精品解析：湖北襄阳市南漳县部分学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级数学第一次月考试题 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 1或 3. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的方程（k为实数）的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与k的值有关 5. 有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ） A. 14 B. 11 C. 10 D. 9 6. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 7. 某校“研学”活动小组在一次野外实践中，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 将一元二次方程化成一般形式，可得______． 12. 写出一个图象开口向上，且经过点的二次函数的解析式______． 13. 在某元宇宙平台举办的行业峰会上，每位参会者都通过VR设备与其他所有参会者进行了一次击拳致意，若系统后台显示共有15次击拳记录，则参加这次会议的人数是___________． 14. 一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是_____米． 15. 已知关于x的方程的两根是一个矩形两条邻边的长，那么当______时，矩形的对角线长为． 三、计算题：本大题共9小题，共75分． 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实数根满足，求k的值． 18. 如图，二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴交于点，，根据图象回答下列问题： （1）写出方程的根______． （2）写出方程的根______． （3）写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围______． （4）不等式的解集为______． （5）若方程有实数根，写出实数k的取值范围______． 19. 随着电商的火爆，某小区新建菜鸟驿站9月份每日平均接收快递64件，11月份该菜鸟驿站每日平均接收快递恰好达到100件，预计10、11、12月每个月内日均接收快递件数的增长率不变． （1）求每个月内日均接收快递件数的增长率； （2）请根据月平均增长率预测12月份日均接收快递数量． 20. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，抛物线的顶点为． （1）求点，，的坐标； （2）是该二次函数图象上一动点，当的面积为时，求出所有符合条件的点的坐标． 21. 新定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根且其中一个实数根等于另一个实数根的3倍，则称这个一元二次方程为三倍友方程．例如方程：两根为1、3，则这个方程是三倍友方程． （1）判断一元二次方程是否为三倍友方程，并说明理由； （2）若方程是三倍友方程，求q的值； （3）若关于x的一元二次方程是三倍友方程，求a，b满足的关系式． 22. 如图，用一段80米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，左右两个长方形都有一个1米的门通往中间长方形，中间的长方形有一个1米的门通往外面，墙的最大可用长度为50米． （1）如果羊圈的总面积为345平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为480平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 23. 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为16元，当每件销售价格定为18元时，每天可以销售200件．市场调查反映：每件销售价格每提高1元，日销量将会减少10件．物价部门规定：每件销售价格不能超过25元，设该纪念品的每件销售价格为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）要使日销售利润为720元，每件销售价格应定为多少元？ （3）求日销售利润w（元）与每件销售价格x（元）之间的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 24. 如图，抛物线与x轴相交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接，与抛物线的对称轴交于点E． （1）求抛物线的解析式和点D的坐标． （2）点P为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形？ （3）若点F是第一象限抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值及点F的坐标？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一次月考试题 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、该方程是二元二次方程，不符合题意； B、该方程是一元二次方程，符合题意； C、该方程是二元二次方程，不符合题意； D、该方程是分式方程，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0，这是做题容易忽视的条件． 2. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，将代入方程求解m的值，并结合一元二次方程的定义排除不符合条件的解即可． 【详解】解：将代入方程， 得：，即， 解得， 方程为一元二次方程， 二次项系数，即， ， 故选A． 3. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 4. 关于x的方程（k为实数）的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与k的值有关 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式，求出的值即可判定根的情况． 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根是解答此题的关键． 【详解】因为， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5. 有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ） A. 14 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得，然后求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得： ， 解得：（舍去）， 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 6. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”进行变换．本题考查抛物线平移的规律，掌握“左加右减，上加下减”是关键． 【详解】解：原抛物线为． ∵向左平移2个单位， ∴，得． ∵向上平移3个单位， ∴整体加3，得． ∴得到的抛物线是． 故选：C． 7. 某校“研学”活动小组在一次野外实践中，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故选：B． 8. 一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数图象综合判断，熟知一次函数、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 分别根据二次函数的性质和一次函数的性质求出对应的a、b及交点，看是否一致即可． 【详解】解：当时，一次函数图象过第一、三象限，二次函数图象开口向上，故C、D错误，不符合题意； 当，时，一次函数图象过第一、三、四象限，图象开口向上， 令时，， ∴， ∴可得一次函数过， 将代入中可得， 故两函数图象均过，交点在正半轴上，故B错误，不符合题意； 当，时，一次函数图象过第一、二、三象限，图象开口向上， 对称轴为直线，在y轴左侧，同理，两函数图象均过，交点在负半轴上，A正确，符合题意， 故选：A． 9. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象和性质． 根据解析式确定对称轴和抛物线的增减性，利用点到对称轴的距离确定函数值的大小即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴距离对称轴越远的点的纵坐标越大， ∵到对称轴的距离为； 到对称轴的距离为； 到对称轴的距离为； ∴， 故选：C． 10. 如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得出，由对称轴的位置得出，由抛物线与轴交点的位置得出，即可判断①；由，即可判断②；由抛物线经过点，且开口向上，即可判断③；由，，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴大于且小于， ∴， ∴， ∴， ∴①错误； ∵，， ∴， ∴， ∴②错误； ∵抛物线经过点，且开口向上， ∴当时，， ∴当时，， ∴③正确； ∵抛物线经过点， ∴， 又∵， ∴，即， ∴④正确； 综上：正确的结论有2个． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 将一元二次方程化成一般形式，可得______． 【答案】 【解析】 【分析】先展开原方程的乘积项，再移项合并同类项，即可得到一元二次方程的一般形式． 【详解】解：∵原方程为 展开左侧乘积项，得 将右侧常数项移到左侧，得 合并同类项，得 12. 写出一个图象开口向上，且经过点的二次函数的解析式______． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】二次函数开口向上，则二次项系数为正数，图象经过点，代入解析式可得常数项为，选取符合要求的系数即可得到对应解析式． 【详解】解：设二次函数解析式为，， 二次函数图象开口向上， ，取，， 则解析式化为， 函数图象经过点， 将，代入解析式， 得， 符合要求的一个二次函数解析式为． 13. 在某元宇宙平台举办的行业峰会上，每位参会者都通过VR设备与其他所有参会者进行了一次击拳致意，若系统后台显示共有15次击拳记录，则参加这次会议的人数是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设参加这次会议的人数是x人，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设参加这次会议的人数是x人，根据题意得： ， 解得：， 答：参加这次会议的人数是6人． 故答案为：6 14. 一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是_____米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，理解铅球落到地面时运行的水平距离为10米的意义，代入求值是解题的关键． 根据题意把点代入计算得二次函数解析式，再根据二次函数与y轴交点的计算方法即可求解． 【详解】解：铅球落到地面时运行的水平距离为10米时，即，代入计算得， ， 解得，， ∴函数解析式为， 当时，， ∴铅球刚出手时离地面的高度是米， 故答案为： ． 15. 已知关于x的方程的两根是一个矩形两条邻边的长，那么当______时，矩形的对角线长为． 【答案】 2 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得出，，由勾股定理得出，得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设此方程两根分别是、，那么， ，， ∵矩形的对角线为， ∴， ∴， 即， 解得或， ∵方程的两根是矩形两邻边的长， ∴方程有两个正实数根，即且，， 即， 解得， ∴． 三、计算题：本大题共9小题，共75分． 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， 解得：，． 17. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实数根满足，求k的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根可表示出判别式，即可求出k的取值范围； （2）由根与系数的关系求得，，进而得到，结合k的取值范围解方程即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴， 解得：，， 又∵， ∴． 18. 如图，二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴交于点，，根据图象回答下列问题： （1）写出方程的根______． （2）写出方程的根______． （3）写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围______． （4）不等式的解集为______． （5）若方程有实数根，写出实数k的取值范围______． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 （5） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与轴的交点的横坐标就是二次方程的两个实数根，可直接得结论； （2）根据抛物线的顶点坐标结合图象得结论； （3）根据A、的坐标，确定对称轴方程，结合图象得结论； （4）观察图象，在轴上方的部分总大于等于0 ； （5）利用待定系数法先确定的值，根据根的判别式得不等式，解不等式得结论． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于， ∴的根为：． 【小问2详解】 解：二次函数的图象的顶点C的坐标为， ∴方程的根为； 【小问3详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于， ∴该图象的对称轴为直线， ∵图象开口向上， ∴当时，随的增大而减小， 即随的增大而减小时． 【小问4详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于， 观察图象可知：当或时，图象总在轴的上方． ∴不等式的解集为：或． 【小问5详解】 解：抛物线的顶点的坐标为，且过， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． ∵方程有实数根， 即有实数根． ， ， 即当时，方程有实数根． 19. 随着电商的火爆，某小区新建菜鸟驿站9月份每日平均接收快递64件，11月份该菜鸟驿站每日平均接收快递恰好达到100件，预计10、11、12月每个月内日均接收快递件数的增长率不变． （1）求每个月内日均接收快递件数的增长率； （2）请根据月平均增长率预测12月份日均接收快递数量． 【答案】（1）每个月中日均接收快递件数量的增长率为25% （2）预测12月份日均接收快递件数为125件 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设每个月中日均接收快递件数的增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）利用11月的快递量乘以（1）中所求得的增长率，即可求出增长量，问题随之得解． 【小问1详解】 设每个月中日均接收快递件数的增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：每个月中日均接收快递件数量的增长率为25%； 【小问2详解】 根据题意得：（件）． 答：预测12月份日均接收快递件数为125件． 20. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，抛物线的顶点为． （1）求点，，的坐标； （2）是该二次函数图象上一动点，当的面积为时，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1），， （2）所有符合条件的点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）令，求得、，由顶点式可求得点的坐标； （2）设点的坐标为， 由的面积为得到，列式计算即可得解． 【小问1详解】 解：对于， 令， 即， 解得或， ∴，， 顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设点的坐标为， 当的面积为时，有， 即， 整理得， 即或 ， 解得或， ∴所有符合条件的点的坐标为或． 21. 新定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根且其中一个实数根等于另一个实数根的3倍，则称这个一元二次方程为三倍友方程．例如方程：两根为1、3，则这个方程是三倍友方程． （1）判断一元二次方程是否为三倍友方程，并说明理由； （2）若方程是三倍友方程，求q的值； （3）若关于x的一元二次方程是三倍友方程，求a，b满足的关系式． 【答案】（1）解：该一元二次方程不是三倍友方程； 理由：解方程得，， ∵不存在一个根是另一个根的3倍， ∴该方程不是三倍友方程． （2）的值为或 （3），满足的关系式为 【解析】 【分析】（1）根据“三倍友方程”的定义进行判断即可； （2）先解方程得出，，然后分两种情况求出结果即可； （3）设一元二次方程的两个根为和，原方程可以改写为，展开并对比系数即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由方程得： 或， 解得：，， 当时，解得：； 当时，解得：； 综上，的值为或； 【小问3详解】 解：由题意，设一元二次方程的两个根为和， ∴原方程可以改写为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，满足的关系式为． 22. 如图，用一段80米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，左右两个长方形都有一个1米的门通往中间长方形，中间的长方形有一个1米的门通往外面，墙的最大可用长度为50米． （1）如果羊圈的总面积为345平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为480平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）边AB的长为15米； （2）羊圈的总面积不能为480平方米．理由如下： 设边的长为x，依题意得： 整理得： ∴此方程无解，故羊圈的总面积不能为480平方米． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键． （1）设边AB的长为x，则米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可获得答案； （2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案． 【小问1详解】 设边的长为x，依题意得： 整理得： 解得：，， 当时，，不合题意 答：边的长为15米； 【小问2详解】 略 23. 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为16元，当每件销售价格定为18元时，每天可以销售200件．市场调查反映：每件销售价格每提高1元，日销量将会减少10件．物价部门规定：每件销售价格不能超过25元，设该纪念品的每件销售价格为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）要使日销售利润为720元，每件销售价格应定为多少元？ （3）求日销售利润w（元）与每件销售价格x（元）之间的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）（） （2）每件销售价格应定为20元 （3）函数关系式为（）；当时，日销售利润最大，最大利润为1170元 【解析】 【分析】（1）根据日销量随售价的变化规律列等式，化简得到一次函数关系式； （2）根据日销售利润的计算方法列一元二次方程，结合售价上限筛选符合条件的解； （3）先推导利润关于售价的二次函数关系式，再结合二次函数的增减性与自变量取值范围求最大值． 【小问1详解】 解：， 由题意知，每件销售价格不低于18元，不超过25元， ， （）； 【小问2详解】 解：由题意知，， 整理得， 解得，， ， ，即每件销售价格应定为20元； 【小问3详解】 解：由题意知，， 整理得，， 二次项系数，， 时，取最大值，最大值为：， 即时，日销售利润最大，最大利润为1170元． 24. 如图，抛物线与x轴相交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接，与抛物线的对称轴交于点E． （1）求抛物线的解析式和点D的坐标． （2）点P为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形？ （3）若点F是第一象限抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值及点F的坐标？ 【答案】（1）抛物线解析式为，顶点D的坐标为 （2）线段的长为，当时，四边形为平行四边形 （3）的面积最大值为，此时点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质求出顶点D的坐标． （2）先求出点的坐标，抛物线的对称轴，再求出直线的函数关系式，表示出点、点、点的坐标，再由平行四边形的判定定理得，即可得的值． （3）过点作轴，交线段于点，设，则， 表示出，则，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过、， ∴， 解得：，， ∴抛物线解析式为 ， ∴顶点D的坐标为； 【小问2详解】 解：在中，对称轴为直线， 当时，， ∴， 设直线的函数关系式为， ， ， 解得， ， ∴直线的函数关系式为， ， 在中，当时，， ， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ， ， ∴当时，四边形为平行四边形， ， ， 答：线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【小问3详解】 解：过点作轴，交线段于点， 设，则， ∴， ∴， ∵二次项系数， ∴二次函数的开口向下， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时点的坐标为：， 故的面积最大值为，此时点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $