第29章 圆 全章综合训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十九章 圆 全章综合训练 ▌课时目标 1. 理解并系统梳理圆的概念、性质与计算公式，形成全章知识结构。 2. 掌握垂径定理、圆周角定理等核心定理的综合运用，会完成圆中的计算与证明。 3. 能综合运用弧长、扇形面积与圆锥知识解决组合图形问题，提升几何推理与应用能力。 ▌课时目录 知识点01：圆的有关概念与对称性的综合辨析 知识点02：确定圆的条件与三角形外接圆、外心的综合 知识点03：垂径定理及其推论的综合应用 知识点04：圆心角、弧、弦关系的综合应用 知识点05：圆周角定理及推论的综合应用 知识点06：圆内接四边形性质的综合应用 知识点07：圆中角度计算与线段关系的综合证明 知识点08：弧长、扇形面积与阴影面积的综合计算 知识点09：圆锥侧面展开图与圆的综合计算 ▌知识点01：圆的有关概念与对称性的综合辨析 核心概念：弦、直径、弧（劣弧、优弧、半圆）、等圆、等弧，辨析时紧扣“同圆或等圆”等前提。 对称性：圆既是轴对称图形（对称轴是直径所在直线），又是中心对称图形（对称中心是圆心），还具有旋转不变性。 易错提醒：直径是对称轴的说法错误；弧相等与弧度数相等不是一回事。 1．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知的半径为3，若，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：∵的半径为3，，， ∴点在外. 2．（2026·云南昆明·二模）已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． 3．（26-27六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）把一个圆平均分成若干等份，可以拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于圆的_____，宽相当于圆的_____． 【答案】 周长的一半 半径 【分析】根据圆面积推导的拼接过程，确定拼接得到的近似长方形各部分对应圆的对应部分． 【详解】解：作图如下： 由图可得，长方形的长是原圆周长的一半，宽相当于圆的半径． 4．（2026·贵州·一模）如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 【答案】外 【分析】根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵正方形的对角线， ∴点C在外． ▌知识点02：确定圆的条件与三角形外接圆、外心的综合 确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等；锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部。 常结合“外接圆半径＝斜边一半”（直角三角形）进行计算。 5．（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）如图，已知线段，，经过点A，B，以的长为半径能画出圆的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握确定圆的条件是解题关键．先画出的垂直平分线为直线，再以点为圆心、的长为半径画弧交直线于两点，则这两个点即为所求圆的圆心，据此解答即可得． 【详解】解：如图，直线是的垂直平分线，以点为圆心、的长为半径画弧交直线于两点，则这两个点即为所求圆的圆心． 所以经过点，以的长为半径能画出2个圆， 故选：B． 6．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知线段，则经过A，B两点且半径为的圆有（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查确定的圆的个数．经过两点A、B的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到A、B的距离等于半径。利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：设中点为M，则． ∵圆心O在的垂直平分线上，且， ∴在中，， ∴， ∵， ∴存在两个点O（在垂直平分线上两侧），分别对应两个圆． 故选：B． 7．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列语句中正确的有（     ） ①直径是弦；②圆的对称轴是直径；③三角形的外心到三角形各边的距离相等；④平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；⑤在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据圆的相关概念逐项分析即可得出结果． 【详解】解：①∵直径的两端点在圆上，是连接圆上两点的线段，∴直径是弦，①正确； ②∵圆的对称轴是直线，直径是线段，∴②错误； ③∵三角形的外心到各顶点的距离相等，∴到各边距离相等的结论不成立，③错误； ④∵当被平分的弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，∴④错误； ⑤∵同圆中一条弦所对的圆周角有两类，两角互补，∴相等的弦所对的圆周角不一定相等，⑤错误； 综上，正确的语句共1个． 8．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 【答案】 【分析】根据点、的坐标特征确定线段的垂直平分线，设出圆心坐标，利用圆心到点、的距离相等建立方程求出圆心纵坐标，最后利用两点间距离公式计算半径即可． 【详解】解：点，的纵坐标相同， 线段平行于轴，且中点横坐标为， 线段的垂直平分线为直线， 的外接圆圆心在线段的垂直平分线上， 设外接圆圆心坐标为， 点到点、的距离相等，且， ， ， ， ， ， ， ， 外接圆圆心坐标为， 外接圆半径． ▌知识点03：垂径定理及其推论的综合应用 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并平分弦所对的两条弧；推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦。 基本图形：半径r、弦心距d、半弦a/构成直角三角形，。 综合题型常与方程、实际问题结合，注意两平行弦距离需分同侧、异侧讨论。 9．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆心为O,半径为，则，，由垂径定理得，再由勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：如图，设圆弧形桥拱的圆心为O,半径为，则，，由题意得， ， 在中，由勾股定理得，即：， 解得， 拱桥的半径为． 10．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的直径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为___________． 【答案】 【分析】根据直径求出半径，利用垂径定理确定半径与弦垂直，构建直角三角形，结合勾股定理求解弦长的一半，进而得出弦长． 【详解】解：设圆心为，连接， 球形部分的直径为， 半径， 为瓶内液体的最大深度， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 故截面圆中弦的长为． 11．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）在中，弦，，则的半径为___________． 【答案】 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到直角三角形，再结合等腰三角形和含角的直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵ ，都是的半径， ∴ ， ∵ ，， ∴ 由垂径定理得， ∵ ，， ∴ ， 在中，， ∴． 12．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，的直径，是上半圆（，除外）上任一点，的平分线交于，弦过，的中点，，则的长是___________． 【答案】 【分析】连接交于点，连接，由垂径定理的结论说明，从而说明是的中点，在中，由勾股定理得的长，即可求得． 【详解】解：连接交于点，连接， 平分， ， ， ， ， ， ，分别是，的中点， ， ， ． ， ， 是的中点， ， ， 直径， ， ， 在中，，由勾股定理得 ， ． ▌知识点04：圆心角、弧、弦关系的综合应用 在同圆或等圆中：圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等，知一组相等可推其余各组相等。 用于证明时先确认“同圆或等圆”前提，再选择转化方向（证弦等转证角等或弧等）。 常与全等三角形、等腰三角形结合，注意规范书写推理依据。 13．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）在中，弦等于圆半径的倍，即，则该弦所对的弧的度数为__________． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理逆定理求出圆心角的度数，再分劣弧和优弧两种情况计算弧的度数． 【详解】解：根据题意画出图形，如下图所示， ，， ， ， 由勾股定理逆定理，可得是直角三角形，． 一条弦对应两条弧，弧的度数等于它所对圆心角的度数， 当弦对劣弧时，劣弧的度数为；当弦对优弧时，优弧的度数为， 该弦所对的弧的度数为或． 14．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点P是直径上一个动点，的半径为1，则的最小值为________． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，，则，，求出，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，， 点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点， ，． 点是的中点， ， ． 又， ． 当点，，在一条直线上时，此时最小，为的值，即最小值是． 15．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点． (1)若，则的度数为_； (2)若点 是线段上的动点，则线段 的长度取值范围是_； (3)求的长． 【答案】(1)， (2)； (3)． 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，于是得到结论； 由勾股定理得，过作，交于点，然后通过求出，再结合垂线段最短可得线段的长度取值范围是，然后代入即可求解； 由得，由得，然后通过勾股定理得，从而求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， ∴， 过作，交于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∴线段的长度取值范围是，即； （3）解：由得，如问图， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴，即的长为． 16．（2026·甘肃兰州·中考真题）问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周． (1)问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周： ①作的任意直径； ②过点作的垂线，与相交于，两点，则点，，，将四等分．说明四等分圆周的依据：____________________________________________________________． (2)拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成． 【答案】(1)①作的任意直径，如图： ②过点作的垂线，与相交于，两点，四等分圆周如图所示： 依据：，得到的圆心角，在中，相等的圆心角所对的弧相等，所以得到四段相等的圆弧，故点，，，将四等分． (2)圆周八等分如图所示： 【分析】（1）①过点O作的任意直径；②过点作的垂线，与相交于，两点，此时，得到的圆心角， 根据相等的圆心角所对的弧相等，即可证明四等分． （2）根据（1）的解题思路，相等的圆心角所对的弧相等，所以只需要分别作第一问中四个圆心角的角平分线，形成八个相等的圆心角，得到八段相等的圆弧，即可使圆八等分．具体作法：分别以点B，D为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点M，连接，交于点F，同理，分别以点A，D为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点N，连接，交于点H，再分别以点B，C为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点Q，连接，交于点G，最后分别以点A，C为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点P，连接，交于点E，此时，八个圆心角大小相等，得到八段相等的圆弧，即完成八等分． 【详解】（1）略． （2）略． ▌知识点05：圆周角定理及推论的综合应用 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 辅助线口诀：见直径想直角，见直角连直径；角度计算中常与三角形内角和、外角性质联用。 17．（26-27九年级上·江苏南京·期中）内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____ ． 【答案】4 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：如图：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 18．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，点为的外心，，，直线，与边、分别交于点、，，则线段长为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外心、圆周角定理与垂径定理、勾股定理；关键是由 得到 ，再由垂径定理把所求的 转化为 的一半．由 与圆周角定理把已知条件转化为 ；作 于点 ，在 与 中依次求出 、、，从而得到 ；由垂径定理得点 为 的中点，再由 的两个锐角相等把 转化为 ． 【详解】解：， ； 点 为 的外心， 由圆周角定理得 ． 如图，作 于点 ． ，， ， ； ，， ， ，． ，， ； 由图形知点 落在线段 上， ． 点 为 的外心，， 由垂径定理得点 为 的中点， ； 点 、 都在直线 上，，而点 、 都在直线 上， ； 点 在边 上， ， ， ． 19．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵B为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由垂直关系得出，再由B为的中点得出，从而得到，故； （2）证明，利用勾股定理求出的长，由 结合可得出的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵B为的中点，， ∴， ∴． ∵，由（1）知， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴． 20．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）【特例感知】 (1)如图1，在中，，为边上的中线，，，则的长为____ 【一般推理】 (2)问题提出：如图2，中，为边上的中线，，，，求的值．（用，，的代数式表示） 小林尝试解答此问题，部分过程如下： 解：过图2中的点C作⊥于点，在中，， 同理可得：，，而，设，，则…… 请你完成小林剩余的解答过程： 【尝试应用】请用一般推理中的结论，解答下面问题． (3)中，为边上的中线，，，，求的长为_____． (4)如图，的半径为，，点和点在上，，点、分别为、的中点，求的长． (5)已知中，，，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)过程补全如下： 由图可得，，． ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴； (3) (4) (5) 【分析】（1）在中，由勾股定理得斜边，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得； （2）将、用勾股定理展开相加，消去一次项后得，整理得中线平方的值为； （3）将，，代入公式，计算即可； （4）由圆的半径得，等腰中；中，故．是的中线，代入公式，结合，计算即可； （5）由公式变形得，故求最大值即求中线的最大值．为定角，为定弦，点A在对应外接圆上；当过圆心时取最大值，代入得最大值为． 【详解】（1）解：在中， ， ∵为边上的中线， ∴； （2）略 （3）解：由（2）可得，， ∵，，，即，，， ∴ ， ∴； （4）解：连接、、、，如图： ，P为中点， ， 在中， 半径为8， ， ∴， ，P为中点， ， ∴， 为中点， 是中边上的中线， 由（2）可得，， 又∵， ∴ ， ∴； （5）解：取的中点D，连接，如图： ∴， 由（2）可得， ， ， ∴， ∵要使最大， ∴需使最大， ，， 点A在以为弦、所对圆周角为的外接圆优弧上． 设外接圆圆心为O，连接、、，如图： ， ，D为中点， ， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， 当A、O、D三点共线，且O在A、D之间时，取得最大值为， ∴ ． ▌知识点06：圆内接四边形性质的综合应用 性质：圆内接四边形的对角互补；任一外角等于它的内对角。 综合：与圆周角定理结合实现角的转移；出现对角互补可判定四点共圆、构造辅助圆。 典型步骤：找弧→找角→用互补或外角性质列方程求解。 21．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 22．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是圆内接三角形，，点E是上一点，将沿翻折，点B的对应点恰好在圆周上，若于点G，，则的值为________． 【答案】 【分析】连接，设，利用等腰三角形性质、翻折性质及圆周角定理表示出、和，结合圆内接四边形对角互补求出，再通过求解，再由折叠的性质求解即可． 【详解】解：连接， 设 将沿翻折得到 ， ∴ 于点 在中， 四边形内接于圆 ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∵ ， 在中， 由折叠可得， ． 23．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，四边形是圆的内接四边形，是圆直径，点为半径上一点，连接并延长交圆于点，连接，若，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】连接,则为直角，可以求出的值，根据同弧所对的圆周角相等，即可求出的值． 【详解】解：连接,如图所示． ∵是圆直径， ∴为直角， ∴， ∴, ∵圆周角与圆周角所对同一段弧， ∴, ∴． 24．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，四边形内接于，平分，延长交的延长线于点．若，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】证明即可． 【详解】略 ▌知识点07：圆中角度计算与线段关系的综合证明 角度计算主线：圆心角→弧→圆周角之间的转化，配合等腰三角形（半径相等）与四边形对角互补。 线段证明主线：证线段相等常转化为证弦所对的弧或圆心角相等，或利用垂径定理的平分结论。 证明书写要交代“同圆或等圆”前提，辅助线（连半径、作弦心距、连直径）要说明作法。 25．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）图①，图②均是正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度直尺，在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图①，已知经过点B，画出所在圆的圆心P，并写出它的坐标________． (2)直接写出的长度=________． (3)在图②中找格点D（不与C重合），使，（找出一个符合条件的格点即可）并写出它的坐标________． 【答案】(1)所作圆心P如图所示： (2) (3)所作图形如下： 【分析】（1）分别作线段的中垂线，然后交于一点P，进而问题可求解； （2）连接，由题意易得，则有，然后根据弧长计算公式进行求解即可； （3）在坐标系上找一点，使得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：图略，由图可知：圆心P的坐标为； （2）解：连接，如图所示： 由图可知：， ∴， ∴， ∴的长度为； （3）解：连接，如图所示： 由图可知：， ∴， ∴， ∴． 26．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，线段是的直径，弦，，求和的度数． 【答案】，的度数是 【详解】解：连接，设与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴根据圆周角定理可得， ∵线段是的直径，弦， ∴， ∵的度数等于， ∴的度数为． 27．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，弦的中点为点，连接、，并分别延长它们与相交于点、． (1)若，求的大小． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据垂径定理可知，得到，进而求出，根据圆周角定理计算即可； （2）由题意可知，设的半径为，则，在中，由勾股定理求出，在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵弦的中点为点，是过圆心的线段， ∴， 即， 在中，， ∴， ∴， 根据圆周角定理可知； （2）解：∵是中点，， ∴， 设的半径为，则， 已知，而， 因此． 在中，由勾股定理， 代入得： 解得， 因此直径． ∵是的直径， ∴． 在中，． 28．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）【问题呈现】阿基米德折弦定理： 如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和． ∵是的中点， ①， 又， ②， ， 又， ， ， 即 (1)根据证明过程，分别写出下列步骤的理由： ①________________， ②________________； (2)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点是的中点，于点，则________； (3)【变式探究】如图3，若点是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (4)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足，若，的半径为，求长． 【答案】(1)①在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；② (2) (3)， 证明：在上截取，连接、、、，如图， ∵是的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； (4)的长为或 【分析】（1）根据圆的基本性质及全等三角形的判定定理可进行求解； （2）由【问题呈现】结论即可求解； （3）在上截取，连接、、、，证明可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （4）分两种情况讨论，由（1）结论可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）中结论可得：，即， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）略 （4）解：如图，当点在下方时，过点作于点，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵，圆的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点， ∴， ∴， ∴， 当点在上方时，， 同理得， 综上所述：的长为或． ▌知识点08：弧长、扇形面积与阴影面积的综合计算 公式：弧长；扇形面积。 弓形面积＝扇形面积±三角形面积；阴影面积用规则图形的和差、割补、等积转化求解。 关键：求出圆心角的度数与半径，结果保留π，注意长度与面积单位。 29．（2026·广东广州·三模）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于、两点．若厘米，则的长度为_____厘米．（结果保留） 【答案】 【分析】直接根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，，， ∴的长度为：． 30．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点E在的延长线上，连接． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得出，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出，根据补角的性质得出，最后根据平行线的判定即可得出结论； （2）先证明，得出为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 31．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，内接于，连接，平分，点D在弧上，过点B作，交的延长线于点E，． (1)求证：是的切线； (2)若 ，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接，则， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，为的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接，则，由平分，，得，等量代换得即可； （2）连接，交于点F，则，证是等边三角形，设，，得解得，由勾股定理得，证四边形是菱形，得，用割补法求面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于点F，则， ∵，，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 设，， ∴，，， ∴，解得， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，， ∴， ∴． 32．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为的扇形作为装饰部件． (1)求裁剪得到的扇形装饰部件的半径； (2)求裁剪后剩下废料的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）连接，说明是直角三角形，根据勾股定理即可求解； （2）用圆形面积减去裁剪的扇形面积即可． 【详解】（1）解：连接，根据题意，， ， 是直径， ，， ， ， ， ， 即裁剪得到的扇形装饰部件的半径为； （2）解： 即裁剪后剩下废料的面积为． ▌知识点09：圆锥侧面展开图与圆的综合计算 核心等式：展开图扇形弧长＝底面圆周长2πr，扇形半径＝母线l，且。 公式：S侧＝πrl，S全＝πrl＋πr²＝πr(l＋r)。，扇形圆心角。 综合题常与弧长、扇形面积公式互推，或由展开图逆向求圆锥元素，抓住等量关系列方程。 33．（2025·安徽蚌埠·二模）若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为，由题意可得，求出，进而利用扇形的弧长等于圆锥的底面周长即可求出扇形的圆心角，从而得解． 【详解】解：设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为， ∵圆锥的侧面积是底面积的3倍， ∴， ∴， ∵， 即 ∴， 即这个圆锥侧面展开图的圆心角等于， 故选：C． 34．（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可得解，熟练掌握相关公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该圆锥形装饰的面积为（平方厘米）， 故选：B． 35．（2026·广东广州·二模）在中，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，这个圆锥侧面展开所得扇形的弧长等于________． 【答案】 【分析】以为轴旋转得到圆锥，圆锥底面圆的半径等于的长度，圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，代入半径计算即可． 【详解】解：在中，，以所在直线为轴旋转得到圆锥， 圆锥底面圆的半径， 圆锥侧面展开所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， 弧长． 36．（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． ▌全章训练 一、选择题 1．（2026·云南保山·一模）已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，即可判断点的位置． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵由题意得 ，， ∴ ，即 ， 根据点与圆的位置关系判定规则：当时，点在圆外， ∴点在外． 2．（2026·山东德州·一模）如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．2米 B．10米 C．20米 D．25米 【答案】D 【分析】求出即可得到答案． 【详解】解：当两人在同一条半径上时，， 当两人在同一条直径的两端时，， 故， 慢跑过程中两人的距离不可能是25米． 3．（25-26七年级下·山东泰安·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要判断一个命题是假命题，只需举出满足命题条件，但不满足命题结论的反例即可，本题只需找到满足且的值即可． 【详解】解：∵ 命题“若，则”的反例需要满足条件，同时不满足结论， 当时，，满足条件， 且，不满足结论， ∴ 可以作为该命题是假命题的反例． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）在半径为的中，弦，则弦所对的弧的中点到的距离是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理， 作，连接，根据垂径定理得，再根据勾股定理求出，然后根据可得答案． 【详解】解：如图所示，过点O作，交于点E，交于点C，D，连接， ∴，点C是劣弧的中点，点D是优弧的中点， ∵， 根据勾股定理，得， ∴， 所以弦所对的弧的中点到的距离是或， 故选：D． 5．（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，点在上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，点在上，连接，，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图可得，根据垂径定理可得得出，进而得出，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据作图可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 6．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是直径得到，因此根据角的和差求出，根据三角形的内角和定理求出，即可得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·河南信阳·模拟预测）如图，的半径为2，于点E，，则扇形的面积为（     ） A． B．π C． D．2π 【答案】C 【分析】由题意易得，，然后可得，则有，进而根据扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·安徽芜湖·三模）如图，四边形中，，，若，，则四边形面积的最大值为（     ） A． B．36 C． D．25 【答案】A 【分析】过作交直线于，过作于，以为斜边作等腰直角三角形，过作于，则四边形为平行四边形，得到，根据平行线得到，，即可得到，根据对角对等边得到点、、在以为圆心，为半径的圆上，得到，据此求四边形面积的最大值即可． 【详解】解：如图，过作交直线于，过作于， ∵，， ∴四边形为平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， 以为斜边作等腰直角三角形，过作于， ∵， ∴，， ∵， ∴点、、在以为圆心，为半径的圆上， ∴， ∴， ∴最大值为， ∴四边形面积的最大值为． 二、填空题 9．（25-26九年级上·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，的半径为5，，则点在_____．（填“内”、“上”或“外”） 【答案】内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，即点到圆心距离小于半径在圆内、等于半径在圆上、大于半径在圆外，根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小即可判断. 【详解】解：∵的半径为5，，且， ∴点P在内. 故答案为：内 10．（25-26七年级下·江苏南京·期末）用反证法证明“在中，若，则”时，应提出假设__________． 【答案】 【分析】反证法证明命题时，第一步需要假设命题的结论不成立，因此只需找出原结论的反面，即可得到反证法需要提出的假设． 【详解】解：该命题需要证明的结论为，反证法需假设结论不成立，即不小于， 因此应提出的假设为． 11．