3.1相似多边形（分层作业，16大题型）数学新教材北师大版九年级上册

分层作业 3.1 相似多边形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 比例的性质 题型02 成比例线段 题型03 等比中项及运用 题型04 比例尺 题型05 相似多边形 题型06 相似多边形的性质 题型07 求相似多边形的相似比 题型08 求相似多边形的边长 题型09 求相似多边形的角度 B组 能力进阶 题型01 比例相关知识的实际应用 题型02 相似多边形判定的实际应用 题型03 求相似多边形的周长 题型04 求相似多边形的面积 C组 思维拔高 题型01 与成比例线段有关的开放型问题 题型02 相似多边形中的新定义问题 题型03 与相似多边形有关的探究题 比例的性质题型01 1．已知线段x、y，且，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．， D．， 2．（24-25九年级上·陕西西安·月考）已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则______. 4．我们知道：若，且b+d≠0，那么． （1）若b+d=0，那么a、c满足什么关系？ （2）若，求t2﹣t﹣2的值． 5．已知． （）求的值． （）如果，求的值． 成比例线段题型02 1．（25-26九年级上·上海·期末）下列各组线段中，能构成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．在线段上取C、D两点，已知，，且四条线段、、、是成比例线段，则线段的长为（    ）． A．4 B．3 C．2或3 D．4或3 3．已知，，，四条线段成比例，其中、，，则___． 4．（1）已知线段，求线段a，b的比例中项线段c的长． （2）已知，求的值． 5．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，已知AC＝3，BC＝4.问线段AD，CD，CD，BD是不是成比例线段？写出你的理由 等比中项及运用题型03 1．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）已知线段，线段，则线段a、b的比例中项是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级·期末）已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中，则d等于(    ) A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海·期中）已知线段，如果线段c是a、b的比例中项，那么c＝________________． 4．从这20个整数中，每次取3个数，组成一个有序实数组，使b为a，c的比例中项，则不同的有序实数组共有________组． 5．已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 比例尺题型04 1．（2026·河北沧州·模拟）嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 2．小明测量学校教学楼平面设计图上的长是，小亮测得学校教学楼的实际长度为，则__________． 3．地理课上，小明同学画一个比例尺为 地图，已知A，B两地之间的实际距离为公里，那么小明在图上应该画___厘米． 4．在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离是，则两地间的实际距离是多少？ 5．找一张地图，结合所找地图中的比例尺，编制一道数学题． 相似多边形题型05 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）下列说法中正确的是（    ） A．矩形都相似 B．菱形都相似 C．平行四边形都相似 D．正方形都相似 2．（25-26九年级上·山西大同·月考）已知矩形中，，下列四个矩形中与矩形相似的是（   ） A． B． C． D． 3．给出下列各组图形：①两个平行四边形；②两个直角三角形；③两个矩形；④有一个内角是的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是的两个等腰三角形．其中一定是相似图形的是_________（填序号）． 4．如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 5．如图，四边形的对角线相交于点，点，，，分别是，，，的中点，判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 相似多边形的性质题型06 1．如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（    ） A．周长 B．面积 C．每个内角的度数 D．每条边的长度 2．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（   ） A． B．六边形的周长：六边形的周长 C． D． 3．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，已知两个四边形相似，则可以确定___________，___________． 4．如图，梯形中，，E是上的一点，，并且将梯形分成的两个梯形相似，若，求．    5．如图，四边形∽四边形 (1)的度数为_______，四边形与四边形的相似比为_______； (2)分别求边 与边的长度． 求相似多边形的相似比题型07 1．如图，四边形和四边形相似（点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点），且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（     ） A． B． C． D． 2．已知两个相似多边形的面积之比是，则这两个相似多边形的相似比是（    ） A． B． C． D． 3．如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为_____． 求相似多边形的边长题型08 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，矩形矩形，已知，，，则的长为（   ） A． B．10 C．11 D．12 2．一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为________． 3．两个相似多边形的最长边分别是10和30，其中一多边形的最短边为6，则另一多边形的最短边为_________ 4．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，矩形中．点，分别在，边上．且．若四边形四边形，，，则的长为________． 5．如图，已知矩形矩形，且它们的相似比是，已知，．求和的长． 求相似多边形的角度题型09 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·期末）已知五边形五边形，，则的度数为______ 3．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，四边形四边形，则的度数是_____． 4．已知五边形五边形，，，，，则_______． 5．（25-26九年级上·江西抚州·联考）（1）解方程：． （2）如图，四边形四边形，，，，求的度数． 比例相关知识的实际应用题型01 1．如图，某一时刻两个建筑物和在太阳光照射下影子的端点刚好重合在地面的点E处，若米，米，米（点B、D、E在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内），则建筑物的高度为（    ） A．8米 B．16米 C．24米 D．32米 2．书画经装裱后更便于收藏．如图，画心为长、宽的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且与的距离、与的距离都等于当与的距离、与距离都等于，且矩形∽矩形，整幅书画最美观此时，的值为___________ 3．在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，EC＝4，． （1）求AD的长； （2）试问能成立吗？请说明理由． 4．如图，将一张长、宽之比为的矩形纸片依次不断对折，可以得到矩形纸片BCFE，AEML，GMFH，LGPN． (1)矩形纸片ABCD，BCFE，AEML，GMFH，LGPN的长与宽的比相同吗？请说明理由． (2)在这些矩形纸片的长和宽中，有成比例的线段吗（写出2组即可）？ 5．如图（1），四边形中，对角线、相交于点，若的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，求证：； （2）如图（2），四边形是梯形，对角线、相交于点，的面积为4，的面积为9，求梯形的面积． 相似多边形判定的实际应用题型02 1．下列空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形图案，每个图案花边的宽度都相等．则其中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东·期中）如图，装裱一幅宽、长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为（），则________． 3．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果使四周的边衬所占面积是封面面积的五分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，上下边衬的宽度为___________，左右边村的宽度为___________ 4．如图，矩形草坪长、宽．沿草坪四周有宽的环行小路，小路内外边缘形成的两个矩形相似吗？说出你的理由． 5．如图，矩形的长，宽． (1)如图①，若在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形与矩形相似吗？请说明理由． (2)如图②，当x为多少时，矩形与矩形相似？ 求相似多边形的周长题型03 1．（25-26九年级·期中）如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为（   ）． A． B． C． D． 2． 两个相似多边形的一组对应边为和，如果它们的周长差为，那么较大多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 3．已知四边形四边形，且，若四边形的周长为4，则四边形的周长为__________． 4．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知四边形四边形，且四边形与四边形的面积比为，若四边形的周长为4，则四边形的周长为______． 5．一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，则其周长为____． 求相似多边形的面积题型04 1．（2026·广东云浮·一模）如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·月考）两个相似多边形周长的比是，其中较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级·期末）如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是（      ） A． B． C． D． 4．若四边形四边形，，，则四边形与四边形的面积比为_____． 5．正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积． 与成比例线段有关的开放型问题题型01 1．已知三个数1，，2，若再添加一个数，就得到这四个数成比例，则添加的数是（   ） A． B．或 C．或或 D．或或 2．有三条长度分别为，，的线段，再添一条长度为___________的线段，能使这四条线段是成比例线段． 3．已知三个数、、，请你添加一个数，使他们构成一个比例式，则这个数可能是________．（写出所有可能的数） 4．已知三个数、、，请你再添上一个数，使它们成比例，求出所有符合条件的数． 5．