30.1.2 圆的切线第 2课时 切线长定理 同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学“圆的切线（第2课时切线长定理）”同步练，以“基础巩固-中档提升-综合拓展”分层设计，通过概念辨析、情境应用及综合推理，构建从单一知识点到跨知识整合的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题|切线长定理概念、性质及尺规作图|以选择、填空为主，如第1题切线数量辨析、第7题尺规作图依据填空，夯实基础| |中档题|切线性质与几何量计算综合|结合实际情境（第8题光盘半径测量），融入角度、周长计算（第11题），提升应用能力| |综合题|切线性质与函数、证明整合|第12题切线与垂直证明，变式引入函数关系，培养综合推理与模型意识|

30.1.2 圆的切线 第 2课时 切线长定理 基础题 知识点 1 切线长定理 1.平面内，⊙O的半径为1，点 P 到圆心O的距离为2，过点 P 可作⊙O的切线条数为( ) A.0 B.1 C.2 D.无数 2.如图,PA 切⊙O于点A,PB 切⊙O于点 B,连接OP，若∠APO=30°,OA=2,则 BP=( ) A. B. C.4 D.2 3.如图所示的是不倒翁从前面看得到的图形，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好 是圆 心 O. 若∠OAB = 28°,则∠APB 的度数为 ( ) A.28° B.50° C.56° D.62° 4.如图,PA,PB为⊙O的切线,切点分别为A,B,PO交AB 于点C,PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是 ( ) A. PA=PB B.∠BPD=∠APD C. AB⊥PD D. PC=CD 5.如图,AB,AC,BD是⊙O的切线,切点分别为 P,C,D.若AB=5,AC=4,则 BD 的长为 . 6.如图,PA,PB 是⊙O的切线,A,B 为切点,AC是⊙O的直径,∠P=60°,OA=2,求 BC的长. 知识点2 过圆外一点作圆的切线 7.下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程. 已知:如图,⊙O和⊙O外一点 P. 求作：过点 P 的⊙O的切线. 作法：如图，①连接OP，作线段OP 的垂直平分线EF，与OP 交于点M；②以点M为圆心，MP 的长为半径作圆，交⊙O于点A，B；③作直线 PA 和 PB,直线 PA,PB 即为所求作⊙O的切线. 请在图中补全图形，并完成下面的证明. 证明:连接OA,OB,如图. 由作法可知，OP 为⊙M的直径，∴∠OAP=90°( )(填推理的依据). ∴OA⊥PA. ∵点 A 在⊙O上, ∴直线 PA 是⊙O的切线( )(填推理的依据). 同理，直线 PB 也是⊙O的切线. 中档题 8.为了测量一张圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角板按如图所示的方式放置在桌面上，并量出AB=4cm,则这张光盘的半径是 cm. 9.如图,EA,ED是⊙O的切线,切点分别为 A,D,点 B,C 在⊙O上.若 236°,则∠E= ( ) A.56° B.60° C.68° D.70° 10.如图,AB为⊙O的直径,PB,PC分别与⊙O相切于点 B，C，过点 C 作AB 的垂线，垂足为E,交⊙O于点 D.若则⊙O的半径长为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11. 如图，已知 PA，PB,EF 分别与⊙O相切于点A,B,D. (1)若 PA=10 cm,求△PEF 的周长. (2)若∠P=35°,求∠AOB,∠EOF 的度数. 综合题 12.如图,AB,BC,CD 分别与⊙O相切于点E,F,G,且 OB与 EF 相交于点 M,OC 与 FG 相交于点 N,连接MN. (1)求证: (2)若OB=6,OC=8,求 MN 的长. 【变式】 如图,⊙O的直径AB=12,AM和BN 是它的两条切线，DE 与⊙O相切于点E,并与 AM,BN 分别交于D,C 两点.设AD=x,BC=y,则 y关于x 的函数解析式为 . 第2 课时 切线长定理 1. C 2. D 3. C 4. D 5.1 6.解:∵PA,PB是⊙O的切线,∴AP=BP.又∵∠P=60°,∴△ABP 为等边三角形.∴∠PAB=60°.∵PA 是⊙O的切线,∴∠PAC=90°.∴∠BAC=90°-60°=30°.又∵AC 是⊙O 的直径,∴∠ABC=90°. 7.解：补全图形略.直径所对的圆周角为直角 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 8.4 9. C 10. B 11.解:(1)∵PA,PB,EF分别与⊙O相切于点A,B,D,∴EA=ED,FD=FB,PA=PB.∴△PEF 的周长为PE+PF+EF=PE+EA+PF+FB=PA+PB=2PA=20cm.(2)连接OD.∵PA,EF分别与⊙O相切于点A,D,∴∠EAO=∠EDO=90°.又∵EO=EO,AO=DO,∴Rt△AOE≌Rt△DOE(HL).∴∠AOE=∠DOE. 同理,∠DOF= 145°=72.5°. 12.解:(1)证明:∵BA,BC为⊙O 的切线,∴BO平分∠ABC.同理可得CO平分∠BCD.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.∴∠OBC+∠BCO=90°.∴∠BOC=90°,即OB⊥OC.(2)连接OF.∵BA,BC为⊙O的切线,∴BE=BF,BO平分∠ABC.∴BM⊥EF,即∠OMF=90°.同理可得∠ONF=90°.由(1)知,∠BOC=90°,∴四边形ONFM是矩形.∴MN=OF.在 Rt△OBC中,OC²,∴BC=10.∵BC 与⊙O 相切于点 F 【变式】 学科网（北京）股份有限公司 $