精品解析：湖北省襄阳市南漳县南漳二中教联体2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025年12月九年级阶段性测试数学试题 一．选择题（共10小题） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 4 2. 下列图形是几家通讯公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线l与直线a，b相交，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. “明天降雨的概率为”表示明天有半天时间都在降雨 B. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止运动后，6点朝上是必然事件 C. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是，，则甲的射击成绩比较稳定 D. 了解全国中学生的视力情况应采用全面调查 6. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 7. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 小小气球也蕴含着大学问，已知某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数．其图象如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 与之间的关系式为 B. 当时， C. 当越来越大时，也越来越大 D. 当时， 9. 如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为则下列结论：④关于x的方程无实根．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（共5小题） 11. 2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为______． 12. 写出一个大于的无理数______ 13. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“荆楚文化”的概率是_______． 14. 计算的结果是______． 15. 如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转．得到，连接，并延长交于点D，则_____°，的长为_______． 三．解答题（共5小题） 16. 计算：． 17. 如图，点E在的边上，且，过点A作，．求证： 18. 如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出当时，对应的x的取值范围． 19. 为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了40名男生引体向上项目的某月测试成绩（引体向上个数）． 【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如下统计图． 【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如表：根据信息，解答下列问题： 平均数 中位数 众数 5.8 a b （1）_____，_______； （2）补全条形统计图； （3）如果规定男生引体向上6个及6个以上，该项目成绩良好，若该校八年级有男生500人，估计该校男生该项目成绩良好的约有_______人； （4）从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 20. 如图，是菱形的一条对角线，延长，，分别至点E和点F，且使，，连接，，．求证：四边形是矩形． 21. 如图，已知是的直径，点C、D在上，点E在外，． （1）请说明是的切线； （2）若时，求劣弧的长和阴影部分的面积． 22. 某校开展“阳光体育”活动，如图①是学生在操场玩跳长绳游戏的场景，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，如图②所示是以点为原点建立的平面直角坐标系（甲位于点处，乙位于轴的处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点、点，且的水平距离为米，他们到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为米． （1）请求出该抛物线的解析式； （2）跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，求小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方； （3）经测定，多人跳长绳时，参与者同方向站立时的脚跟之间距离不小于米时才能安全起跳，小明与其他位同学一起跳绳，如果这名同学与小明身高相同，通过计算说明他们是否可以安全起跳？ 23. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长． （1）【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； （2）【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 24. 综合与探究 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且与y轴交于点，点D是直线上方抛物线上的点． （1）求二次函数的解析式； （2）点E是y轴上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求点E的坐标； （3）当时，在x轴上存在一点F，连接、， 求的最小值，此时点F的坐标是多少． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年12月九年级阶段性测试数学试题 一．选择题（共10小题） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义．根据相反数的定义，一个数的相反数是符号不同的数，解答即可． 【详解】解：∵ 相反数的定义是：数的相反数为， ∴ ， ∴的相反数是， 故选：B． 2. 下列图形是几家通讯公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误； C．是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确； D．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误． 故选C． 【点睛】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的除法以及减法，幂的乘方以及同底数幂的乘法，根据二次根式的除法法则以及减法法则，幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则一一计算判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，故该选项不符合题意； B． ，原计算错误，故该选项不符合题意； C．，原计算正确，故该选项符合题意； D．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，直线l与直线a，b相交，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先由两直线平行，同位角相等得到，再由平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. “明天降雨的概率为”表示明天有半天时间都在降雨 B. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止运动后，6点朝上是必然事件 C. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是，，则甲的射击成绩比较稳定 D. 了解全国中学生的视力情况应采用全面调查 【答案】C 【解析】 【分析】利用事件的分类、普查和抽样调查的特点、概率的意义以及方差的性质即可作出判断．本题考查方差；全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：A．