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）沈括所著的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长的近似值l的计算公式：，当，时，______． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理． 根据已知条件求得的长，代入即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是弦的中点，在上，， ∴， ∵， ∴在上，， 在中， ∴ ∴ 故答案为：． 12．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为24，观景位与之间的直线距离为13，则这座圆形观景台的半径是______． 【答案】16.9 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的实际应用．由题意可得，，过圆心作交于，交于，连接、，设半径，由垂径定理得到，，结合，得到，，即可求出，再根据列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，， 过圆心作交于，交于，连接、，设半径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 13．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，在中，，，则______． 【答案】 【分析】先由弧、弦、圆心角的关系得，所以，再通过三角形内角和定理可得，最后由圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·北京西城·三模）如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数为________． 【答案】/70度 【详解】解：∵点，，，在上，是的直径，， ∴， ∴， ∴（同弧所对的圆周角相等）. 15．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18，圆心角是的扇形，则这个圆锥的全面积是________ 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长求出底面半径，再分别计算侧面积与底面积，求和得到全面积． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，侧面展开扇形的半径，圆心角为， 由圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，得 解得， 圆锥侧面积为：， 圆锥底面积为：， 因此圆锥的全面积为：． 16．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点A的坐标为，以O点为圆心，以为半径的半圆交轴于点，点为第二象限内半圆上一动点，轴于E点，点F为和的角平分线交点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由题意可得，半径为．根据内心性质得出．设轴负半轴与半圆交点为，通过证明得出，从而确定点的轨迹是以为弦的一段圆弧．求出该圆弧所在圆的圆心和半径，当三点共线时取得最小值． 【详解】点的坐标为， 半圆半径． 半圆交轴于点， ． 设轴负半轴与半圆交点为， 则，． 轴， ． 点为和的角平分线交点， 点为的内心． ． 点在的平分线上， ． 在和中， ． ． 点在以为弦，含圆周角的圆弧上．设该圆弧所在圆的圆心为，半径为． 圆周角为，且点在轴上方， 圆心在轴下方，且． ，为等腰直角三角形， 点的横坐标为，纵坐标为， 即．． 连接， 当三点共线时，取得最小值．． 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 17．（2026·江苏徐州·中考真题）在四边形中，如果，，那么四边形叫作筝形． (1)从角、对角线这两个方面进行研究，写出筝形有别于一般四边形的条特殊性质．（无需证明） (2)如图，已知，为筝形的一组邻边．用三种不同的方法将筝形补全；要求：①用无刻度直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】(1)筝形的对角线互相垂直；筝形有一组对角相等 (2)，， 【分析】（1）连接、，得到，推出，与关于对称，且点与点为对应点，推出； （2）①连接，作，再在射线上截取，连接，则四边形即为所求；②连接，作点关于的对称点，连接、，则四边形即为所求；③分别以、为圆心，、为半径作圆，两圆交于一点，连接、，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：连接、， ，，， ，与关于对称， ，， 故筝形的两条性质为：筝形的对角线互相垂直；筝形有一组对角相等； （2）略 18．（2026·河南平顶山·三模）综合与实践 实践主题 光的反射在半圆中的路径问题 素材背景 如图1，为平面镜，入射光线经平面镜沿方向反射，过点 作 ，叫做法线，叫做入射角， 叫做反射角． 光的反射定理：反射角等于入射角（即 (1)如图2，反向延长得到，若 ，则的度数为__________ (2)如图3，为半圆O的直径，点C在半圆上，P为直径上的调节点．一束光线从C点射向上的P点，经反射后射出，反射光线经过半圆上的D点 连接，判断与之间的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2)， 理由：如解图，过点P作法线，补全，作点C关于的对称点，连接，， ． ∴是线段的垂直平分线， ． 点在上． 由反射定理，可得 ， ． 由对称，可知， ． ． ，P，D三点共线． 设， ， ． 又， ． 【分析】（1）由垂直得到，然后根据反射定律结合对顶角相等即可求解； （2）过点P作法线，补全，作点C关于的对称点，连接，， ，先证明，P，D三点共线．设，则 ，，由圆周角定理可得，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴； （2）略 19．（2026·河南开封·模拟预测）在中国传统园林中，月洞门是一个极具辨识度的造型元素，并逐渐演化成东方特有的美学符号．下面是月洞门及相关示意图，其中曲线部分为圆弧，C为的中点，且弦，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将该圆弧所在圆的圆心记为O，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）连接，由、，可知为等腰直角三角形，得，半径．则圆心角，分别计算：扇形面积、面积，进而即可计算阴影的面积． 【详解】（1）解：略 （2）解：由题意得，（1）中所作垂直平分线与的交点为圆心O， 连接，如图， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 20．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）解答： 【问题提出】 (1)如图1，在中，，，则的外接圆半径的值为______； 【问题探究】 (2)如图2，的半径为，弦，是的中点，是上一动点，求的最大值； 【问题解决】 (3)①如图3所示，，，是某新区的三条规划路，请在图3中用无刻度的直尺和圆规作出所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； ②在（3）①的条件下，已知，，，，新区管委会想在路边建物资总站点，在，路边分别建物资分站点，，也就是，分别在、线段和上选取点，，．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路，和，为了快捷、环保和节约成本，要使得线段，，之和最短，试求的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计） 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)①如图，圆心即为所求； ②的最小值为． 【分析】（1）由等边对等角，结合三角形的内角和定理，可得，根据圆周角定理，可得，结合，可得是等边三角形，从而可得的外接圆半径的值； （2）连接并延长，交于，连接，显然，即为的最大值，根据垂径定理求得的长，即可求得的最大值； （3）①作线段的垂直平分线；在上任取一点，连接，作线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所在圆的圆心；②分别作点关于、的对称点、，连接，，，，，，由对称性可知，根据题意正确画出图形，得到点的位置，根据等边三角形的判定和性质，结合勾股定理进行求解，即可得的最小值． 【详解】（1）解：如图，设的外接圆的圆心为，连接， ，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的外接圆半径的值为． （2）解：如图，连接并延长交于，连接，，， 显然，， ∵，是的中点，， ∴，， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴的最大值为．    （3）解：①略； ② 如图，假设点即为所求点，分别作点关于、的对称点、，连接，，，，，， 由对称性可知， 当且仅当、、、在一条直线上时，， ∴即为最短距离， 如图，作所在圆的圆心连接，与交于，点即为使得最短的点， 取中点记为，连接， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由对称可知，，，，， ∴，， ∴， 作于点，则，， ∴， ∴， ∴的最小值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训川练 第二十九章圆全章综合训练 课时目标 理解并系统杭理圆的概念、性质与计算公式，形成全章知识结构。 掌握垂径定理、圆周角定理等核心定理的综合运用，会完成圆中的计算与证明。 3 能综合运用弧长、扇形面积与圆锥知识解决组合图形问题，提升几何推理与应用能力。 课时目录 知识点01：圆的有关概念与对称性的综合辨析 知识点02：确定圆的条件与三角形外接圆、外心的综合 知识点03：垂径定理及其推论的综合应用 知识点04：圆心角、弧、弦关系的综合应用 知识点05：圆周角定理及推论的综合应用 知识点06：圆内接四边形性质的综合应用 知识点07：圆中角度计算与线段关系的综合证明 知识点08：弧长、扇形面积与阴影面积的综合计算 知识点09：圆锥侧面展开图与圆的综合计算 1/21 【知识点01：圆的有送概念与对称性的综合辨析 核心概念：弦、直径、弧（劣弧、优弧、半圆）、等圆、等弧，辨析时紧扣“同圆或等 圆”等前提。 对称性：圆既是轴对称图形（对称轴是直径所在直线），又是中心对称图形（对称中心是 圆心)，还具有旋转不变性。 易错提醒：直径是对称轴的说法错误；弧相等与弧度数相等不是一回事。 1.(26-27九年级上浙江宁波阶段检测)己知⊙0的半径为3，若A0=4,则点A与⊙0的位置关系是 () A.点A在⊙0内 B.点A在⊙O上 C.点A在⊙0外 D.无法判断 2.(2026云南昆明二模)已知⊙0的半径为6，点A到圆心0的距离为7，则点A与圆的位置关系为 () A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不确定 3.(26-27六年级上·黑龙江大庆·阶段检测)把一个圆平均分成若干等份，可以拼成一个近似的长方形. 这个长方形的长相当于圆的一，宽相当于圆的一 4.(2026贵州一模)如图，已知正方形ABCD,以点A为圆心，以AB为半径作⊙A,则点C在⊙A .(填“外”或“内”) 知识点02：确定圆的条件与三角形外接圆、外心的综合 确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等：锐角三角形外心在内部，直 角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部。 2/21 常结合“外接圆半径=斜边一半”（直角三角形）进行计算。 0 5.(25-26九年级上江西新余阶段检测)如图，已知线段AB,AC,经过点A,B,以AC的长为半径能 画出圆的个数为() B A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 6.(25-26九年级上广东广州期中)已知线段AB=10cm,则经过A,B两点且半径为6cm的圆有() A.0个 B.2个 C.1个 D.无数个 7.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨开学考试)下列语句中正确的有() ①直径是弦；②圆的对称轴是直径：③三角形的外心到三角形各边的距离相等：④平分弦的直径垂直 于弦并且平分弦所对的两条弧；⑤在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.(26-27九年级上江苏南京阶段检测)如图，在平面直角坐标系0中，点4,4)，B(3,4),C5,2) 则△ABC的外接圆的半径为」 5 4 A 3 2 0123456x 知识点03：垂径定理及其推论的综合应用 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并平分弦所对的两条弧：推论：平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦。 3/21 基本图形：半径r、弦心距d、半弦a/2构成直角三角形， 综合题型常与方程、实际问题结合，注意两平行弦距离需分同侧、异侧讨论。 C D 9.(26-27九年级上·浙江宁波阶段检测)如图，圆弧形桥拱的跨度AB=24m,拱高CD=8m.则拱桥的 半径为() B A.12m B.13m C.14m D.11m 10.(26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测)如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的直径 为l0cm,瓶内液体的最大深度CD为2cm,则截面圆中弦AB的长为 11.(26-27九年级上：浙江宁波开学考试)在⊙0中，弦AB=9,∠AOB=120°，则⊙0的半径为 12.(26-27九年级上浙江宁波开学考试)如图，⊙0的直径AB=10,P是上半圆(A,B除外)上任 一点，∠APB的平分线交OO于C,弦EF过AC,BC的中点M,N,则EF的长是 4/21 D 知识点04：圆心角.弧。、孩关系的综合应用 在同圆或等圆中：圆心角相等台弧相等台弦相等，知一组相等可推其余各组相等。 用于证明时先确认“同圆或等圆”前提，再选择转化方向（证弦等转证角等或弧等）。 常与全等三角形、等腰三角形结合，注意规范书写推理依据。 A B D 13.（2627九车年级上浙江杭州开学考试)在O0中，弦4B等于圆半径'的2倍，即MB=V2r 则该弦 所对的弧的度数为 。 14.(26:27九年级上河北石家庄阶段检测)如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是4W 的中点， 点P是直径MN上一个动点，⊙0的半径为1，则AP+BP的最小值为 M 15.(26-27九年级上江苏苏州阶段检测)如图，在RIAABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,以点 C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D. 5/21 (1)若∠B=29°，则AD的度数为-： (②)若点P是线段AB上的动点，则线段CP的长度取值范围是_： 3)求AD的长 16.(2026甘肃兰州中考真题)问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州 广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前 到了齐家文化时期.圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术 的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题.如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周」 图1 图2 图3 ()问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定 了圆心O,她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周.请你在图3中按以下步骤用带直角的 尺子完成四等分圆周： ①作⊙O的任意直径AB: ②过点O作AB的垂线，与⊙0相交于C,D两点，则点A,B,C,D将⊙O四等分.说明四等分 圆周的依据： (2)拓展探究：小华在(1)的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规 在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成， 知识点05：圆周角定理及推论的综合应用 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆 6/21 周角所对的弦是直径。 辅助线口诀：见直径想直角，见直角连直径：角度计算中常与三角形内角和、外角性质联 用。 A B 0 C 17。(26-27九年级上江苏南京期中)△1BC内接于O0,BC是O0的直径，点P是B的中点，连接 AP,若∠BAP=30°，BC=8,则AC的长为 B 18。（2627九年级上江苏盐藏阶受检测)如图，点0为△18C的外心.4C=45.BC=5, 0 ,直线 OP1AB.与边 AB AC PQOB⊥OC PO 、 分别交于点、， ,则线段长为一 19.(26-27九年级上江苏泰州期中)如图，以△ABC的边AC为直径作O0,点B在⊙0上，点D为 O0上一点，连接BD,且B为D的中点，BE14C于点Z,连接CD交BE于点R CD 7/21 B E (I)求证：BF=CF, 2)若AB=4,BD=2，,求BE的长， 20.(26-27九年级上江苏盐城阶段检测)【特例感知】 D A 4 DH B 图1 图2 图3 I)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，AC=4,BC=3,则CD的长为 【一般推理】 (2)问题提出：如图2，△ABC中，CD为AB边上的中线，AC=b,BC=a,AB=c,求CD的值. (用a,b,c的代数式表示) 小林尝试解答此问题，部分过程如下： 解：过图2中的点C作CH⊥AB于点H,在RtAAHC中，AC2=AH+CH, 同理可得：CD=DH+CH,BC=BH+CH,而4D=BD=2C,设DH=x,CH=y,则 AC2+BC2=AH2+CH2+BH2+CH2 请你完成小林剩余的解答过程： 【尝试应用】请用一般推理中的结论，解答下面问题 3)△ABC中，CD为AB边上的中线，AC=15,BC=13,AB=14,求CD的长为—， ④)如图3，⊙0的半径为8，OA=6,点B和点C在⊙0上，∠CAB=90°，点D、P分别为OA、BC 8/21 的中点，求PD的长 (5)已知△ABC中，∠A=45°，BC=2,直接写出AB2+AC2的最大值. 知识点06：圆内接四边形性质的综合应里 性质：圆内接四边形的对角互补；任一外角等于它的内对角。 综合：与圆周角定理结合实现角的转移；出现对角互补可判定四点共圆、构造辅助圆。 典型步骤：找弧→找角→用互补或外角性质列方程求解。 21.(25-26九年级上新疆鸟鲁木齐阶段检测)如图，四边形ABCD内接于O0,BC是直径，连接AC、 若0C=150,点0到4C的距腐为25.则00， 的半径长为() A.2 B.6 C.4 D.8 22.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)如图，△ABC是圆内接三角形，AB=AC,点E是AB上一点， 将△BCE沿BC翻折，点B的对应点B恰好在圆周上，若BB⊥AC于点G,AB=V5,则BE的值为 B E B 23.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨开学考试)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O直 径，点E为半径OB上一点，连接CE并延长交圆O于点F,连接BF,若∠D=115°，则∠CFB的度 数为 9/21 0 E B 24.(26-27九年级上辽宁盘锦阶段检测)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AC平分∠BAD,延长DC 交AB的延长线于点E.若AC=EC,求证：AD=BE. B D 知识点07：圆中角度计算与线段送系的综合证明 角度计算主线：圆心角→弧→圆周角之间的转化，配合等腰三角形（半径相等）与四边形 对角互补。 线段证明主线：证线段相等常转化为证弦所对的弧或圆心角相等，或利用垂径定理的平分 结论。 证明书写要交代“同圆或等圆”前提，辅助线（连半径、作弦心距、连直径）要说明作 法。 25.(26-27九年级上浙江宁波·阶段检测)图①，图②均是正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点 A,B,C均在格点上，仅用无刻度直尺，在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）· B B A 2 -7-6-5-4-3-2-10 12 -7-6-5-4-3-2-10 图① 图② (1)如图①，已知 经过点B,画出AC AC 所在圆的圆心P,并写出它的坐标 AC (2)直接写出 的长度= 10/21 3)在图②中找格点D(不与C重合)，使∠ADB=∠ACB,(找出一个符合条件的格点即可)并写出 它的坐标 26.(26-27九年级上江苏盐城阶段检测)如图，线段AB是⊙0的直径，弦DC1AB,∠D=50°，求 ∠BAC CD 的度数. B 27.(26-27九年级上湖南长沙阶段检测)如图，在O0中，弦AB的中点为点C,连接A0、C0,并分 别延长它们与⊙0相交于点D、E. (I)若∠A=26°，求∠ABE的大小 (2)若AB=CE=8,求BD的长. 28 ,(26-27九年级上浙江宁波阶段检测)【问题呈现】阿基米德折弦定理： 如图1，MB和BC是O0的两条弦（即折线1BC是圆的一条折弦），BC>MB,点M是MBC 的中点， 则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA.下面是运用“截长法”证明 CD=DB+BA的部分证明过程， M M O D B D D G C A M 图1 图2 图3 图4 11/21 证明：如图2，在CD上截取CG=AB,连接MA、MB、MC和MG :M是MBC 的中点， .MA=MC①， 又：∠A=∠C, :AMAB≌AMCG②， ∴.MB=MG 又'MD⊥BC, ..BD=DG :AB+BD=CG+DG, 即CD=DB+BA (1)根据证明过程，分别写出下列步骤的理由： ① ② ②【理解运用】如图1,4HB、BC是O0的两条弦，MB=4,BC=6,点M ABC的中点， MD⊥BC于点D,则BD= 6)【变式探究】如图3，若点M是C的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判 CD DB BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明。 (4)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，BC是O0的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足∠DAC=45°，若AB=6」 ⊙0的半径为5，求AD长， 知识点08：弧长、扇形面积与阴影面积的综合计篁 S=nr2h 公式：弧长180；扇形面积°3602。 弓形面积=扇形面积±三角形面积：阴影面积用规则图形的和差、割补、等积转化求解。 关键：求出圆心角的度数与半径，结果保留兀，注意长度与面积单位。 29.(2026广东广州·三模)将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与 量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点.若OA=6厘米，则 12/21 AB 的长度为厘米.（结果保留”） 65g070n 01i0100 301 40 40 B 30.(2026辽宁铁岭模拟预测)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，点E在 AB OC,CE,∠DCB=2∠ABC 的延长线上，连接 D D B 图① 图② (1)如图①，求证：AD∥OC: (2)如图②，若 ·纪 BC=BE=4,AE=3BE 的长 31.(2026黑龙江齐齐哈尔·一模)如图，△ABC内接于O0,连接OC,OC平分∠ACB,点D在弧BC 上，过点B作BE⊥CD,交CD的延长线于点E,∠ACB=2∠BCD A O. D E (1)求证：BE是OO的切线： (2)若AC‖BE,DE=1,求阴影部分的面积. 32.(26-27九年级上·浙江杭州阶段检测)如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为12cm的圆形 13/21 卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为0°的扇形作为装饰部件. (1)求裁剪得到的扇形装饰部件的半径： (2)求裁剪后剩下废料的面积. 知识点09：圆锥侧面展开图与圆的综合计算 核心等式：展开图扇形弧长=底面圆周长2，扇形半径=母线1，且=+2。 360r n= 公式：S侧=l,S全=和l十2=（十r)。,扇形圆心角 1。 综合题常与弧长、扇形面积公式互推，或由展开图逆向求圆锥元素，抓住等量关系列方 程。 33.(2025·安徽蚌埠·二模)若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是( ) A.60° B.90° C.120° D.150° 34.(2025·云南曲靖·二模)某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）·己知装饰 部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为(）) A.5π平方厘米 B.15π平方厘米 C.30m平方厘米 D.45π平方厘米 35.(2026广东广州二模)在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=3.若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转 一周，得到一个圆锥，这个圆锥侧面展开所得扇形的弧长等于 36.(2025广东梅州一模)综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带 14/21 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为"的圆锥侧面展开，可得到一个半径为人、圆心角为°的扇形.制 作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料. 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽. 【实践探索】在制作好的生日帽中，AB=8cm,1=&cm,C是PB的中点，现要从点A到点C再到点 A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值， B 图1 图2 全章训练 一、选择题 1.(2026云南保山一模)已知⊙0的半径为7cm.若点P到圆心O的距离为10cm,则() A.点P在⊙O上B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O外 D.无法判断 2.(2026山东德州一模)如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练， 已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是() A.2米 B.10米 C.20米 D.25米 3.(25-26七年级下山东泰安期中)下列选项中，可以用来说明命题“若x>4,则x>2”是假命题的 反例是() A.x=4 B.x=-1 C.x=2 D.x=-4 15/21 4.(25-26九年级上：浙江杭州：阶段检测)在半径为25cm的⊙0中，弦AB=40cm,则弦AB所对的弧的 中点到AB的距离是() A.10cm B.15cm C.15cm或25cm D.10cm或40cm 5.(2026湖北襄阳二模)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，∠B0C=50°，以点C为圆心，CB 长为半径作弧交AB于点D,再分别以B,D为圆心，大于2BD长为半径作弧，两弧交于点E,连接 CE并延长交o0于点F,点P在MC上，连接P1,PF,则2P的度数为() A.50° B.55° C.65° D.75° 6.(2026甘肃天水中考真题)如图，△ABC内接于⊙0，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点P.若 ∠ABC=60°，∠ACB=50°，则∠BPC=() B A.95° B.100° C.105 D.110° 7.(2026河南信阳模拟预测)如图， 的半径为2,0M1CD于点&，E=2- ⊙0 BOD 2,则扇形的 面积为() H D 16/21 π A.2 B.元 c.2 D.2π 8.(2026安徽芜湖·三模)如图，四边形ABCD中，AB=AC=6,∠BAC=90°，若∠BDC=45°， AE∥CD,则四边形AECD面积的最大值为() A D B A.9+92 B.36 C.18-9V2 D.25 二、填空题 9.(25-26九年级上山东临沂·期末)在平面直角坐标系xOy中，⊙0的半径为5，OP=4,则点P在⊙0 一·（填“内”、“上”或“外”） 10.(25-26七年级下·江苏南京·期末)用反证法证明“在△ABC中，若AB>AC,则∠B<∠C”时，应提 出假设 11.(25-26九年级上：湖北武汉·期末)沈括所著的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了 计算圆弧长度的“会圆术”，如图， B是以O为圆心，OA长为半径的圆弧，C是弦MB的中点，D A 在上·cD1B,“会圆术”给出元的长的近似值1的计算公式：1=B+CD A,当0A=2 CD=2-5时，1=一 B 0 12.(25-26九年级上浙江宁波期末)如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了A,B，C,D 17/21 四个观景位.己知观景台边缘AB=2CD,观景位A与B之间的直线距离为24，观景位C与D之间的 直线距离为13，则这座圆形观景台的半径是 D B 13.(2026黑龙江绥化中考真题)如图，在O0中，B=AC,∠4BC=70°，则∠B0C B 14.(2026北京西城三模)如图，点A,B,C,D在⊙0上，AC是⊙0的直径，∠BAC=20°，则 ∠D的度数为 D B 15.(2026黑龙江齐齐哈尔·三模)若一个圆锥的侧面展开图是半径为18，圆心角是180°的扇形，则这个 圆锥的全面积是 16.(26-27九年级上江苏宿迁阶段检测)如图，点A的坐标 2,0),以0点为圆心，以01为半径的半 圆交y轴于点B,点D为第二象限内半圆上一动点，DE1x轴于E点，点F为∠EDO和∠EOD的角 平分线交点，则BF的最小值为一· 18/21 y B A 三、解答题 17.(2026江苏徐州中考真题)在四边形ABCD中，如果AB=AD,CB=CD,那么四边形ABCD叫作 筝形 (1)从角、对角线这两个方面进行研究，写出筝形有别于一般四边形的2条特殊性质.（无需证明） (2)如图，已知AB,BC为筝形ABCD的一组邻边.用三种不同的方法将筝形ABCD补全；要求：① 用无刻度直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明 D B 18. (2026河南平顶山三模)综合与实践 实践主题 光的反射在半圆中的路径问题 如图1，MN为平面镜，入射光线AB经平面镜沿BC方向反射，过 点B作DE⊥MN，DE叫做法线，∠ABD叫做入射角，∠CBD 叫做反射角 光的反射定理：反射角等于入射角（即∠CBD=∠ABD) D 素材背景 B FE 图1 图2 19/21 (I)如图2，反向延长CB得到BF,若∠ABM=70°，则∠FBM的度数为 (2)如图3，AB为半圆O的直径，点C在半圆上，P为直径AB上的调节点.一束光线从C点射向AB 上的P点，经AB反射后射出，反射光线经过半圆上的D点 D 图3 连接OC,OD,判断∠COD与∠CPD之间的数量关系，并说明理由 19.(2026·河南开封模拟预测)在中国传统园林中，月洞门是一个极具辨识度的造型元素，并逐渐演化 AB 成东方特有的美学符号.下面是月洞门及相关示意图，其中曲线部分为圆弧，C为”的中点，且 CD⊥弦AB,连接AC, D 图1 图2 1)请用无刻度的直尺和圆规作AC的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； ②)将该圆弧所在圆的圆心记为O,若1D=OD=V2 求阴影部分的面积. 20.(26-27九年级上江苏连云港阶段检测)解答： O. B 图1 图2 图3 【问题提出】 (I)如图1，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=10,则△ABC的外接圆半径R的值为一： 【问题探究】 20121 2)如图2，O0的半径为10，弦AB=16,M是AB的中点，P是⊙0上一动点，求PM的最大值： 【问题解决】 60如图3所示，B,1C,BC是某新区的三条规划路，访在图3中用无刻度的直尺和向规作出 BC 所在圆的圆心0（保留作图痕迹，不写作法）： ②在(3)①的条件下，己知AB=12km,∠BAC=60°，∠BCA=90°，∠B0C=60°，新区管委会想 B C 在 C路边建物资总站点P,在4B,AC路边分别建物资分站点B,F,也就是，分别在 、线段 AB和AC上选取点P,E,F.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按 P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE,EF和FP,为了快捷、 环保和节约成本，要使得线段PE,EF,FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值.（各物资站点 与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计) 21/21