切线长相等把各段表示出来。 再结合三角形周长、边长关系或勾股定理列方程求解。 典型问题：三角形三边（或延长线）与圆相切时，各顶点处的切线长可用半周长表示，如顶点A处的切线长＝（a为A所对的边）。 易错提醒：设未知数后要统一单位，解出后检验是否为正数。 17．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在Rt中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案． 【详解】解：连接，， 设的半径为， 在四边形中，， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形， 则， 由切线长定理得：，， ，， 在中，， ， 解得：或（负值舍去）， 故选：C． 18．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形是正方形，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点，若，则的长为（   ） A．8 B．9 C．12． D． 【答案】C 【分析】取的中点O，连接，由三角形全等易得，即是半圆O的切线，则；设，在中利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，取的中点O，连接， 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是半圆O的切线， ∵， ∴是半圆O的切线， ∴； 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍去）， 即的长为12； 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等知识，正确做出辅助线是解题的关键． 19．（25-26九年级上·天津南开·期末）如图，的内切圆与分别相切于点，且，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理，由切线长定理得，，，设，，，根据题意列出方程组解答即可求解，掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：∵的内切圆与分别相切于点， ∴，，， 设，，， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 20．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，正方形的边长为．以正方形的一边为直径，在正方形内作半圆O，再过点A作半圆O的切线，与半圆O相切于点F，与相交于点E，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据切线长定理有，；设．则，，然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积． 【详解】解：与圆切于点， 显然根据切线长定理有，， 设， 则，， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ， ． ▌知识点06：圆外切四边形对边之和的关系 圆的外切四边形：四边都与圆相切的四边形。 重要结论：圆外切四边形的两组对边之和相等，即AB＋CD＝BC＋AD。 证明：由切线长定理，四个顶点处的切线长分别相等，对边之和都等于四段切线长之和。 推论：圆外切平行四边形是菱形；该关系常用于已知三边求第四边。 21．（2025·北京·模拟预测）如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则__________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了四边形的内切圆的性质、比例的应用等知识点，掌握圆的外切四边形的对边之和相等是解题的关键． 利用圆的外切四边形的性质得到，设、、，则，即，接着利用四边形的周长为32列方程求解即可． 【详解】解：如图， ∵的外切四边形， ∴， ∴， ∵， ∴设、、，则，即， ∵四边形的周长为32， ∴，解得：， ∴． 故答案为：8． 22．（2026·青海西宁·一模）如图，内切于四边形，且，则四边形的周长_______． 【答案】26 【分析】利用切线长定理进行求解． 【详解】解：如图所示，与相切于点，与相切于点，与相切于点，与相切于点， ∵内切于四边形， 即是的切线， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 23．（24-25九年级上·重庆江北·期末）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图2，试探究圆的外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______选填“＞”“＜”或“=”） (2)利用图2证明你的猜想（写出已知，求证和证明过程）． 【答案】(1) (2) 已知：四边形的四边，，，都于相切于G，F，E，H， 求证：， 证明：，和相切， ， 同理：，，， ， 即： 【分析】此题主要考查了新定义圆的外切四边形，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解本题的关键． （1）根据圆外切四边形的定义猜想得出结论； （2）根据切线长定理即可得出结论； 【详解】（1）解：与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H， 猜想， （2）略 24．（2026·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 美外四边形 【定义理解】如果一个四边形的各边与圆都相切，且这个四边形有一个内角是直角，那么把这样的四边形叫作“美外四边形”．如图1，与四边形的各边都相切，，则四边形叫作“美外四边形”． 【问题解决】问题1：下列四边形中，一定是“美外四边形”的是__▲___（填序号） ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 问题2：如图1，若四边形是“美外四边形”，与四边形的各边相切的切点分别为E，F，G，H，．求的半径． 解：如图2，连接． ∵四边形与分别相切于点E，F，G，H，∴（依据），． ∵，∴，…… 任务： (1)问题1中的“▲”处应填写______；问题2中的“依据”是指______． (2)补全问题2中剩余的解答过程． (3)如图3，已知锐角，请在边上求作点G，H，使得四边形为“美外四边形”，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)④；切线长定理 (2)∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 即的半径为13； (3)作出的“美外四边形”如图所示： 【分析】（1）根据“美外四边形”和切线长定理解答即可； （2）证明四边形是正方形，即可解答； （3）作的角平分线交于点O，过点O作于点D，以点O为圆心，长为半径作圆O，以点D为圆心，长为半径，画弧交于点H，以点H为圆心，长为半径，画弧交圆O于点K，延长交于点G，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：①平行四边形不一定有内切圆，故不一定是“美外四边形”； ②矩形不一定有内切圆，故不一定是“美外四边形”；     ③菱形的内角不一定为直角，故不一定是“美外四边形”；      ④正方形一定是“美外四边形”； ∵四边形与分别相切于点E，F，G，H， ∴（切线长定理） （2）略 （3）解：理由：如图，连接， 由作法得：圆O为的内切圆，则， ∴四边形为正方形， ∴， ∴与圆O相切， ∴四边形为“美外四边形”，且． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，其内切与边切于点，若，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程； 先根据切线长定理得出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，与的另外两个切点为E，F， ∵是的内切圆， ∴，， 在中，， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， 故选：C． 2．（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）如图，分别与相切于两点，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角和，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键． 连接，由与都为圆O的切线，利用切线的性质得到垂直于垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知的度数求出的度数，在四边形中，根据四边形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， 则． 故选D． 3．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，是四边形的内切圆．四边形的周长为48，且，则的长为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题考查切线长定理，如图，设四边形的内切圆切点分别为，根据切线长定理得到，求出，进而得到，求出，从而求出，再根据，设，则，由，求出的值，即可求解． 【详解】解：如图，设四边形的内切圆切点分别为， ∴， ∴， ∵四边形的周长为48， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，即， 解得， ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，由切线长定理可以推出，．根据内切圆半径与多边形面积和周长之间关系可以算出，梯形的高为4，使用勾股定理和矩形的性质算出下底，，最后使用勾股定理算出的值． 【详解】解：如图，设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，设半径为， 与四边形各边都相切，由切线长定理可知，，，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 由切线的性质可知，，，，， ∴， ， ， ， ， ∵在四边形中，，， ∴四边形是等腰梯形， 设梯形的高为h， 则，即， 解得，， ∵，， ∴， 在直角中，， 同理，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∵， ∴，解得，， ∴， 在直角中，． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，梯形的性质和勾股定理，熟练掌握切线相关的定理是解题关键． 二、填空题 5．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且的周长为，，若，将线段绕点逆时针旋转到点在上时，求点的运动路径长_______． 【答案】 【分析】先利用切线性质得到垂直关系，结合求出的度数；再根据三角形周长和切线长定理求出的长度；最后根据弧长公式计算点的运动路径长（即绕点旋转的弧长）． 【详解】解：连接、， ∵与，分别相切于点，， ∴，， ∴， ∵四边形内角和为，， ∴−−−， ∵的周长为，内切圆与，，分别相切于，，， ∴，，， ∵， ∴−， ∵，且，， ∴， ∴−， ∵， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转到点在上， ∴点的运动路径为以为圆心，为半径，圆心角为的弧， ∴弧长， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、多边形内角和、弧长公式，熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键． 6．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，是外一点，分别和相切于点A、B，点是弧上任意一点，过点作的切线分别交于点D、E，若，则的周长为___________． 【答案】30 【分析】本题考查切线长定理，由分别和相切于点A、B，得；因为过C作的切线分别交于点D、E，所以，，所以，即可求出的周长． 【详解】解：∵分别和相切于点A、B， ∴， ∵过C作的切线分别交于点D、E， ∴， ∴， ∴的周长为30． 故答案为：30． 7．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，切线长定理．设，根据切线长定理得出，，进而运用勾股定理列式计算，即可得出的长． 【详解】解：记与相切于点，连接，如图所示： 设， ∵的内切圆分别与、相切于点、点， ∴,，， 则， 在中，， ∴， 解得， 即的长度为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，，分别与相切于，两点，连接，．如果，那么的度数为_____． 【答案】/20度 【分析】本题考查了切线长定理、切线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据切线长定理和切线的性质得到，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：∵，分别与相切于，两点， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 9．（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵矩形， ∴， ∵为半圆O的直径， 、CD为的切线， 又AE为切线， ， ， 在矩形ABCD中，， ， ， ， 、FC为切线， ， ， 为CD中点． (2) 【分析】（1）先证、CD为的切线，再根据切线长定理得出，从而得出，然后根据平行线的性质与对顶角性质证得，得出，最后由切线长定理得出，即可得出结论； （2）设，则，，再在中，由勾股定理得出，解得：，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：、AE为切线 ， 设 则， ∴， ∵矩形， ∴， 在中 ， 即， 又， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，切线长定理，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的判定与性质以及切线长定理是解题的关键． 10．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，是的直径，过点D作的切线，点A是上一点，且，连接交于点B，点C是的中点，连接，，为的切线． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知的半径为1，求阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】(1) 证明：如图，连接， 与都是的切线， ，， ， ， 又点C为的中点， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，且， ，且， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）通过切线性质得垂直关系，因为，则可得由切线长定理得，结合中点得，则，可得，则四边形为矩形，则，且，故，且，从而判定平行四边形； （2）因为，则矩形为正方形，利用计算阴影部分面积． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，四边形为矩形， 又∵， 矩形为正方形， 阴影部分的面积是． 【点睛】本题考查圆的切线性质，切线长定理，平行四边形的判定，矩形、正方形的判定，扇形面积，掌握相关知识是解决问题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第三十章直线与圆的位置关系 30.1.2圆的切线 课时2切线长定理 课时目标 理解切线长的概念，掌握切线长定理的内容及其证明思路。 2. 掌握切线长定理基本图形中的全等与等腰关系，能利用定理计算线段长与角度。 3. 能运用方程思想解决切线长综合问题，并会推导圆外切四边形对边之和的关系。 课时目录 知识点01：切线长的概念 知识点02：切线长定理（切线长相等，夹角被平分） 知识点03：切线长定理中的基本图形（全等三角形与等腰三角形） 知识点04：利用切线长定理计算线段长与角度 知识点05：切线长定理与方程思想的综合 知识点06：圆外切四边形对边之和的关系 知识点01：切线长的概念 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 1/17 切线长是一个数量（长度），而切线是一条直线，二者不可混为一谈。 从圆外一点可以引圆的两条切线，对应两条切线长。 注意：切线长只对圆外一点有意义，圆上一点、圆内一点都不存在两条切线。 1.(2026辽宁抚顺模拟预测)如图，圆O是△ABC的内切圆，AC=2cm,DE交AB于点D,交BC于 点E,且DE是O的切线.若△BDE的周长为SCm,则△ABC的周长为() D A.8cm B.9cm C.10cm D.11cm 2.(2026北京海淀二模)如图，P为⊙0外一点，连接OP,分别以0，P为圆心，OP长为半径画弧， 两弧交于点C,D.连接CD交OP于点N,以N为圆心，NO为半径作圆，交⊙O于点E,F,连接 OE,OF,EP.若∠EPO=a,则∠EOF的大小为() O● A.180°-2a B.90°-a C.2a D.3a 3.(26-27九年级上江苏南京期中)如图，在RIABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,则△ABC的内 切圆半径”= B 4.(26-27九年级上·江苏南京期中)如图，在R1aABC中，∠C=90°，AC=BC=6,以点C为圆心，2 为半径作⊙C,过AB上的动点P作⊙C的切线PD,PE,过劣弧DE上一点Q作⊙C的另一条切线分 别交PD,PE于点M,N,则△PMN周长的最小值为 2/17 知识点02：切线长定理（切线长相等，夹鱼被平分） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 同时，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 符号表述：PA、PB分别切⊙O于A、B,则PA=PB,且OP平分∠APB(也平分 ∠AOB)。 证明思路：由切线性质得∠OAP=∠OBP=90°，再用L证Rt△OAP≌Rt△OBP。 5.(2026河南南阳·一模)不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个 戴帽子的不倒翁（如图①），图②是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O),已知帽子 的边缘PA,PB分别与⊙0相切于点A、B,若该圆半径是1，∠P=60°，则图中阴影部分的面积是 () 777777777777777 777777777777777 图① 图② A.-号 B.4V3-4π 3 C.5 D.25-号 3/17 6.(25-26九年级下·福建厦门阶段检测)如图，PA,PB是⊙0的切线，切点分别为A,B,点C在 ⊙0 ∠ACB=113° ∠AOP 上，如果 那么 的大小为() B A.65 B.66 C.67° D.68 7.(25-26九年级下·湖南长沙阶段检测)如图，⊙0是△ABC的内切圆，D,E,F为切点.若AD=2, BC=6,则△ABC的周长为一· E D B 8.(2026广东广州模拟预测)如图，AB为⊙O的弦，PA,PB为OO的切线，且AB=AP,点C为劣 弧上一动点（点C与点A,B不重合），则∠ACB的度数为一· 知识点03：切线长定理中的基本图形（全等三角形与等腰三角形） 基本图形中的相等关系：PA=PB,OA=OB,∠APO=∠BPO,∠AOP=∠BOP,∠OAP =∠OBP=90°。 △PAB是等腰三角形(PA=PB),PO是其对称轴，故PO⊥AB且平分AB。 Rt△OAP与Rt△OBP全等，是推导一切结论的源头。 熟悉这些基本关系，解题时可快速找到等角、等边与直角。 4/17 A ⊙ 9.(25-26九年级上福建莆田期末)如图，在四边形ABCD中，ABIICD,AD⊥AB,以D为圆心， AD BC E AB=1,CD= 为半径的弧恰好与相切，切点为，若 3,求半径D的长是（) A B A.2 B V3 c v5 D.5 10.(25-26九年级上湖北荆州期末)如图，PA,PB是⊙0的切线，A,B为切点，AC是⊙O的直径， 若∠P=54°，则∠BAC的度数为() B A.36° B.27° C.63 D.54° 11.(2026山东临沂·一模)按要求解答： (I)课本再现：如图①，PA,PB是⊙O的两条切线，切点分别为A,B.若图中的PA=2,则PB的 长度是多少？如果∠APO=35°，则∠BPO的度数是多少？请说明理由. 5/17 A 图① (2)知识应用：如图②，PN、PD、DE分别与OO相切于点A、B、C,且DE∥PN,连接OD、 OP,延长PO交⊙O于点M交DE于点E,过点M作MN∥OD交PN于N.求证：MN是⊙O的切 线 D B A 图② 12.(25-26九年级上江苏常州期中)有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”. (1)关于“对分四边形”，下列说法正确的是·（填所有正确的序号） ①菱形是“对分四边形” ②“对分四边形”至少有两组邻边相等 ③“对分四边形”的对角线互相平分 (2)如图1，PA为OO的切线，A为切点.在O0上是否存在点B、C,使以P、A、B、C为顶点的四 边形是“对分四边形”？ 图1 小明的作法： ①以P为圆心，PA长 为半径作弧，与⊙0 交于点B: 6/17 ②连接PO并延长， 交⊙0于点C: ③点B、C即为所 求 请根据小明的作法补全图形，并证明四边形PACB是“对分四边形”. B)如图2，⊙0的半径为5，AB是⊙0的弦，AB=8,点C是⊙0上的动点，若存在四边形ABCD是 “对分四边形”，且有一条边所在的直线是⊙O的切线，直接写出AC的长度： B 图2 知识点04：利田切线长定理计算线段长与角度 求线段长：在Rt△OAP中用勾股定理，PA=VOP-r2;己知两边可求第三边。 求角度：利用∠OAP=90°，在直角三角形中由边关系求角；或利用∠APB与∠AOB互补 (四边形OAPB中两直角，故∠APB十∠AOB=180°)求角。 多条切线问题：利用切线长相等进行线段的等量代换，把分散的线段集中到一条直线上。 B 13.(2026湖北武汉·模拟预测)如图，线段AB是半圆O0的直径，AB=10,点C为半圆上的动点，分 7/17 别过点A、C作⊙O的切线交于点D,连接BC、BD,则△BCD面积的最大值是() B B.12 c.2 D.16 14.(24-25九年级上·安徽六安期末)如图，⊙0是△ABC的内切圆且与AB,BC,AC相切于点D,E, F,若AF=3,BD=2,CE=4,则△ABC的周长为 15.(24-25九年级上湖南长沙阶段检测)如图，AB,AC,BD是⊙O的切线，切点分别是P,C,D 若AB=8,AC=5,则BD的长是 C A P B D 16.(26-27九年级上江苏南京阶段检测)结果如此巧合！ 下面是小颖对一道题目的解答. 题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,求△ABC的面积. 8/17 3 x F 4 解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E,F,CE的长为x 根据切线长定理，得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x 根据勾股定理，得x+3+(x+4}=(3+4} 整理，得x2+7x=12」 所以4cCC -x+3x+4到 +7x+12) 2*12+12) 1 =12 小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下面的探索， 已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n. 可以一般化吗？ (1)若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn. 倒过来思考呢？ (2)若AC·BC=2mn,求证：∠C=90° B)若∠C=60°，AD=6,BD=7,直接写出△ABC的面积. 知识点05：切线长定理与方程思想的综合 当图形中有多个切点时，设切线长为未知数x,用切线长相等把各段表示出来。 再结合三角形周长、边长关系或勾股定理列方程求解。 9/17 典型问题：三角形三边（或延长线）与圆相切时，各项点处的切线长可用半周长表示，如 b+c-a 顶点A处的切线长=2(a为A所对的边)。 易错提醒：设未知数后要统一单位，解出后检验是否为正数。 17.(25-26九年级上江西南昌·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙0是△ABC的内切圆，三个切 点分别为D,E,F,若BE=4,AF=6,则⊙O的半径r是() B A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 18.(25-26九年级上湖北武汉期末)如图，四边形ABCD是正方形，以点A为圆心，AB为半径画弧， 交以CD为直径的半圆于点E,连接AE并延长，交BC于点F,若CF=3,则AB的长为() D C B A.8 B.9 C.12. D.63 19.(25-26九年级上天津南开期末)如图，△ABC的内切圆⊙0与BC,C4AB分别相切于点D,E,F, 且AB=9,BC=14,CA=13,则AF的长为() A.3 B.4 C.6 D.8 10117 20.(25-26九年级下·浙江杭州阶段检测)如图，正方形ABCD的边长为4cm.以正方形的一边BC为直 径，在正方形ABCD内作半圆O,再过点A作半圆O的切线，与半圆O相切于点F,与DC相交于点 E,则△ADE的面积为() D A.5cm2 B.6cm2 C.7cm2 D.8cm2 知识点06：圆外切四边形对边之和的送系 圆的外切四边形：四边都与圆相切的四边形。 重要结论：圆外切四边形的两组对边之和相等，即AB十CD=BC十AD。 证明：由切线长定理，四个项点处的切线长分别相等，对边之和都等于四段切线长之和。 推论：圆外切平行四边形是菱形；该关系常用于己知三边求第四边。 21.(2025·北京模拟预测)如图，⊙0的外切四边形ABCD中相邻的三条边AB:BC:CD=3:4:5,周长为 32,则AD= 0 22.(2026青海西宁·一模)如图，⊙0内切于四边形ABCD,且AB=8,CD=5,则四边形ABCD的周 火 11/17 23.(24-25九年级上·重庆江北期末)我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角 形可以称为圆的外切三角形.如图1，⊙O与△ABC的三边AB,BC,AC分别相切于点D,E,F 则△ABC叫做⊙O的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形. 如图2，⊙O与四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别相切于点G,F,E,H,则四边形ABCD 叫做⊙0的外切四边形 D G 图1 图2 (I)如图2，试探究圆的外切四边形ABCD的两组对边AD,BC与AB,CD之间的数量关系，猜想： AD+BC AB+CD( 选填“>”“<”或“=”) (2)利用图2证明你的猜想（写出已知，求证和证明过程）， 24.(2026山西临汾三模)阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务. 美外四边形 【定义理解】如果一个四边形的各边与圆都相切，且这个四边形有一个内角是直角，那么把这样的四 边形叫作“美外四边形”.如图1，⊙O与四边形ABCD的各边都相切，∠A=90°，则四边形ABCD 叫作“美外四边形”. 12117 D 0. G 图1 【问题解决】问题1：下列四边形中，一定是“美外四边形”的是▲一（填序号） ①平行四边形②矩形③菱形④正方形 问题2：如图1，若四边形ABCD是“美外四边形”，⊙O与四边形ABCD的各边相切的切点分别为 E,E,G,H,∠A=90,AB=37,BC=38,CD=21,DH=7.求⊙0的半径. 解：如图2，连接Oh,0G :四边形ABCD与⊙0分别相切于点E,F,G,H,AH=AG(依据)， BG=BF,CE=CF,DH=DE DH=7,.DE=DH=7,… E 图2 任务： (1)问题1中的“▲”处应填写；问题2中的“依据”是指 (2)补全问题2中剩余的解答过程. 3)如图3，己知锐角△ABC,请在边AB,BC上求作点G,H,使得四边形AGHC为“美外四边形”， 且∠GHC=90°.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 13/17 B 图3 课时训练 一、选择题 1.(25-26九年级上四川绵阳期末)如图，在△ABC中，∠B=90°，其内切⊙0与边AC切于点D,若 AD=2,CD=3 BC2= ,则 () A D 0 A.8 B.12 C.16 D.20 2.(25-26八年级上北京西城阶段检测)如图，PA,PB分别与⊙0相切于A,B两点，点C在⊙0上，若 ∠C=55°，则∠P的度数为() A P Q B A.55° B.110° C.80° D.70° 3.(25-26九年级上·浙江阶段检测)如图，⊙0是四边形ABCD的内切圆.四边形ABCD的周长为48， 且AB:BCCD=3:4:5,则AD的长为() 14/17 A.9 B.12 C.15 D.18 4.(25-26九年级上湖北武汉阶段检测)如图，在四边形ABCD中，ADI‖BC，AB=CD,⊙0与四边 形ABCD各边都相切，连接BD,若OO的半径为2，CD=5,则BD的值是(). A 0 B 4.V39 B V4I C.2V3 D.35 二、填空题 5.(25-26九年级上山东济宁·期末)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,AC,AB分别相切于点D,E, F,且△ABC的周长为36，AB=9,若∠DOE=140°，将线段CE绕点C逆时针旋转到点E在BC上时， 求点E的运动路径长 0 D 6.(25-26九年级上·湖北襄阳阶段检测)如图，P是⊙0外一点，PAPB分别和⊙O相切于点A、B, 点C是弧AB上任意一点，过点C作OO的切线分别交PAPB于点D、E,若PA=15,则△PDE的周 长为 15117 D B 7.(25-26九年级上广东惠州期中)如图，Rt△ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，若 BD=1cm,AD=4cm CE ,则的长为 C 0 8.(25-26九年级上江西南昌阶段检测)如图，PA,PB分别与OO相切于A,B两点，连接OB,AB. 如果∠P=40°，那么∠OBA的度数为一。 P B 三、解答题 9.(2026浙江·模拟预测)如图，在矩形ABCD中AD=8,以BC为直径作半圆O,切线AE的延长线交 CD于点F,E为切点，对角线BD恰好过E点. D E (I)求证：F为CD中点： (2)求AB的长. 10.(25-26九年级上河北廊坊期中)如图，在O0中，DE是⊙0的直径，过点D作⊙0的切线DF,点 16117 A是DF上一点，且AD=DE,连接AE交OO于点B,点C是AD的中点，连接CB,OC,CB为 ⊙0的切线. E D C A (1)求证：四边形BCOE是平行四边形： (2)已知⊙0的半径为1，求阴影部分的面积.（结果保留） 17117