“明天降雨的概率为”，表示明天有可能降雨，原说法错误，故该选项不符合题意； B．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是随机事件，原说法错误，故该选项不符合题意； C．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是，，则甲的射击成绩比较稳定，说法正确，故该选项符合题意； D．了解全国中学生的视力情况应采用抽样调查，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 6. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 7. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的运算法则是解本题的关键．先解不等式，再根据解集在数轴上表示的方法即可得出答案． 【详解】解：，解得， 在数轴上表示不等式的解集为： ． 故选：B． 8. 小小气球也蕴含着大学问，已知某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数．其图象如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 与之间的关系式为 B. 当时， C. 当越来越大时，也越来越大 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，反比例函数图象的性质， 先根据图象经过点求出关系式，判断A；再将代入关系式可判断B；观察图象结合反比例函数图象的性质解答C；最后求出当时，，结合图像的性质解答D即可． 【详解】解：设反比例函数的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴反比例函数的关系式为； 当时，； 根据图象可知，当越来越大时，p也越来越小； 当时，， 观察图象可知， 当时，， 所以A，B正确，C不正确，D正确． 故选：C． 9. 如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键．由圆周角定理得到，由直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可求得答案． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， 由题意得，为的平分线， ． 故选：． 10. 已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为则下列结论：④关于x的方程无实根．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键．根据二次函数的图象和性质逐个判断求解即可． 【详解】解：∵对称轴是直线， ∴，即， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴， 即，故②正确； ∵当时，， ∴， 即，故③错误； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的最大值为n， ∴关于x的方程无实根，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，故C正确． 故选：C． 二、填空题（共5小题） 11. 2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较小的数的方法，掌握科学记数法表示的方法是解题的关键． 根据“科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．”解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 写出一个大于的无理数______ 【答案】π（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，实数的比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．根据正数大于负数，只需写出一个大于0的正无理数即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“荆楚文化”的概率是_______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．直接利用概率公式可得答案． 【详解】解：∵共有四种区域文化，随机选一种文化开展专题学习，随机选一种文化开展专题学习， ∴则选中“荆楚文化”的概率是， 故答案为：． 14. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的加减运算，先通分，再计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 15. 如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转．得到，连接，并延长交于点D，则_____°，的长为_______． 【答案】 ①. 45 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、解直角三角形、相似三角形的判断与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过点作交的延长线于点E，由旋转的性质可得是等腰直角三角形，则；再证明，根据相似三角形的性质列比例式可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点作交的延长线于点E， ∵将绕点C逆时针旋转．得到，连接，并延长交于点D， ∴，，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴．． 故答案为∶ 45，． 三．解答题（共5小题） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先化简二次根式，绝对值，乘方，零指数幂，然后合并即可，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】 ． 17. 如图，点E在的边上，且，过点A作，．求证： 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，利用“角角边”证明，由全等三角形的性质即可获得答案． 【详解】略 18. 如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出当时，对应的x的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象， （1）反比例函数的图象过点得，即可得反比例函数为，根据反比例函数的图象过点得，则，根据直线过点，得，进行计算即可得； （2）令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D，在中，令，则，令，即，令，则，计算得，即，根据进行计算即可得； （3）观察函数图象即可得； 掌握反比例函数的性质，一次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式； 【小问2详解】 解：如图所示，令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D， 在中，令，则，令，即， 令，则， ， 即， ∴ ； 【小问3详解】 解：根据函数图象得，当时，或． 19. 为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了40名男生引体向上项目的某月测试成绩（引体向上个数）． 【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如下统计图． 【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如表：根据信息，解答下列问题： 平均数 中位数 众数 5.8 a b （1）_____，_______； （2）补全条形统计图； （3）如果规定男生引体向上6个及6个以上，该项目成绩良好，若该校八年级有男生500人，估计该校男生该项目成绩良好的约有_______人； （4）从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 【答案】（1）6，5 （2） 补全条形图如下： （3）275 （4）从平均数来看，估计该校八年级男生引体向上的平均个数是5.8；从中位数来看，估计该校八年级至少有一半男生引体向上个数不少于6个；从众数来看，估计该校八年级男生引体向上次数5个的人数最多 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，求中位数和众数，利用样本估计总体，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）根据中位数和众数的确定方法进行计算即可； （2）根据（1）中求出的人数，补全条形图即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）根据平均数、中位数、众数的意义，进行作答即可． 【小问1详解】 解：作4个人数为：； 作8个的人数为：； 将数据排序后，第20个和第21个数据均为6， ∴； 作5个的人数最多， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）； 故答案为： 【小问4详解】 略 20. 如图，是菱形的一条对角线，延长，，分别至点E和点F，且使，，连接，，．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 即， 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的判定．熟练掌握平行四边形的判定、菱形的性质和矩形的判定定理是解题的关键． 先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，然后证，即可得出结论． 【详解】略 21. 如图，已知是的直径，点C、D在上，点E在外，． （1）请说明是的切线； （2）若时，求劣弧的长和阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）劣弧长， 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积公式，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，结合条件可得，进而证明是的切线； （2）连接，证明是等边三角形，进而根据圆周角定理可得的度数，进而根据弧长公式求解的长，，继而推导出，，则，即可解答． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的切线． 【小问2详解】 解：连接OC，如图 ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：； ； ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 某校开展“阳光体育”活动，如图①是学生在操场玩跳长绳游戏的场景，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，如图②所示是以点为原点建立的平面直角坐标系（甲位于点处，乙位于轴的处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点、点，且的水平距离为米，他们到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为米． （1）请求出该抛物线的解析式； （2）跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，求小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方； （3）经测定，多人跳长绳时，参与者同方向站立时的脚跟之间距离不小于米时才能安全起跳，小明与其他位同学一起跳绳，如果这名同学与小明身高相同，通过计算说明他们是否可以安全起跳？ 【答案】（1） （2）小明站在距甲米或米时，绳子刚好过他的头顶上方 （3） 他们可以安全起跳，理由如下： 当时，，， ∴可以站立跳绳的距离为米， 又∵米， ∴， ∴他们可以安全起跳． 【解析】 【分析】（1）根据题意可知抛物线顶点的坐标为，可设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，可得该抛物线的解析式； （2）将代入，解得的值即可； （3）由（2）可知当时，，，可以站立跳绳的距离为米，小明与其他位同学一起跳绳需要站立的最短距离为米，因为，所以他们可以安全起跳． 【小问1详解】 解：由题意设抛物线的解析式为， 将点代入，中，得， ∴该抛物线的解析式是． 【小问2详解】 解：将代入， 解得，， ∴小明站在距甲米或米时，绳子刚好过他的头顶上方． 【小问3详解】 解：略． 【点睛】本题考查了求二次函数的表达式，和二次函数的实际应用，利用待定系数法求出二次函数的表达式是解答本题的关键． 23. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长． （1）【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； （2）【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，查了旋转的性质、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； （2）通过旋转易得等腰直角和直角，继而得解； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，求出，即的长，再求出是等边三角形，根据等边三角形性质可得，求出，然后求出点C、O、、四点共线，再利用勾股定理列式求出，从而得到． 【小问1详解】 解：由旋转可知：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，，即， ∴； 【小问3详解】 解：如下图，将绕点B顺时针旋转至处，连接， ∵在中，， ∴， ∴， ∵绕点B顺时针方向旋转， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点C、O、、四点共线， 在中，， ∴． 24. 综合与探究 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且与y轴交于点，点D是直线上方抛物线上的点． （1）求二次函数的解析式； （2）点E是y轴上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求点E的坐标； （3）当时，在x轴上存在一点F，连接、， 求的最小值，此时点F的坐标是多少． 【答案】（1） （2）或或 （3）最小值为， 【解析】 【分析】（1）由待定系数法及二次函数的交点式得可设，将点代入，即可求解； （2）设，由勾股定理得，分类讨论：当时，由等腰三角形的定义得，即可求解；当时，同理可求； （3）过作轴交于，设，由待定系数法得直线解析式为，可设， 由可求出，由三角形面积得，即可求解；取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，，，即最小值为的长，即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点，， 且与y轴交于点， 设， 将点代入得： ， 即， 解得， ， 二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：设， ， 是以为腰的等腰三角形， 当时， ， 或， 或， 或， 当时， ， ， 解得：，， 其中与点重合， ， 点， 综上所述，或或． 【小问3详解】 解：过作轴交于， 设， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 解得， 直线解析式为， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得， ， 点． 取关于轴的对称点， ， 连接交轴于点， 此时， ， ，即最小值为的长， ， ， 最小值为， 设所在直线的表达式为， 则， 解得， 所在直线的表达式为， 当时， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，等腰三角形的定义，勾股定理，线段和最小值问题，掌握待定系数法，能熟练利用等腰三角形腰的不同进行分类讨论及找到取得最小值的条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $