第30章 直线与圆的位置关系 （分层作业） -2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层设计覆盖直线与圆位置关系全考点，以题载法构建“概念辨析-性质应用-综合推理”逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|17题（选择8/填空6/解答3）|切线判定两法（d=r/半径垂直）、数形结合分析位置关系、内心外心性质应用|从d与r关系（概念）→切线性质与判定（原理）→与三角形结合（应用）| |提优过关|3题|重心性质证明、圆与三角形综合推理、动态位置关系分类讨论|深化切线与圆性质，关联全等/相似，构建知识网络|

（分层作业）第30章直线与圆的位置关系-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 基础过关 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．切线垂直于半径 C．长度相等的弧是等弧 D．若直线和圆有公共点，则直线和圆相交或相切 2．如图，是上一点，，，，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 5．已知，，之间的距离是3cm，圆心O到直线的距离是1cm．如果与直线，共有三个公共点，那么的半径为（    ） A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．3cm或6cm 6．已知的半径为3，直线AB经过上一点P，下列条件不能判定直线AB与相切的是（    ） A．点O到直线AB的距离是3 B． C． D． 7．如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形（），则剪下的的周长为（　　） A． B． C． D．随直线的变化而变化 8．如图，的边与相交于C、D两点，且经过圆心O，边与相切，切点为B．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 9．的直径为8，圆心到直线的距离为3，则直线与的位置关系是________． 10．如图，点O既是的内心，也是的外心，若，则的度数为______． 11．如图，分别与相切于点A、B，若，则的半径为_________． 12．如图所示，的两条切线和相交于点，与圆相切于两点，是圆上的一点，若，则______． 13．如图，为内部一点，，、分别平分、． （1）___________． （2）连接，过作分别交、于点、，若，，则点的值为___________． 14．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中一定正确的是_____（填序号） 三、解答题 15．作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 16．如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 17．如图，是的外接圆，连接，过点C作一条射线． (1)请从以下条件中：①，；②；③平分．选择一组能证明是的切线的条件，并写出证明过程； (2)若，，，求的度数． 提优过关 18．在学习圆的时候，我们知道三角形有内心和外心，内心是它内切圆的圆心，也是三角形三个内角角平分线的交点；外心是它外接圆的圆心，也是三边垂直平分线的交点．我们还知道三角形三条中线也会交于一点，它叫做三角形的重心．重心具有一个很重要的性质：三角形的重心是三条中线的三等分点．下面就让我们来证明一下这个性质． 已知：如图，在中，、、分别是边、、的中点．、、为三条中线，它们交于一点． 求证：是三条中线的三等分点． 19．如图，是的直径、是弦，是的中点．与交于点是延长线上的一点，且． (1)判断并说明与的位置关系； (2)若，求的半径； (3)在（2）的条件下，连接，取的中点，连接，根据题意补全图形，求的长． 20．如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，求的周长． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《（分层作业）第30章直线与圆的位置关系-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C B C C A C 1．D 【分析】本题考查圆的基本概念，包括确定圆的条件、切线的性质、等弧的定义以及直线与圆的位置关系．根据以上知识逐项判断． 【详解】解：不在同一直线上的三点才能确定一个圆，故 A错误； 切线垂直于经过切点的半径，而非任意半径，故B错误； 等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，故 C错误； 直线与圆有公共点时，位置关系为相交或相切，故 D正确． 故选：D． 2．B 【分析】根据切线的判定定理和勾股定理的逆定理来判断三角形的形状，进而确定角的度数．从而判断位置关系． 【详解】解：在中，，，， ∵，， ∴． 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形． ∴，． 又∵ 是⊙上一点，是⊙的半径， ∴ 与⊙相切． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的判定定理和勾股定理的逆定理，解题关键是通过勾股定理的逆定理判断出与垂直，进而根据切线的判定定理得出结论． 3．C 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；由切线的性质得，由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：连接， ，是的切线， ，， ， ， ， ， 故选：C． 4．B 【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的性质和判定，连接，证明是等边三角形，得到，由圆周角定理和切线的性质证得，进而证得，即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵是的两条切线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．C 【分析】根据题意可以画出相应的图形，圆与两条平行直线有三个公共点，需与其中一条直线相切且与另一条直线相交．根据圆心到直线的距离关系，计算可能的半径值． 【详解】解：设圆的半径为cm， 如图一所示， 则，得cm， 如图二所示， 则，得cm， 综上，cm． 故选：C． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答． 6．C 【分析】本题考查了切线的判定，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”进行判断即可． 【详解】解：A、点到直线的距离是，等于半径，能判定直线与相切，不符合题意； B、由，得到，即,且点在上，能判定直线与相切，不符合题意； C、，不能判定直线与相切，符合题意； D、,且点在上，能判定直线与相切，不符合题意； 故选：C ． 7．A 【分析】本题主要考查了圆的切线性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键． 设与的切点为E，与的切点为F，利用全等三角形的判定与性质，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：如图，设与的切点为E，与的切点为F，连接， ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴的周长 ． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理．由切线的性质可得，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得，即可求解． 【详解】解：连接，如图， 边与相切， ， ， ，与是所对的圆心角和圆周角， ， ， 故选：C． 9．相交 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，直线与圆的位置关系：①当时，直线与圆相离；②当时，直线与圆相切；③当时，直线与圆相交． 求出的半径，进而根据直线与圆的位置关系作答即可． 【详解】∵的直径为8， ∴的半径为4， ∵圆心到直线的距离为3，， ∴直线与的位置关系是相交． 故答案为：相交． 10． 【分析】本题主要考查了三角形的内心、外心的性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内心、外心的定义和等边三角形的性质是解题的关键．先根据点是内心和外心，得出三角形的性质，再利用三角形内角和及相关角度关系求解． 【详解】解：∵，在中，． 又∵点是内心，、分别平分、， ∴． 在中，． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数．连接，证明，得到，利用三角函数即可求解． 【详解】解：连接， ∵，分别与相切于两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．或 【分析】连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据四边形的内角和可得的度数，然后根据点在圆上的位置分类讨论，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵，分别与相切于两点， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点在大于半圆的弧上时，如图所示： ∴， 当点在小于半圆的弧上时，如图所示： ∴， ∴， 综上：或． 13． 【分析】（1）结合三角形内角和性质以及角平分线的定义进行分析，即可作答． （2）先得出平分（三角形的角平分线交于点），再证明，是等边三角形，结合两组对角相等，得出，再作图，根据切线长定理得，再根据勾股定理以及30度角的直角三角形的性质进行分析，列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∵、分别平分、． ∴， ∴， 则， 故答案为：； （2）∵、分别平分、． ∴平分（三角形的角平分线交于点）， ∴， ∵过作分别交、于点、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵点P是的角平分线的交点， ∴点P是的内心， 分别过点P作，如图所示： 则， 结合切线长定理得， ∵， ∴， 设 ∵是等边三角形，， ∴ ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 同理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，切线长定理，内心，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 14．①②③④ 【分析】利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据圆周角定理，等弧与等弦的关系及等腰三角形的性质可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断． 【详解】解：∵点是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 连接，， ∵点是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，故③正确； ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∴一定正确的是①②③④， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查三角形内心，圆周角定理，等弧与等弦的关系，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理与三角形外角的性质．掌握三角形的内心的定义是解题的关键． 15．(1)解：如图，正六边形即为所求； (2)解：四边形是矩形，理由如下， 如图，连接， 六边形是正六边形， ，． ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ，， 是等边三角形， ， ． ， ， ， 平行四边形是矩形． 【分析】（1）由正六边形的中心角为，可得是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出的内接正六边形； （2）连接，由六边形是正六边形，则，故，则可得，证得四边形是平行四边形，然后由，，求得，则可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 16．(1)证明：连接，， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵点C为劣弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）连接，证明，连接，证明即可得到结论； （2）连接，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）略 （2）解：连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵点C为劣弧的中点， ∴ ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键． 17．(1)解：选择①，， 连接，如解①图； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是圆的半径， ∴是的切线， 选择②， 如解②图，连接并延长交圆于点，连接， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 即， ∵是圆的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）选择①连接，由可得，由可得，进而可证明是的切线，选择②连接并延长交圆于点，证明，从而证明，即可得出结论，③平分，无法得出结论； （2）连接，，证明，求得，进而求出． 【详解】（1）略； （2）解：连接，． ∵， ∴， ，，， ， ， ． 18． 证明：如图所示，连接， ∵、分别是边、的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， 即是中线、的三等分点， 同理可得， 则是中线的三等分点， ∴是三条中线的三等分点． 【分析】本题考查了三角形重心的定义，相似三角形的性质与判定，连接，可得，，证明，根据相似三角形的性质，即可得出结论． 【详解】略 19．(1) 与相切，理由如下： 连接， 是的直径，是的中点， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， 与相切； (2)的半径为3 (3) 【分析】本题考查的是切线的判定与性质、圆周角定理及勾股定理的应用，熟练掌握相关性质与判定是解题关键， （1）连接，先得出，再证明，即可得出结论； （2）设的半径为r，则，根据勾股定理列方程求解即可； （3）先补全图形，连接，求出，，再根据勾股定理可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为r，则 ， 在中，， ， 解得：， ∴的半径为3； （3）解：补全图形，如下，连接， 的半径为3，， ， ， 的中点为点， ， 是的直径， ， ． 20．(1) (2) 证明：如图，连接， ∵点为的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）由圆内接四边形可得，，结合是的直径可得，，根据三角形内角和定理，计算出； （2）连接，由内心的性质可知，平分，平分，则，．结合圆周角定理可得，，由三角形外角的性质可证明，于是得到； （3）作，垂足为，结合内心的性质和圆周角定理，容易证明进而都是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质并使用勾股定理，依次计算出、、和，相加求得求的周长． 【详解】（1）解：由圆内接四边形的性质可知，， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）略 （3）解：作，垂足为， 由（2）可得，平分， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，， ∴， 在直角中，， ∴， 在直角中，， ∴的周长为． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理与外角的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确添加辅助线是解题关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $