3.1 相似多边形（2）【分层作业】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.1 相似多边形（2）【分层作业】 内容要点：等比性质、相似多边形周长比、综合应用题 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 1 【题型1】等比性质直接计算 2 【题型2】相似多边形周长比 2 三.能力提升 4 【题型1】实际情境相似辨析 4 【题型2】多边形相似性质综合应用 5 四.素养探究（选做） 7 五.中考链接 8 六.自我评价 10 一.知识梳理（前置作业） 核心知识点基础填空 1. 等比性质：若 ，且________________，则 ________。 2. 相似多边形性质：相似多边形________的比等于相似比。 3. 若 ，相似比为 k，则 ________。 （拓展·课本正文未收录，仅供学有余力学生阅读了解，不强制掌握） 4.（拓展）合分比性质：若 ，则 ________，________。 二.基础达标 【题型1】等比性质直接计算 核心考点：等比性质k值法求值 1．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：（第一步），（第二步）． （1）解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质； （2）应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知，则__________． 3．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（     ） A．10 B．5 C． D． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）已知，求值． 【题型2】相似多边形周长比 核心考点：周长比=相似比 1．（25-26九年级下·浙江温州）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形周长之比是（　　） A．1 B．2 C． D． 二、填空题 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知五边形五边形，且五边形与五边形的周长比为，则的值为_________． 三、解答题 3．（25-26九年级上·北京·课后作业）两个相似多边形的周长分别是、，面积分别是、．若，求、分别是多少． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形． （1）求的值． （2）若纸的周长为286厘米，求纸的周长． 三.能力提升 【题型1】实际情境相似辨析 核心考点：边框矩形相似问题，计算对应边比值 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． （1）若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ （2）要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 2．（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，一个矩形广场的长为60，宽为40，广场内两条纵向小路宽均为2，如果设两条横向小路宽都为x，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 3．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，一个矩形休闲广场的长为，宽为，广场内左右两侧的两条纵向人行小路的宽均为3.5m，如果设上下两侧的两条横向人行小路的宽都为m，那么当为多少时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似？ 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． （1）若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． （2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 【题型2】多边形相似性质综合应用 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知，点在边的延长线上，点在边的延长线上，，，且． （1）的度数为______； （2）若，求的长． 2．（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为． （1）证明：四边形是正方形； （2）若矩形与原矩形相似，．求的长． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，矩形纸片的边长为，动直线分别交AD，BC于E，F两点，且． （1）若直线是矩形的对称轴，且沿着直线剪开后得到的矩形与原矩形相似，求的长． （2）若为，试探究在边上是否存在点，使剪刀沿着直线剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形纸片ABCD相似的情况．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题： （1）当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． （2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 四.素养探究（选做） 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ （1）若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ （2）若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 2．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点： 观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似． 观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似． 请回答下列问题： （1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由． （2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积． 五.中考链接 1．（2026·山东·中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 2．（2026·安徽蚌埠·模拟预测）已知，且，那么k的值是（   ） A．2 B． C．2或0 D．2或 二、填空题 3．（2026·河南周口·二模）已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是________． 4．（2026·四川成都·二模）定义：在中，点在边上，若，则称线段为的“平方分割线”，点称为“平方分割点”．如图，在中，已知，则平方分割点到点的距离的长为______． 三、解答题 5．（2025·上海徐汇·一模）已知：． （1）求代数式的值： （2）当时，求的值． 6．（2026·上海松江·一模）的三边分别是、、，且， （1）如果的周长为60，求的值； （2）如果的面积为 60，求的值． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 相似多边形（2）【分层作业】 内容要点：等比性质、相似多边形周长比、综合应用题 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】等比性质直接计算 2 【题型2】相似多边形周长比 4 三.能力提升 7 【题型1】实际情境相似辨析 8 【题型2】多边形相似性质综合应用 12 四.素养探究（选做） 18 五.中考链接 22 六.自我评价 28 一.知识梳理（前置作业） 核心知识点基础填空 1. 等比性质：若 ，且________________，则 ________。 2. 相似多边形性质：相似多边形________的比等于相似比。 3. 若 ，相似比为 k，则 ________。 （拓展·课本正文未收录，仅供学有余力学生阅读了解，不强制掌握） 4.（拓展）合分比性质：若 ，则 ________，________。 【参考答案】 1. ；  2. 周长  3. 4.（拓展）； 二.基础达标 【题型1】等比性质直接计算 核心考点：等比性质k值法求值 1．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：（第一步），（第二步）． （1）解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质； （2）应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 【答案】（1）等式；分式；（2） 【分析】（1）根据题意，利用等式和分式基本性质解答即可； （2）由题意可设，由此得出，，，所以得出，，进而得出答案． 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． （1）解：依题意，根据题意可知，解题过程在第一步中应用了等式的基本性质，在第二步解题过程中应用了分式的基本性质； 故答案为：等式；分式． （2）解：依题意，设， 则，，， ． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知，则__________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，将，，分别用，，表示，代入所求分式化简即可得到结果． 解：∵，且，，作为分母不为， ∴，，， 将其代入所求分式得： ． 3．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（     ） A．10 B．5 C． D． 【答案】C 解：∵， ∴，，． ∵， ∴． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）已知，求值． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了比例的性质，当，则，进而得到，据此可得答案；②当时，则，进而得到． 解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，则． ∴； 综上所述，值1或． 【题型2】相似多边形周长比 核心考点：周长比=相似比 1．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形周长之比是（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据图形位似的性质可得，则可得，同理可得两个四边形其余三条对应边的比值，即可解题． 解：∵四边形与四边形位似， ∴四边形四边形，， ∴， ∴， ∴四边形与四边形的周长之比为． 二、填空题 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知五边形五边形，且五边形与五边形的周长比为，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的周长比等于相似比，而相似比等于对应边的比求解即可． 解：∵五边形与五边形的周长比为， ∴五边形与五边形的相似比为， ∴的值为． 故答案为：． 三、解答题 3．（25-26九年级上·北京·课后作业）两个相似多边形的周长分别是、，面积分别是、．若，求、分别是多少． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，注意掌握相似多边形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 根据周长之比求出面积之比，结合面积和为100，可求出和． 解：∵， ， ， ． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形． （1）求的值． （2）若纸的周长为286厘米，求纸的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了相似多边形的性质 （1）由图可知纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为，再由相似四边形的对应边成比例列出比例式，求值即可． （2）由（1）可知四边形相似比进而可得出四边形的周长之比，直接计算即可． （1）解：∵纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为， ∴、纸的长与宽对应比成比例，得， ∴； （2）∵纸的周长为286厘米，； ∴纸的周长． 三.能力提升 【题型1】实际情境相似辨析 核心考点：边框矩形相似问题，计算对应边比值 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． （1）若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ （2）要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 【答案】（1）不相似；（2） 【分析】本题考查相似图形的判定，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键． （1）根据相似图形的定义，结合已知条件求得外框外边缘所围成的长与宽的比以及矩形中长宽的比，进而比较作答即可． （2）用含x、y的式子表示矩形的边长，根据相似多边形的性质（对应边成比例），结合，得；代入边长表达式化简求解得． （1）解：∵，，， ∴，． ∴，． ∵， ∴石子路外边缘的矩形与矩形小花园不相似． （2）解：同（1）可知，，． 当矩形矩形时，， 即． ∴． 2．（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，一个矩形广场的长为60，宽为40，广场内两条纵向小路宽均为2，如果设两条横向小路宽都为x，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 【答案】当米时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 【分析】本题考查了相似多边形性质，一元一次方程的实际应用，根据相似多边形性质建立方程求解，即可解题． 解：小路内外边缘所围成的两个矩形相似， 解得， 答：当时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 3．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，一个矩形休闲广场的长为，宽为，广场内左右两侧的两条纵向人行小路的宽均为3.5m，如果设上下两侧的两条横向人行小路的宽都为m，那么当为多少时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似？ 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，关键在于理解相似矩形对应边成比例这一性质，并能准确找出小路内外边缘围成的矩形的长和宽的表达式． 通过分析两个矩形相似的性质，找出对应边的比例关系，并用含有的代数式表示内边缘所围成的矩形的长，进而列方程求解的值即可． 解：人行小路内边缘所围成的矩形的长为， 宽为． 根据相似多边形定义，当各边成比例时，这两个矩形相似，即： ， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：当时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． （1）若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． （2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 【答案】（1）不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （2） 【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 解：（1）略 （2）∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 【点拨】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式． 【题型2】多边形相似性质综合应用 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知，点在边的延长线上，点在边的延长线上，，，且． （1）的度数为______； （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似四边形的性质，正确理解相似多边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形、相似多边形的性质回答即可； （2）根据平行四边形、相似多角形的性质回答即可． （1）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：四边形是平行四边形， ， ，，， ， ， ． 2．（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为． （1）证明：四边形是正方形； （2）若矩形与原矩形相似，．求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得：，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形； （2） 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，由折叠得，，即可证得四边形是正方形； （2）先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 解：（1）略 （2）解：由折叠可得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值舍）， ∴． 【点拨】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质，正方形的性质和判定，折叠的性质，相似多边形的性质，熟练掌握折叠的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，矩形纸片的边长为，动直线分别交AD，BC于E，F两点，且． （1）若直线是矩形的对称轴，且沿着直线剪开后得到的矩形与原矩形相似，求的长． （2）若为，试探究在边上是否存在点，使剪刀沿着直线剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形纸片ABCD相似的情况．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在．或 【分析】（1）先根据矩形相似可得出两矩形的对应边成比例，设，再把、的值代入关系式即可得出的值，进而可求出的值； （2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论． 解：（1）矩形矩形， ． 设． ， ，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． （2）存在． 假设存在矩形与矩形相似，则一定与对应，一定与对应， ， ． 又，， ， ，而， 依据对称性考虑，一定存在当时，使矩形与矩形相似的情况． 综上所述，当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况． 【点拨】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例，解题的关键是掌握相似多边形的判定． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题： （1）当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． （2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）存在，“减半”矩形长和宽分别为与；（2）解：不存在，理由如下： 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形． 【分析】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系． （1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解． （2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是，所以不存在“减半”正方形． （1）解：存在，“减半”矩形长和宽分别为与． 假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则， 由①，得：，③ 把③代入②，得， 解得，． 所以“减半”矩形长和宽分别为与． （2）略 四.素养探究（选做） 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ （1）若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ （2）若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 【答案】（1）；（2）存在， 或，E刚好是边的两个黄金分割点 【分析】（1）先根据矩形矩形可得出两矩形的对应边成比例，再，把的值代入关系式即可得出x的值，进而可求出的值； （2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论． （1）解：∵矩形矩形， ∴， 又∵， 可设， ∴， 解得：， ∴； （2）解：假设存在矩形与矩形相似； 则必与对应，必与对应， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴， 而， 依据对称性考虑，必定存在当时，使矩形与矩形相似的情形， 综上所述：当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似； 且该两种情形中，E刚好是边的两个黄金分割点． 【点拨】本题考查的是相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 2．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点： 观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似． 观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似． 请回答下列问题： （1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由． （2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积． 【答案】（1）观点一正确；观点二不正确． 理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O， ∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1， ∴AB//DE，AC//DF， ∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB， ∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB， 即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC， ∴△ABC∽△DEF， ∴观点一正确； ②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10， 则新矩形邻边为4和8， ∵，， ∴， ∴新矩形于原矩形不相似， ∴观点二不正确； （2）54 【分析】（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定两个观点是否正确； （2）首先根据勾股定理的逆定理求出∠C是直角，根据相似三角形的性质可求出△DEF的边长，进而求出△DEF的面积． 解：（1）略 （2）∵AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB=90°， 由（1）知△ABC∽△DEF， ∴∠DFE=90°，， ∴，， ∴DF＝9，EF＝12， ∴△DEF的面积为：9×12＝54． 【点拨】本题主要考查了相似形的综合题，矩形的性质，平行线的判定，主要涉及到相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键． 五.中考链接 1．（2026·山东·中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 解：，由折叠可得：，， ∵矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， 故选：C． 【点拨】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 2．（2026·安徽蚌埠·模拟预测）已知，且，那么k的值是（   ） A．2 B． C．2或0 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握知识点是解题的关键，注意分类讨论． 当时，利用比的等比性质求解；当时，则，再代入求值即可． 解：①当时，由等比性质可得： 即：； ②当时，则， ∴， 所以k的值是2或， 故选：D． 二、填空题 3．（2026·河南周口·二模）已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】设已知连等式的比值为，根据等式性质得到的关系，求出的值，推出，代入所求代数式化简计算即可得到结果； 解：设， ∴，，， 将三式左右两边分别相乘，得， 移项得， 因为均为分式的分母，故，，，即， 因此， 解得：， ∴，且， 将代入所求代数式，得． 4．（2026·四川成都·二模）定义：在中，点在边上，若，则称线段为的“平方分割线”，点称为“平方分割点”．如图，在中，已知，则平方分割点到点的距离的长为______． 【答案】1 【分析】根据“平方分割点”的定义列出比例式，代入已知边长求出与的比值，再结合的长度利用线段和差关系即可求解． 解：由定义可知， 将代入得， 点在边上， ∴， ∵， ∴． 三、解答题 5．（2025·上海徐汇·一模）已知：． （1）求代数式的值： （2）当时，求的值． 【答案】（1）；（2），， 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． （1）设，利用比例性质得到，，，然后把它们分别代入所求的代数式值，然后进行分式的化简计算； （2）把，，代入中得到关于的方程，然后求出，从而得到、、的值． （1）解：设，则，，， 所以原式； （2）解：把，，代入得， 解得， 所以，，． 6．（2026·上海松江·一模）的三边分别是、、，且， （1）如果的周长为60，求的值； （2）如果的面积为 60，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查比例的性质和勾股定理逆定理． （1）设，则，利用周长公式列方程求解即可； （2）设，则，通过勾股定理逆定理判断直角三角形，再利用面积公式求解即可． （1）解：设， 则， ∵的周长为60， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设， 则， ∵，， ∴， 即是直角三角形，， ∵的面积为60， ∴， 即， 解得：（负值舍去）， ∴． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $