第30章 直线与圆的位置关系 全章综合训练 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第三十章 直线与圆的位置关系 全章综合训练 ▌课时目标 1. 掌握本章位置关系判定、切线判定与性质、切线长定理等核心知识的整体结构。 2. 能综合运用切线、内切圆、正多边形等知识进行几何计算与证明。 3. 经历动态与最值问题的解决过程，体会分类讨论、方程与转化思想的应用。 ▌课时目录 知识点01：直线与圆位置关系的综合判定 知识点02：切线的判定与性质的综合证明 知识点03：切线长定理的综合应用 知识点04：三角形内切圆与内心的综合计算 知识点05：内心与外心的综合辨析 知识点06：正多边形与圆的综合计算 知识点07：切线与圆周角定理、垂径定理的综合 知识点08：直线与圆位置关系中的动态与最值问题 ▌知识点01：直线与圆位置关系的综合判定 判定主线：求圆心到直线的距离d，与半径r比较：d＞r相离、d＝r相切、d＜r相交。 求d的常用方法：勾股定理、面积法等；当直线位置不定时先确定临界状态（d＝r）再分类讨论。 综合题常与坐标或图形运动结合，关键是抓住“相切”这一临界位置。 易错提醒：三种情形要讨论完整，结论写成范围时注意端点能否取到。 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，若圆心到直线的距离为d，圆的半径为，则当时，直线与圆的位置关系为相离；当时，直线与圆的位置关系为相切；当时，直线与圆的位置关系为相交，据此可得答案． 【详解】解：∵圆心到直线的距离为，的半径为，且， ∴直线与的位置关系是相离， 故选：A． 2．（25-26九年级上·福建泉州·期末）三个半径均为的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为，则这个圆可以是__________ ． 【答案】或 【分析】根据直线与圆的位置关系可进行求解． 【详解】解：∵三个圆的半径均为6，点P到直线l的距离为8， 若点P在上，则点P到直线l的距离； 若点P在或上，则点P到直线l的距离可以为8． 3．（26-27九年级上·北京·课后作业）设的半径为，圆心到直线的距离为，若，是方程的两根，则直线与相切时，的值为______；当时，直线与______． 【答案】 相交或相离 【分析】直线和圆相切时满足，结合方程根的性质可求出的值；时，判断方程根的情况，结合，的正负性，分析与的大小关系，得到直线与圆的位置关系． 【详解】解：∵直线与相切， ∴， ∵，是方程的两根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，解得； 当时，方程为，此时， 由根与系数的关系可得，两根之和，两根之积， ∴方程有两个不相等的正实数根，即， 分两种情况：若，直线与圆相离；若，直线与圆相交； 因此直线与相交或相离． 4．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过A、B、C三点，则点M的坐标是_，半径为_； (2)直线l经过点C，且平行于y轴，请判断直线l与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)相交，理由如下： 设直线交轴于点，则， ， 直线与相交． 【分析】（1）分别作，的垂直平分线，交点即为点M的位置； （2）设直线交轴于点，根据圆心到直线的距离与半径的关系判断位置关系即可． 【详解】（1）解：如图即为点M的位置： ， 连接，根据勾股定理可得， 即半径为； （2）略． ▌知识点02：切线的判定与性质的综合证明 判定：有公共点连半径证垂直，无公共点作垂直证半径，两种思路依条件选择。 性质：切线垂直于过切点的半径，由此构造直角三角形。 综合证明中常一次用性质（已知切线得垂直）、一次用判定（证另一直线为切线），依据要书写清楚。 常用工具：勾股定理及其逆定理、圆周角定理、等腰三角形性质、全等三角形。 5．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，为的切线，A为切点，连接，过点A作，垂足为C，交于点B，连接，求证：为的切线． 【答案】 证明：如图所示，连接， ， ， ， ， 为的切线， ，即， ， 为的半径， 为的切线． 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，全等三角形的性质与判定，由垂径定理得到，则，证明，结合切线的性质可得，据此可证明结论． 【详解】略 6．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线与大圆相交于D，平分． (1)证明：直线是小圆的切线； (2)试证明：； (3)若，，求大圆与小圆形成的圆环的面积． 【答案】(1) 证明：连接，过O作，垂足为E， 是小圆的切线，经过圆心O， ， 平分，， ，，， ， ， 是小圆的半径， 是小圆的切线； (2) 证明：切小圆于点A，切小圆于点E， ，，， ， ， ∵， ∴， ， ； (3)． 【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握切线的判定、全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）只要证明垂直即可得出是小圆的切线； （2）利用全等三角形的判定得出，从而得出，从而得到，从而证明； （3）根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）， ，， ， ， ， 又， 圆环的面积为：． 7．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形是正方形，以点A为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点E，连接并延长，交于点F． (1)求证：． (2)若，求． 【答案】(1) 证明：如图，设的中点为O，连接， ， 在正方形中， 由题可知：， 又∵， ∴ ∴， 又∵是半径， ∴是的切线， 又∵是的切线， ∴； (2)1； 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理等知识点，解决此题的关键合理的作出辅助线； （1）先根据全等三角形的判定定理得到三角形全等，根据切线的判定定理判定切线，进而可以得到答案； （2）设出未知数，根据正方形的性质用未知数表示出对应边的长度，运用勾股定理进而可以得到答案； 【详解】（1）略 （2）解：在正方形中， ， ∴，， 设为，则， ∴， 在中， 即， 解得：， ∴的长为1． 8．（2025·广东·模拟预测）将一张边长为4的正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把正方形纸片展平．再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折痕，点P在边上，过点P作的垂线交的延长线于点H． 【知识技能】 （1）如图1，若点H落在边上，求证：是等边三角形． 【数学理解】 （2）如图2，设，，试求关于的函数解析式． 【拓展探索】 （3）如图3，为的外接圆，若与边相切，求的长． 【答案】 （1）证明：∵，四边形 是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ， ∴是等边三角形； （2）； （3） 【分析】（1）证明四边形是矩形，再结合折叠的性质可得，从而得到，即可解答； （2）过点 H 作于点M，则四边形是矩形，可得，可得，从而得到，然后在中，由勾股定理解答即可； （3）如图，设与边相切于点M，连接并延长，交边于点N．根据是的中位线，可得，，然后在中，由勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解∶如图，过点 H 作于点M，则四边形是矩形， 由折叠的性质得：． 同理， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， ∴ 整理，得：， ∴y关于x的函数解析式为． （3）解∶如图，设与边相切于点M，连接并延长，交边于点N． 设， 由（2）可知， ∵， ∴是的直径． ∵与边， ， ∴，即， ∴是的中位线． ∴， ， ， 在中，由勾股定理，得 解得： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，垂径定理，切线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． ▌知识点03：切线长定理的综合应用 核心结论：圆外一点引圆的两切线长相等，该点与圆心的连线平分夹角。 常与三角形周长结合：利用切线长相等进行线段代换，把三角形周长表示为两段切线长之和。 与方程思想结合：设切线长为x，用周长或边长关系列方程求解。 拓展：圆外切四边形对边之和相等，可解决“已知三边求第四边”类问题。 9．（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A．32 B．28 C．26 D．30 【答案】C 【分析】根据切线长定理得到，，，因此将的周长转化为即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于点， ∴，，， ∴ ． 10．（25-26九年级下·四川绵阳·阶段检测）在梯形中，，，以为直径的半圆切于点M，若这个梯形的面积是，周长是，则半圆O的半径为________． 【答案】 【分析】由切线长定理可得，，从而可得，再根据梯形的周长和面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，由切线长定理可得，， ∴， 设半圆O的半径为，则， ∵这个梯形的面积是，周长是， ∴，， ∴， 整理可得：， 解得：或 ， 当时，，，此时，不符合题意，舍去， ∴，即半圆O的半径为． 11．（2026·河南周口·模拟预测）乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． (1)求证：垂直平分． (2)当为，四边形为正方形时，求的面积．（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线长定理以及线段垂直平分线的判定证明即可； （2）先根据正方形的性质求出半径，再由圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵悬挂绳分别切于点B、C， ∴ ∵ ∴垂直平分； （2）解：∵四边形为正方形时 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的面积 12．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点）．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接、、，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接． 与相切于点， ， ， ， ． 又∵， ∴ ∴； (2) 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理的应用； （1）证明，得出，进而根据切线长定理可得，即可得证； （2）根据（1）可得，切线长定理可得，进而根据勾股定理求出，，进而求得的长． 【详解】（1）略． （2）解：根据（1）可得 ， ， ； ∴， ，与相切，， ． 在中，， ∴ ∴， ， 在中，． ▌知识点04：三角形内切圆与内心的综合计算 常用公式：S＝，；直角三角形。 切点分边规律：顶点A处切线长＝，结合切线长定理进行线段代换。 综合题常与勾股定理、面积法结合，先求面积或边长，再代入公式求r。 易错提醒：内切圆半径是到边的距离（垂线段），不是到顶点的距离。 13．（2026·湖北武汉·一模）如图，，，，内切圆半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图中A、B、C、D四点共圆，且，可得，因此是圆的直径，进一步可得，同时．先在中用勾股定理求的长度，再在中求出的长度．过点A作于点E，用勾股定理求出的长度，即得的长度。设的内心为点I，内切圆半径为r，过点I作于点F，作于点G，作于点H，则，由，代入的值，即可求出内切圆半径． 【详解】解：连接，∵， ∴，， ∴， ∴是圆的直径． ∴， 在中，，， ∴ ， ∴， ∴ ． 过点A作于点E， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的内心为点I，内切圆半径为r，过点I作于点F，作于点G，作于点H， 则， ∵， ∴， 化简得， 解得． 14．（2026·甘肃白银·二模）“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形（如图1），它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．如图2，在设计某种转子发动机时，在边长为4的等边三角形中，分别以A，B，C为圆心，长为半径画弧．过点A作于点E，过点B作于点F，，交于点O，以点O为圆心，长为半径作圆，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】由题意易得，，平分，平分，则有点O为的内心，也是的重心，然后可得，进而根据割补法求解阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵是边长为4的等边三角形，，， ∴，，平分，平分， ∴， ∵，交于点O， ∴点O为的内心，也是的重心， ∴， ∴ ． 15．（2026·江苏泰州·一模）如图，在中，，是的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若，则的长为______，（结果保留π） 【答案】 【分析】连接，根据内切圆的性质得到，，然后证明四边形为正方形，求出，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的内切圆， ∴， ∵， ∴四边形为正方形，， ∴， ∴的长． 16．（25-26九年级上·江西上饶·期末）已知，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的边恰好为的直径，延长至点，使得，连接．求证：直线为的切线． 【答案】(1) 证明：如图，连接． ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴． (2) 证明：如图，连接． 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴直线是的切线． 【分析】（1）连接，首先结合三角形的内心定义可得，，进而结合角的和差关系以及三角形的外角性质进行角的运算即可推出，得到； （2）连接，利用相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的弦相等，得到，进而推出，即，得证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查三角形内心的定义，外角的性质，等腰三角形的性质和判定，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的弦相等，切线的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键． ▌知识点05：内心与外心的综合辨析 内心：三条角平分线交点，到三边距离相等，必在三角形内部。 外心：三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等；锐角三角形在内，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外。 角度公式对比：内心∠BIC＝90°＋∠A；外心∠BOC＝2∠A，二者不可混淆。 特殊情形：等边三角形四心合一，此时内心即外心。 17．（2025·四川成都·一模）在中，已知，下列判断中错误的是（   ） A．若为重心，则 B．若为外心，则 C．若为内心，则 D．若为垂心，则 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心，外心，内心及垂心的性质，要理解这“四心”的定义，因为三角形的性质不确定，所以根据题意举反例是解题的关键． 根据三角形重心，外心，内心及垂心的定义及性质逐个选项进行判断． 【详解】解：若是的重心，即是三条中线的交点． 当是等边三角形时，如图，，则； 当是非等边三角形时，，故选项A正确，不符合题意； 若是的外心，即是外接圆的圆心， ，故选项B正确，不符合题意； 若是的内心，即是内切圆的圆心， 如图， ∵， ， ∵是的内心， ， ， ，故选项C正确，不符合题意； 若是的垂心，即是三条高的交点． 当是直角三角形时，如图，与直角顶点重合， 此时不存在，故选项D错误，符合题意． 18．（2025·河南南阳·三模）如图，在等边中，，D是平面内一点，线段绕点A逆时针旋转至AE，直线与交于点F，若，则的最大值是______，最小值是______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得出和全等，可由三角形内角和得出，再由圆周角定理得出F在的外接圆上，进而求出BF的最小值和最大值即可． 本题主要考查了图形的旋转变换及其性质，等边三角形的性质，熟练掌握图形的旋转变换及其性质，等边三角形的性质，点与圆的位置关系，确定点F的轨迹是本题解题的关键． 【详解】解：作的外接圆，连接，延长交于G，如图： 是等边三角形，且， ，， 由旋转的性质得：，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点F在的外接圆上， ①当取最大值时，为直径，此时F与G重合， 为等边三角形，， ， ， 的最大值为； ②D在左侧，连接，如图： ， 当时，最小，此时， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即最小值为； 故答案为：， 19．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，、在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）、，使为的外心，则的长度是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据为的外心，可得，从而以点为圆心，以长为半径作圆，交格点为点，点，然后利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接，以点为圆心，以长为半径作圆，交格点为点，点， 由题意得：， 的长度是， 故答案为：． 20．（2025·广东广州·三模）已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接，当点F在的内角平分线上，点P是与抛物线对称轴的交点，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②2或3或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①利用待定系数法求得的解析式为，进而可得：，即是等腰直角三角形，则外接圆半径，再利用面积法求得内切圆半径为，即可求得答案；②分三种情况：当点F在的平分线上时，当点F在的平分线上时，当点F在的平分线上时，分别求得的面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①设的解析式为， ∵B的坐标为，C的坐标为， ∴， 解得：， ∴的解析式为， ∵， ∴设的解析式为， 当时，，当时，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴的外接圆半径， ∵内切圆半径为r， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴， 当点F在的平分线上时，如图，则， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点F在的平分线上时，如图， ∵， ∴直线与x轴的夹角为，则，此时点E，F均与点O重合， ∴； 当点F在的平分线上时，如图，过点F作于H， 设，则， ∵平分， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 解得： ， ∴， ∴； 综上，的面积为2或3或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、角平分线的性质、三角形的内切圆和外接圆等知识，综合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握函数、图形等相关知识的综合应用、灵活应用数形结合思想是解题的关键． ▌知识点06：正多边形与圆的综合计算 基本三角形：半径R、边心距r、半边长构成直角三角形，。 特殊结论：正三角形a＝R、r＝R；正方形a＝R；正六边形a＝R。 面积公式：S＝×周长×边心距；圆与正多边形组合图形常求面积差（如圆与内接正多边形之间的部分）。 解题时先由边数n求中心角，再归入直角三角形计算。 21．（2026·山西长治·三模）在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现半径为a的正十二边形和边长为a的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系．那么，这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．过 作于 ，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过 作于 ， 圆的内接正十二边形的圆心角为， ， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， ∵正方形的面积为 ∴这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为 22．（2026·广东广州·三模）如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______． 【答案】 【分析】根据五边形是正五边形可得，的半径为10，即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为10， ∴，的半径为10， ∴的长． 23．（2026·山东烟台·中考真题）如图，正五边形的边长为10，连接，以为直径作，与交于点，与的延长线交于点，则阴影部分扇形的面积为__________． 【答案】 【分析】根据正五边形的定义得出，，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，最后根据直角三角形的性质求解即可，进而得，然后，再求扇形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在正五边形中， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴，， ∴， ∴． ∴． 24．（2026·宁夏·中考真题）如图，与正六边形相切，仅用无刻度直尺按要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)作的角平分线； (2)过点画一条直线将图形分成面积相等的两部分． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，直线即为所求． 【分析】（1）连接，即可； （2）连接交于点G，作直线，即可．设直线分别与交于点M，N，结合正六边形的性质可得到，从而得到直线平分正六边形的面积，再结合圆的性质，可得直线平分的面积． 【详解】（1）略 （2）略 ▌知识点07：切线与圆周角定理、垂径定理的综合 切线性质（切点处得直角）与圆周角定理（直径所对圆周角为90°）结合，可在图中找到多个直角。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧，常与切线垂直关系配合，产生平行线。 常见图形：切线、弦、半径构成的图形中，利用半径相等得等腰三角形，再配合互余、同弧圆周角相等导角。 解题策略：先标出所有直角和等半径，再从所求角（或边）倒推需要的等量关系。 25．（25-26九年级上·全国·阶段检测）为圆O直径，切圆O于点C，过点C作交圆O于点M，交于点F，连接． (1)如图1，求证：为圆O切线； (2)如图2，过点A作交于点D，求证； (3)在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵切圆O于点C， ∴， ∴ ∴为圆O切线； (2) 证明：如图，连接， ∵为圆O直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）连接，，根据垂径定理得出，进而得出，根据等边对等角得出，，由切线的性质得出，等量代换即可得出结论； （2）由为圆O直径，得出，进而得出，可以判定，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得出，即可得出结论；， （3）先求出半径，根据勾股定理得出，由，得出，进而得出，设，则，，根据，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，， ∵， ∴， ∴半径， 在中，， ∵， ∴，    在中，， 设，则， ， ∵O，F分别是和的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质与判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，有一定的综合性，掌握这些知识点是解题的关键． 26．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，圆内接四边形的边过圆心O，过点C的直线与边所在直线垂直于点M． (1)若是的切线，且．求的度数． (2)试猜想与满足什么关系时，直线与相切？并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：当时，与相切． 理由：， ， 又， ， ， ． ， ． 又为的半径， 与相切． 【分析】本题考查了切线的判定与性质，圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键． （1）连接，由切线的性质得到，再根据圆周角定理结合直角三角形的性质求出，根据，得到，利用圆内接四边形的性质，求出，即可解答； （2）当时，与相切，由，得到，根据等腰三角形的性质推出，易证，推出，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的切线， ． ， 为的直径， ． ， ． ∵四边形为圆内接四边形， ． 又， ， ． （2）略 27．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，是的外接圆，点在的延长线上，且，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，则_________°． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， 是半径， 是的切线； (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质． （1）根据，可得，再计算即可； （2）根据直角三角形的性质可得，则，再通过证明，可得即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：根据（1）可得， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 28．（25-26九年级下·广东中山·阶段检测）如图，四边形是平行四边形，以O为圆心，为半径的圆交于D，延长交于E，连接，，若是的切线． (1)求证：是的切线； (2)若，则的面积＝______． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 是的切线， ，即， ，即， 是的半径， 是的切线． (2) 【分析】（1）首先连接．根据平行四边形的性质，可知，从而得到内错角相等，即，．又因为和都是圆的半径，所以，根据等边对等角，得到．通过等量代换，可得．然后利用“边角边”证明和全等．根据全等三角形对应角相等的性质，得到．因为是的切线，所以，即．因此，，即．最后根据切线的判定定理，得出是的切线． （2）首先过点作于点．在中，已知斜边，直角边，根据勾股定理求出另一直角边的长度，即圆的半径．因为也是半径，所以．然后利用三角形面积公式，通过面积相等法（）求出高的长度．接着在中，利用勾股定理求出的长度．根据垂径定理，，得 ．然后计算出的长度，．最后利用三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点，连接，如图所示： 在中，，， 根据勾股定理，得， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得， 在中，根据勾股定理，得， ， ， ， ． ▌知识点08：直线与圆位置关系中的动态与最值问题 动态问题：动点、动直线或动圆引起位置关系变化，先找临界位置（相切，d＝r），再划分区间讨论。 最值问题：圆上一点到直线的最大距离＝d＋r，最小距离＝d－r（d为圆心到直线的距离，d＞r时）。 圆外一点与圆上点的距离：最大值＝OP＋r，最小值＝OP－r（O为圆心，P为该点）。 常用思想：分类讨论、数形结合、方程思想；注意检验最值能否取到。 29．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，的半径为1，点P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，求切线长的最小值（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】作垂直直线，垂足为，作的切线，切点为，此时切线长最小，求出相关点的坐标，利用全等三角形得出相等的边，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，作垂直直线，垂足为，作的切线，切点为， ∵的坐标为， 设直线与轴，轴分别交于， 当时，；当时，， 解得； ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵恒成立，且根据垂线段最短， ∴此时，值最小，则的值也最小， ∴切线长的最小值为． 30．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）在矩形中，，，动点P在上运动（点P不与B，C点重合），点E在线段上，且． （1）连接，则的最小值是__________；（2）当最小时，的长为__________． 【答案】 2 【分析】（1）由余角的性质可得，则点E在以为直径的圆上运动，则当点E在上时，有最小值，由勾股定理可求解； （2）当与相切时，最小，由可证，，，则，，由三角形的面积可求，即，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 点E在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点O，连接，交圆O于点E，此时有最小值， 点O是的中点， ， ， ； （2）当与相切时，最小， 连接，连接交于H， 由（1）可知：，，， 是的切线， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ． 31．（2026·河南周口·模拟预测）如图，是的直径，为圆心，，是的切线，点是切线上一点，且，点在上运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则的最大值是______，最小值是______． 【答案】 【分析】连接、，将绕点逆时针旋转得到，连接、，由题意得，，证明，得到，又利用勾股定理得，最后根据三角形的三边关系得到，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接、，将绕点逆时针旋转得到，连接、， 由题意得，，， ，， ， ，， ， ， 是切线， ， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ， 的最大值是，最小值是． 32．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）若四边形一个顶点引出的一组邻边相等，且该顶点引出的对角线平分这个四边形的一个内角，我们称这样的四边形为“等邻边内分四边形”，把这条对角线叫做四边形的“内分线”． (1)下列四边形是“等邻边内分四边形”的是___________（填序号） ①菱形；②矩形；③正方形；④上底与腰相等的等腰梯形． (2)如图1，已知中，，，，点是外接圆上的一点．若四边形是“等邻边内分四边形”，请求出这个“等邻边内分四边形”的“内分线”的长度． (3)如图2，为定线段上异于，的一个动点，和都是等边三角形，且在同侧，，交于点，，交于点，，交于点，，交于点． （ⅰ）求证：四边形为“等邻边内分四边形”； （ⅱ）求证：直线恒过定点． 【答案】(1)①③④ (2)或4 (3)（ⅰ）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 又∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，， 又， ∴， ∴，，，四点共圆， ∴， 平分， 又， ∴四边形为“等邻边内分四边形”． （ⅱ）以为边向下方构造等边，连接，如图所示： ∴， ∴，，，四点共圆， 又， ∴， ∴平分， 又∵平分， ∴直线必过点． 【分析】本题考查特殊平行四边形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质、四点共圆的判定，全等三角形的性质和判定； （1）根据等邻边内分四边形的定义，结合菱形、矩形、正方形、等腰梯形的性质即可判断； （2）分类讨论：当时，此时为四边形的“内分线”，将绕点顺时针旋转至，连接，证明，得出，，三点共线，此时是等腰直角三角形即可求出；当时，此时为四边形的“内分线”，根据，即可求出的值； （3）以为边向下方构造等边，可得出，，，四点共圆，得出平分，又因为平分，所以直线必过点． 【详解】（1）解：①菱形 如图所示：∵四边形是菱形， ∴，平分， ∴菱形是等邻边内分四边形， 故①符合题意； ②矩形 如图所示：∵四边形是矩形， ∵矩形的邻边不一定相等， ∴矩形不一定是等邻边内分四边形， 故②不符合题意； ③正方形 如图所示：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴正方形是等邻边内分四边形， 故③符合题意； ④上底与腰相等的等腰梯形 如图所示：∵四边形是等腰梯形，且， ∴，， ∴， ∴， ∴平分， ∴上底与腰相等的等腰梯形是等邻边内分四边形， 故④符合题意； 故答案为：①③④． （2）解：若，如图所示： ∴， ∴， ∴为四边形的“内分线”， 是的直径， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 将绕点顺时针旋转至，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴，，三点共线， ∴， ∴， 若，如图所示： ∴， ∴， ∴为四边形的“内分线”， ∴． 综上：这个“等邻边内分四边形”的“内分线”的长度为或4． （3）解：（ⅰ）略 （ⅱ）略 ▌全章训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，若的半径为4，圆心O到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离小于圆的半径，得到直线和圆相交，进行判断即可． 【详解】解：∵的半径为4，圆心O到某条直线的距离为2，， ∴直线和圆相交， 故这条直线可能是； 故选B． 2．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为4，那么x轴与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】A 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．通过计算圆心到轴的距离，与半径比较，即可判断位置关系． 【详解】解：∵圆心到轴的距离为5，的半径，， ∴与轴相离， 故选：A． 3．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，与相切于点，若，，则的半径长为（     ） A．3 B． C．5 D．4 【答案】B 【分析】由切线的性质可得，在中，由勾股定理解直角三角形即可得解． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ∴在中，． 4．（2026·湖南长沙·一模）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求的度数，再利用平行线的性质得，最后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·山东青岛·一模）如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由三角形内切圆的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·河北邯郸·一模）如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆与各边的切点分别为E，F，N，连接，根据切线的性质，证明四边形是正方形，设，，得，根据解方程组，勾股定理求解即可． 【详解】解：设圆与各边的切点分别为E，F，N， 连接， 根据切线的性质，得， 故四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 根据切线长定理，得， 设，， ，，， ， 故， 解得， 点M是圆的外心， 故点M是斜边的中点， 故， 连接， 根据勾股定理，得， 故选：C． 7．（2026·山东烟台·一模）如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的高是（  ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质求出扇形的圆心角和半径，利用弧长公式求出扇形弧长，该弧长即为圆锥底面圆的周长，从而求出圆锥底面半径，最后利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：多边形是正六边形， ，， 阴影扇形的弧长，阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图， 圆锥底面圆的周长为，设圆锥底面半径为，则， 解得； 圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥的高 8．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴的一个交点为，点是抛物线的顶点，且与轴相切，点为上一动点．若点为的中点，连接，则的最大值是（     ） A．8 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线解析式及顶点，根据与轴相切，得到半径为，取点，连接，则，得到是中位线，，当经过圆心时最大，此时最大． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点为， ∴， 解得， ∴抛物线， ∴抛物线顶点， ∵与轴相切， ∴半径为， 取点，连接，则， ∵点为的中点， ∴是中位线， ∴， ∴当经过圆心时最大，此时最大，为半径，则， ∵， ∴， ∴，即的最大值为． 二、填空题 9．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是________． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；熟记直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解决问题的关键．． 根据与直线相离，则圆心到直线的距离大于圆的半径即可得问题答案． 【详解】解：∵半径为4的与直线相离， ∴圆心到直线的距离大于圆的半径， 即； 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，，分别与相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则_____． 【答案】/74度 【分析】本题考查了圆的切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据四边形的内角和可得的度数，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别与相切于两点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，点是的外心，点是的内心，连接，．若，则的度数为________． 【答案】/26度 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 点是的内心， 平分， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ， ， 故答案为：． 12．（2026·广东河源·二模）若一个正多边形中心角的度数为，则这个正多边形的边数是_________． 【答案】9 【分析】根据正多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵正多边形中心角的度数， ∴该正多边形的边数． 13．（2026·北京·模拟预测）如图，点为上一点，点为延长线上一点，切于点，连接，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】连接，由切线的性质可以求出的度数，再利用三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：连接， 切于点， ， 又， ， ， ， 又是的外角， ， ． 14．（2026·湖南长沙·三模）如图，是的直径，与相切于点B，连接交于点D．若，则的度数为______． 【答案】/55度 【分析】先根据切线的性质求出的度数，由直径的性质得到，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：与相切于点，且为直径， ， ， ． 是的直径， ， ． 15．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，，．为的内心，则______ 【答案】 【分析】作于点D，于点E，于点F，连接、、，根据勾股定理求得，因为I为的内心，所以，则四边形是正方形，设，则，求得，则，再由勾股定理求得． 【详解】解：作于点D，于点E，于点F，连接、、， ∵，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵I为的内心， ∴， ∴四边形是正方形， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查勾股定理、三角形的内心的性质、正方形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 16．（2026·安徽马鞍山·三模）如图，的外切正六边形的边长为4，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】/ 【分析】设与的切点是点，连接，则，首先根据正六边形的性质可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可以求出，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如下图所示， 设与的切点是点，连接， 则， 在正六边形中，，， 是等边三角形， 正六边形的边长为， ， ， ， ， ． 三、解答题 17．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，已知半径为的经过轴上一点，与轴交于、两点，连接、，平分，． (1)判断与轴的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 解：与轴相切，理由如下： 如图，连接， 平分， ， 又， ， ， ， 轴， 轴， 是半径， 与轴相切 (2) 【分析】本题主要考查切线的定义，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，求扇形面积；关键是掌握相关定理． （1）连接，由平分可得，又，所以，进而可得，所以，可得轴，进而可得结论； （2）过点作轴于点，则，且四边形是矩形，设可分别表达和，进而根据勾股定理可建立等式，得出的长，进而根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，过点作轴于点，   ， ， 四边形是矩形， ，， 设则， ， 在中，， ， 解得或舍去， ， ， ∴ ∴阴影部分的面积为 18．（24-25九年级下·重庆·阶段检测）学习了角平分线后，小高进行了拓展性探究．她发现，三角形的一个内角的角平分线与其他两个内角的外角角平分线交于一点，其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，作的平分线，与的平分线交于点，连接（只保留作图痕迹）． 已知：如图，在中，点，分别在，的延长线上，平分． 求证：． 证明：过点作于点，于点，于点（注：无需在答题卡上作图） 平分，， ①________ 平分，， ②________ 在与中 ③________ 请你依照题意完成下面命题： 小高通过向老师请教后知晓三角形的一个内角的角平分线与其他两个内角的外角角平分线交于一点，交点叫做旁心，他又回顾总结了三角形中一些重要线段的交点，三角形三个内角的角平分线交于一点，交点叫做④________；三角形三条边的中垂线交于一点，交点叫做⑤________；三角形三条边上的中线交于一点，交点叫做⑥________． 【答案】 如图，即为所求； ①；②；③；④三角形的内；⑤三角形的外心；⑥三角形的重心 【分析】本题考查了尺规作图-角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内心，外心，重心的概念，利用利用尺规作图即可；再根据角平分线定义和角度的计算，将过程补充完整；最后利用三角形相关概念填空即可，熟知相关概念是解题的关键． 【详解】略 19．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． (1)求的度数 (2)连接，，作．若劣弧的长为，求的长 【答案】(1)的度数为； (2)的长为． 【分析】（1）根据多边形的内角和公式计算即可； （2）先求出中心角，是等边三角形，根据弧长公式求得半径为2，由等边三角形的性质，结合已知可得，根据勾股定理即可得的长． 【详解】（1）解：， ∴的度数为． （2）解：∵正六边形，是它的外接圆， ∴中心角， ∵劣弧的长为， ∴， 解得：， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正多边形的内角，圆与正多边形，解直角三角形，正多边形的中心角，弧长公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理． 20．（2026·江苏镇江·中考真题）综合与实践：起跑线中的数学 有些长跑比赛是以图1中这样的曲线为起跑线的． 体育老师提供了模拟跑道的示意图（图2）和局部图（图3），供数学兴趣小组探究．在图3中，弯道跑道的内、外侧线都是以点O为圆心的半圆，与直线跑道垂直．最内道的跑步路线（图3中的虚线，称为“标准路线”）与跑道的最内侧线处处等宽．起跑点是与标准路线的交点，．从比赛公平角度看，不管从起跑线上的哪个点起跑，跑到终点的总路程都应该相等． 【认识原理】 C是起跑线上异于点的任意一点，过点C作虚线半圆的切线，T为切点． (1)M是上异于点T的一点．线段与的长度之和__________切线的长．（填“>”“<”或“=”） (2)从点出发的选手沿标准路线跑完全程，从点C出发的选手沿切线方向跑到点T后，再沿标准路线跑完全程．小组成员发现：切线的长与的长相等．他们的发现是否正确？为什么？ (3)过起跑线上一点（点在点C的外侧）作虚线半圆的切线，切点为．判断切线，的长度之差与的长是否相等？请说明理由． 【理解原理】 (4)是起跑线上的一点，经测量，点与圆心O的距离为10．设从点出发的选手沿切线方向跑到点后，再沿标准路线跑完全程，求的度数．（结果保留） 【设计方案】 (5)请在第5跑道外侧线上确定起跑点的位置．（无需具体求解与画图，只需要写出确定起跑点的步骤） 【答案】(1) (2)他们的发现正确．理由如下： 由题意可得， 从点出发的总路程 的长 点之后的标准路线长度； 从点出发的总路程 切线的长 点之后的标准路线长度． 不管从起跑线上的哪个点起跑，跑到终点的总路程都应该相等， 切线的长与的长相等， 他们的发现正确． (3)切线，的长度之差与的长相等．理由如下： 由（1）可得，从点出发的最短路程切线 点之后的标准路线长度； 从点出发的总路程切线 点之后的标准路线长度； 由（2）可得，切线的长与的长相等，同理可得，切线的长与的长相等， ， 即切线，的长度之差与的长相等． (4) (5)解：确定起跑点的步骤如下： ①设第5跑道外侧线对应的圆以 为圆心、半径为，先测量的长度； ②设切线切点为，根据（2）的结论，； ③设 ，由弧长公式得 ，由勾股定理得切线长 ； ④列方程求解 ，，，得到圆心角 的度数； ⑤以 为始边，作度数为的角，终边与标准路线的交点，即为点 ； ⑥过作的垂线，与第5跑道外侧线的交点即为起跑点． 【分析】（1）根据“两点之间线段最短”，判断即可． （2）分别表示出从和出发的总路程，再根据比赛的公平性，即可得到切线长与弧长相等的结论． （3）利用（2）中得出的结论“切线长等于对应的弧长”，即可得出切线长之差等于两切点之间弧长的结论． （4）先利用勾股定理求出切线长；然后根据（2）的结论，建立弧长与圆心角的等量关系，最后代入弧长公式求出圆心角的度数． （5）利用“切线长等于对应弧长”这一几何原理，通过计算圆心角度数，反向作图确定起跑点的位置． 【详解】（1）解：根据“两点之间线段最短”，是点到点的线段，是最短路径； 而是折线加曲线路径， 线段与的长度之和切线的长． （2）略 （3）略 （4）解：如图，连接， 是标准半圆的切线，为切点， ，即为直角三角形． 由题意得：，， 由勾股定理： ， 由（2）的结论：． 设的度数为，根据弧长公式： ，令， 解得， 的度数为． （5）略 / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训川练 第三十章直线与圆的位置关系全章综合训练 课时目标 掌握本章位置关系判定、切线判定与性质、切线长定理等核心知识的整体结构。 能综合运用切线、内切圆、正多边形等知识进行几何计算与证明。 3. 经历动态与最值问题的解决过程，体会分类讨论、方程与转化思想的应用。 课时目录 知识点01：直线与圆位置关系的综合判定 知识点02：切线的判定与性质的综合证明 知识点03：切线长定理的综合应用 知识点04：三角形内切圆与内心的综合计算 知识点05：内心与外心的综合辨析 知识点06：正多边形与圆的综合计算 知识点07：切线与圆周角定理、垂径定理的综合 知识点08：直线与圆位置关系中的动态与最值问题 知识点01：直线与圆位置关系的综合判定 1/21 判定主线：求圆心到直线的距离d,与半径r比较：d>r相离、d=r相切、d<r相交。 求d的常用方法：勾股定理、面积法等；当直线位置不定时先确定临界状态(d=r)再分 类讨论。 综合题常与坐标或图形运动结合，关键是抓住“相切”这一临界位置。 易错提醒：三种情形要讨论完整，结论写成范围时注意端点能否取到。 1.(25-26九年级上：河北石家庄·阶段检测)已知O0的半径为9Cm,圆心0到直线AB的距离为10cm, 则直线AB与⊙O的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 2.(25-26九年级上·福建泉州：期末)三个半径均为6cm的圆与直线1的位置关系如图所示，若点P在其中 的某个圆上，且点P到直线I的距离为8cm,则这个圆可以是 B 3.(26-27九年级上北京课后作业)设⊙0的半径为R,圆心O到直线I的距离为，若d,R是方程 x2-6x+m=0 1⊙O 7 m=7 1⊙0 的两根，则直线与相切时，的值为一；当时，直线与 4（26-27九年级上江苏苏州阶段检测)如图，在平面直角坐标系0y中，A(0,4、B(-4,4 C(-62) A B 2/21 (I)⊙M经过A、B、C三点，则点M的坐标是-，半径为-： (②)直线1经过点C,且平行于y轴，请判断直线1与⊙M的位置关系，并说明理由. 知识点02：切线的判定与性质的综合证明 判定：有公共点连半径证垂直，无公共点作垂直证半径，两种思路依条件选择。 性质：切线垂直于过切点的半径，由此构造直角三角形。 综合证明中常一次用性质（已知切线得垂直)、一次用判定（证另一直线为切线），依据 要书写清楚。 常用工具：勾股定理及其逆定理、圆周角定理、等腰三角形性质、全等三角形。 5.(25-26九年级上内蒙古乌兰察布期中)如图，PA为⊙0的切线，A为切点，连接OP,过点A作 AB⊥OP ⊙0 ,求证：PB头⊙o O,PB ,垂足为C,交于点B,连接 为的切线。 6.(25-26九年级上山东日照期中)如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O,且与小 圆相交于A,与大圆相交于点B,小圆的切线AC与大圆相交于D,OC平分∠ACB. (I)证明：直线BC是小圆的切线： (2)试证明：AC+AD=BC: (3)若AB=8cm,BC=l0cm,求大圆与小圆形成的圆环的面积。 7.(25-26九年级上江苏南京阶段检测)如图，四边形ABCD是正方形，以点A为圆心，AB为半径画 弧，交以CD为直径的半圆于点E,连接AE并延长，交BC于点F. 3/21 (I)求证：EF=CF (2)若AB=4,求CF 8.(2025广东模拟预测)将一张边长为4的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，得到折痕EF, 把正方形ABCD纸片展平.再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E,得到折痕PE,点 P在边AB上，过点P作AB的垂线交EG的延长线于点H. D H C D C G G H E G P B 图1 图2 图3 【知识技能】 (I)如图1，若点H落在边CD上，求证：△PEH是等边三角形. 【数学理解】 (2)如图2，设AP=x,PH=y,试求y关于x的函数解析式. 【拓展探索】 (3)如图3，⊙O为△APE的外接圆，若⊙O与边BC相切，求GH的长. 知识点03：切线长定理的综合应用 核心结论：圆外一点引圆的两切线长相等，该点与圆心的连线平分夹角。 常与三角形周长结合：利用切线长相等进行线段代换，把三角形周长表示为两段切线长之 和。 与方程思想结合：设切线长为x,用周长或边长关系列方程求解。 4/21 拓展：圆外切四边形对边之和相等，可解决“己知三边求第四边”类问题。 9.(25-26九年级上山东滨州期末)如图，△ABC的内切圆⊙0分别与AB,BC,AC相切于点D,E,F,且 AB=7.CE=6 ,△ABC ,则的周长为() D A.32 B.28 C.26 D.30 10.(25-26九年级下·四川绵阳·阶段检测)在梯形ABCD中，AD/BC,∠ABC=90°，以AB为直径的半 圆切CD于点M,若这个梯形的面积是10cm,周长是14cm,则半圆O的半径为一 11.(2026河南周口·模拟预测)乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物⊙0，如图所示，悬挂绳 AB、AC ⊙0 OA 分别切于点B、C,连接· (I)求证：OA垂直平分BC, (2)当BC为40Cm,四边形ABOC为正方形时，求⊙O的面积.（结果保留π） 12.(25-26九年级上·江苏镇江阶段检测)日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器.如图，日晷的平面 是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即BC与⊙O相切于点D )·点A在⊙0上，OA为某一时刻晷针的影长，A0的延长线与⊙O交于点E,与BC交于点B,连 接AC、OC、CE,BD=CD=3,OA⊥AC, 5/21 0 (I)求证：∠B=∠ACO: (2)求CE的长. 知识点04：三角形内切圆与内心的综合计算 常用公式：S=2a+b+c)r= 2S a+b-c r= a+b+c;直角三角形 2。 b+c-a 切点分边规律：顶点A处切线长=2，结合切线长定理进行线段代换。 综合题常与勾股定理、面积法结合，先求面积或边长，再代入公式求r。 易错提醒：内切圆半径是到边的距离（垂线段），不是到顶点的距离。 13.(2026湖北武汉·一模)如图，∠ACD=∠BCD=45°，AC=8,BC=6,△ACD内切圆半径为 () A ● D 15-5√2 15+5V2 A 4 B 4 C.3W2-2 D.3V2+2 14.(2026甘肃白银·二模)“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的 设计就是利用了莱洛三角形（如图1），它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长 为半径的三段圆弧.如图2，在设计某种转子发动机时，在边长为4的等边三角形中，分别以A,B, C为圆心，AB长为半径画弧.过点A作AE⊥BC于点E,过点B作BF⊥AC于点F,AE,BF交于 点O,以点O为圆心，OE长为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 6/21 图1 图2 15.(2026江苏泰州一模)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，⊙0是△ABC的内切圆，与三 边分别相切于点D,区，R若BD=1,则的长为， (结果保留) E 16.(25-26九年级上江西上饶期末)已知，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O 相交于点D,连接BD. B O D 图1 图2 (1)如图1，求证：DE=DB: (2)如图2，若△ABC的边BC恰好为⊙O的直径，延长BD至点F,使得DF=BD,连接CF.求证： 直线CF为⊙O的切线， 知识点05：内心与外心的综合辨析 内心：三条角平分线交点，到三边距离相等，必在三角形内部。 7/21 外心：三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等；锐角三角形在内，直角三角形在斜边中 点，钝角三角形在外。 1 角度公式对比：内心∠BIC=90°+2∠A;外心∠BOC=2∠A,二者不可混淆。 特殊情形：等边三角形四心合一，此时内心即外心。 17.(2025四川成都一模)在△ABC中，已知∠A=60°，下列判断中错误的是() A.若G为重心，则∠BGC之120° B.若0为外心，则∠B0C=120 C.若I为内心，则∠B1C=120° D.若H为垂心，则∠BHC=120° 18.(2025河南南阳·三模)如图，在等边△ABC中，AB=6,D是平面内一点，线段AD绕点A逆时针旋 转60至A,直线D与CE交于点只，若D-25.则BF的最大值是 一，最小值是 19.(24-25九年级上江苏镇江期末)如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1， 在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C,使O为△ABC的外心，则BC的长度是 20.(2025广东广州三模)已知抛物线'=-+c+ 交x轴于A,B两点，交y轴于C点，B的坐标为 3,0) C的坐标为 ,3) 顶点为M. (1)求抛物线的解析式： (2)连接BC,过第四象限内抛物线上一点作BC的平行线，交x轴于点E,交y轴于点F ①连接AF,当∠AFE=9O0°时，求Rt△AFE内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接CA,CE,当点F在△AEC的内角平分线上，点P是BC与抛物线对称轴的交点，求△BPE的面 积. 8/21 知识点06：正多边形与圆的综合计算 0 基本三角形：半径R、边心距r、半边长2构成直角三角形， =r+」 1 特殊结论：正三角形a=V3R、I=2R;正方形a=V2R:正六边形a=R。 面积公式：S=2×周长×边心距：圆与正多边形组合图形常求面积差（如圆与内接正多边 形之间的部分)。 360° 解题时先由边数n求中心角n,再归入直角三角形计算。 21.(2026山西长治三模)在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现半径为a的正十二边形和边长为 的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系.那么，这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关 系为() A.S=2SB.s=3店C.Sw=4SesD.无法确定 2,(2026广东广州三模)如图，正五边形1BCDB 的边长为10，点B、E在OA上，则BE的长是 23.(2026山东烟台中考真题)如图，正五边形ABCDE的边长为10，连接AC,以AB为直径作⊙0， 与AC交于点F,与CB的延长线交于点G,则阴影部分扇形GOF的面积为 9/21 E B 24.(2026:宁夏中考真题)如图，⊙0与正六边形ABCDEF相切，仅用无刻度直尺按要求作图，不写作 法，保留作图痕迹。 (1)作∠ABC的角平分线： (2)过点O画一条直线将图形分成面积相等的两部分. 知识点07：切线与圆周角定理垂径定理的综合 切线性质（切点处得直角）与圆周角定理（直径所对圆周角为90°）结合，可在图中找到 多个直角。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧，常与切线垂直关系配合，产生平行线。 常见图形：切线、弦、半径构成的图形中，利用半径相等得等腰三角形，再配合互余、同 弧圆周角相等导角。 解题策略：先标出所有直角和等半径，再从所求角（或边）倒推需要的等量关系。 25.(25-26九年级上·全国阶段检测)AC为圆O直径，BC切圆O于点C,过点C作CM⊥OB交圆O于 点M,交OB于点F,连接BM. M B 图1 图2 (I)如图1，求证：BM为圆O切线： 10/21 2)如图2，过点A作ADI‖BM交OB于点D,求证BC=AD: AD=AC=2v10 3)在(2)的条件下，当 O时，求AM的长 26.(25-26九年级上山东聊城期末)如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的直线与边 AD所在直线垂直于点M, (I)若CM是⊙O的切线，且∠ABC=55°.求∠ACD的度数. 2)试猜想∠CAB与∠BAD满足什么关系时，直线CM与⊙O相切？并说明理由. 27.(25-26九年级上·河南周口期末)如图，⊙0是△ABC的外接圆，点D在BO的延长线上，且 ∠DAE=)∠40C,BD交AC于点E (I)求证：AD是⊙O的切线： (2)若AB=AC,DA=OA,则∠BAC=. 28.(25-26九年级下·广东中山阶段检测)如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径 的圆交AB于D,延长AO交OO于E,连接CD,CE,若CE是⊙O的切线. 11/21 (I)求证：CD是⊙O的切线： 2)若CE=4,OC=5,则△DBC的面积= 知识点08：直线与圆位置送系中的动态与最值问题 动态问题：动点、动直线或动圆引起位置关系变化，先找临界位置（相切，d=r),再划 分区间讨论。 最值问题：圆上一点到直线的最大距离=d十r,最小距离=d-r(d为圆心到直线的距离， d>r时)。 圆外一点与圆上点的距离：最大值=OP十r,最小值=OP一r(O为圆心，P为该点)。 常用思想：分类讨论、数形结合、方程思想；注意检验最值能否取到。 29.(2026山东聊城·一模)如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为(-1,0)，⊙A的半径为 3 1,点P为直线y=一4x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为，求切线长PQ的最小值() AO 2 A.2W2 B.2 C.2 D.4 30.(26-27九年级上江苏南通阶段检测)在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,动点P在BC上运动（点 P不与B,C点重合)，点E在线段AP上，且∠ADE=∠BAP (I)连接BE,则BE的最小值是 ；(2)当∠PBE最小时，DE的长为 12/21 】 31.(2026河南周口模拟预测)如图，AB是O0的直径，O为圆心，AB=2,BF是⊙0的切线，点D 是切线上一点，且BD=AB,点E在⊙O上运动，连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转9O°得到 DC,连接OC,则OC的最大值是， 最小值是 E D E 32.(25-26九年级上·湖南长沙期末)若四边形一个顶点引出的一组邻边相等，且该顶点引出的对角线平 分这个四边形的一个内角，我们称这样的四边形为“等邻边内分四边形”，把这条对角线叫做四边形 的“内分线”. 图1 图2 (1)下列四边形是“等邻边内分四边形”的是 (填序号) ①菱形；②矩形；③正方形；④上底与腰相等的等腰梯形 Q如图1，已知R△1BC中，∠4BC=90,∠BMC=30,B=25,点D是R△4 外接圆上的 一点.若四边形ABCD是“等邻边内分四边形”，请求出这个“等邻边内分四边形”的“内分线”的 长度 3)如图2，C为定线段BD上异于B,D的一个动点，△ABC和△CDE都是等边三角形，且在BD同 侧，AD,BE交于点F,AD,CE交于点H,AC,BE交于点G,FC,GH交于点K. (i)求证：四边形FGCH为“等邻边内分四边形”； 13/21 (i)求证：直线FC恒过定点. L全章训练 一、选择题 1.(25-26九年级上·湖北武汉阶段检测)如图，若⊙0的半径为4，圆心O到某条直线的距离为2，则这 条直线可能是() 12 .0 86 c D4 2.(25-26九年级上山东潍坊期中)在平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为3,5)，半径为4，那么x 轴与⊙M的位置关系是() A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切 3.(26-27九年级上·重庆江北阶段检测)如图，PA与⊙0相切于点A,若PA=3,OP=4,则O0的半 径长为() A.3 B.V万 C.5 D.4 4.(2026湖南长沙一模)如图，⊙0是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD,EF分别表示北回归线 和南回归线，∠D0B=∠F0B=23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O,此时点F处 14/21 的太阳高度角FH(即平行于GD的光线HF与⊙O的切线F1所成的锐角)的大小为() 北回归线 D KG 赤道 H 南回归线 A.23.5° B.43° C.47° D.66.5° 5.(2026山东青岛·一模)如图，⊙0是△ABC的内切圆，∠BOC=117°，则∠A的度数为() A A.54° B.55 C.56° D.60° 6.(2026河北邯郸一模)如图所示，在Rt△ABC中，己知∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,则其内 心O和外心M之间的距离是() A 10cm B 5cm C.v5em D.2cm 7.(2026山东烟台一模)如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆， 若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的高是() E 15/21 A.2 B.42 C.8 D.8V2 8.(26-27九年级上·浙江宁波阶段检测)如图，已知在平面直角坐标系x0少中，0为坐标原点，抛物线 ”=。+bc与x销的一个交点为4(80)，点C是抛物线的顶点，且OC与y轴相切，点p为OC上 16 一动点.若点D为PA的中点，连接OD,则OD的最大值是() 15 17 A.8 B.9 C.2 D.2 二、填空题 9.(24-25九年级上浙江绍兴期末)在同一平面内，半径为4的⊙P与直线AB相离，则圆心P到直线 AB的距离d需满足的条件是 10.(25-26九年级上江苏宿迁期末)如图，PA,PB分别与O0相切于A,B两点，C是优弧AB上的 一个动点，若∠P=32°，则∠ACB= 11.(24-25九年级上山东烟台期末)如图，点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，连接OB,IA」 若∠CAI=32°，则∠OBC的度数为 16121 B 12.(2026:广东河源二模)若一个正多边形中心角的度数为40°，则这个正多边形的边数是 13.(2026北京模拟预测)如图，点A为⊙0上一点，点P为A0延长线上一点，PB切⊙0于点B,连 接AB,若∠APB=40°，则∠A的度数为一· B 14.(2026·湖南长沙三模)如图，AB是⊙0的直径，BC与⊙0相切于点B,连接AC交⊙0于点D.若 ∠C=55°，则∠ABD的度数为— D B 15.(24-25九年级上江苏泰州阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,AM=1, I为△ABC的内心，则IM= 16.(2026安徽马鞍山三模)如图，⊙0的外切正六边形ABCDEF的边长为4，则图中阴影部分的面积 为一· 17/21 B 三、解答题 17.(24-25九年级上湖北武汉·期末)如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C,与y轴交于A、B 两点，连接AM、AC,AC平分∠OAM,AO+CO=6. M B (1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由； (2)若∠AMB=70°，求阴影部分的面积， 18.(24-25九年级下·重庆·阶段检测)学习了角平分线后，小高进行了拓展性探究.她发现，三角形的一 个内角的角平分线与其他两个内角的外角角平分线交于一点，其解决思路是利用角平分线的性质和全 等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，作∠BCD的平分线，与∠CBE的平分线BF交于点G,连接AG(只保留作图痕 迹)· D E 已知：如图，在△ABC中，点D,E分别在AC,AB的延长线上，BF平分∠CBE. 求证：∠DAG=∠BAG 证明：过点G作GM⊥AE于点M,GN⊥AD于点W,GH⊥BC于点H(注：无需在答题卡上作 图) 18/21 :BG平分∠CBE,GM⊥AE,GH⊥BC ∴GH=① ·CG平分∠BCD,GN⊥AD,GH⊥BC ..GH GN ② 在Rt△AMG与Rt△ANG中 GM=GN AG=AG .Rt△AMG≌Rt△ANG③ .∠DAG=∠BAG 请你依照题意完成下面命题： 小高通过向老师请教后知晓三角形的一个内角的角平分线与其他两个内角的外角角平分线交于一点， 交点叫做旁心，他又回顾总结了三角形中一些重要线段的交点，三角形三个内角的角平分线交于一点， 交点叫做④ 一；三角形三条边的中垂线交于一点，交点叫做⑤ ；三角形三条边上的中 线交于一点，交点叫做⑥ 19.(25-26九年级上浙江杭州阶段检测)如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由 其抽象而成的正六边形ABCDEF,⊙O是它的外接圆. B 图1 图2 (1)求∠BAF的度数 2 ②)连接0C,OD,作OG1CD:若劣弧CD的长为3π，求OG的长 20.(2026·江苏镇江中考真题)综合与实践：起跑线中的数学 有些长跑比赛是以图1中这样的曲线为起跑线的， 19/21 第5跑道外侧线 图1 --标准路线 最内侧线 图2 图3 体育老师提供了模拟跑道的示意图（图2）和局部图（图3），供数学兴趣小组探究.在图3中，弯道 跑道的内、外侧线都是以点O为圆心的半圆，OA与直线跑道垂直.最内道的跑步路线（图3中的虚 线，称为“标准路线”)与跑道的最内侧线处处等宽.起跑点C是01与标准路线的交点， 0C1=6 从比赛公平角度看，不管从起跑线上的哪个点起跑，跑到终点的总路程都应该相等， 【认识原理】 C C是起跑线上异于点的任意一点，过点C作虚线半圆的切线，T为切点 1)M CT上异于点T的一点.线段CM与M7的长度之和 切线CT的长.（填“><”或 “2”) C (②)从点出发的选手沿标准路线跑完全程，从点C出发的选手沿切线方向跑到点T后，再沿标准路线 跑完全程。小组成员发现：切线CT的长与C可的长相等，他们的发现是否正确？为什么？ ®)过起跑线上一点S(点C在点C的外侧)作虚线半圆的切线，切点为.判断切线 C, T C,2CT的 长度之差与 可的长是否相等？请说明理由。 【理解原理】 ,C是起跑线上的点，经测量，点二与圆心0的距离为10，设从，点C出发的选手沿切线方向跑到 C 20/21 3 ∠COT 后，再沿标准路线跑完全程，求 的度数. (结果保留”) 【设计方案】 (⑤)请在第5跑道外侧线上确定起跑点的位置.（无需具体求解与画图，只需要写出确定起跑点 的步骤) 21/21