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如下图有3个已知边长的矩形，分别记为图甲、图乙、图丙． (1)填写两个长与宽成比例的矩形：图___________和___________图．（填“甲”或“乙”或“丙”） (2)改变图丙的一边长，使之与图甲的长与宽成比例，请给出一种更改方案，并说明理由． 相似多边形中的新定义问题题型02 1．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=9，点E、F分别在边AB、CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么=_____． 2．在平面直角坐标系中，正方形四个顶点的坐标分别是，，，，点为正方形边上任意一点，点为线段上一点（点不与点、重合），且．若射线上存在一点，满足，则称线段是正方形关于点的倍拓展线段． (1)如图2，当点的坐标为时，在，，中，______是正方形关于点的2倍拓展线段上的点； (2)若点是正方形关于点的2倍拓展线段上的点，请直接写出的取值范围； (3)已知点，，若线段上的所有点都是正方形关于点的倍拓展线段上的点，请直接写出的取值范围． 与相似多边形有关的探究题题型03 1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（    ）． A． B． C．2 D． 2．（25-26九年级上·江西九江·期中）一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比是（　　） A． B． C． D． 3．如图，矩形中，,连接,以对角线为边按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接,以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形, ..按照此规律作下去，若矩形的面积记作,矩形的面积记作,矩形的面积记作, ... 则的值为__________． 4．（2026·上海·二模）如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上．请画出点A、B、C、D分别关于、、、的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是_____． 5．形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.1 相似多边形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 比例的性质 题型02 成比例线段 题型03 等比中项及运用 题型04 比例尺 题型05 相似多边形 题型06 相似多边形的性质 题型07 求相似多边形的相似比 题型08 求相似多边形的边长 题型09 求相似多边形的角度 B组 能力进阶 题型01 比例相关知识的实际应用 题型02 相似多边形判定的实际应用 题型03 求相似多边形的周长 题型04 求相似多边形的面积 C组 思维拔高 题型01 与成比例线段有关的开放型问题 题型02 相似多边形中的新定义问题 题型03 与相似多边形有关的探究题 比例的性质题型01 1．已知线段x、y，且，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】根据比例的性质即可得到结论． 【详解】解：， ，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ， 故不一定是，不一定是，故C错误，符合题意； ， ，，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·陕西西安·月考）已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，比例的性质，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键． 已知比例式，利用比例的基本性质和合比定理分析各选项是否成立． 【详解】解：A、， 交叉相乘得，但原式交叉相乘为，两者不一定相等，故A不成立，不符合题意； B、， 若，设，则，，代入得，等式成立，故B正确，符合题意； C、， 需满足，即或，但原式无法推出，故C不成立，不符合题意； D、， 若，假设，，，，得，故D不成立，不符合题意； 故选：B． 3．若，则______. 【答案】 【分析】根据等比性质，可得答案． 【详解】由(b+d+f≠0)，得 . 故答案为. 【点睛】此题考查比例的性质和分式的值，解答本题的关键在于了解等比性质. 4．我们知道：若，且b+d≠0，那么． （1）若b+d=0，那么a、c满足什么关系？ （2）若，求t2﹣t﹣2的值． 【答案】（1）a+c=0；（2）t2﹣t﹣2=0． 【分析】（1）根据比例的性质即可得到结果； （2）根据比例的性质求得t的值，把t的值代入代数式即可得到结论． 【详解】解：（1）， ∴a+c=0； （2）①当a+b+c≠0时，， ∴t2﹣t﹣2=22﹣2﹣2=0， ②当a+b+c=0时，b+c=﹣a，a+c=﹣b，a+b=﹣c， ， ∴t2﹣t﹣2=0． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟记比例的性质是解题的关键． 5．已知． （）求的值． （）如果，求的值． 【答案】（）2；（）或． 【分析】设则，，，分别代入（1）、（2）求解即可． 【详解】解：令，则，，， （）∴． （）由可得，， 解得或， ∵， 且或时，故能满足， 经检验可取或， ∴或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程及比例的性质，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键． 成比例线段题型02 1．（25-26九年级上·上海·期末）下列各组线段中，能构成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．根据成比例线段的定义，逐项分析，即可求解． 【详解】解：对于选项A：，，，，任意两个比值均不相等，如，等； 对于选项C：，，，，任意两个比值均不相等，如，等； 对于选项D：，，，，任意两个比值均不相等，如，等； 对于选项B：，，，，∵，∴能构成比例线段． 故选：B． 2．在线段上取C、D两点，已知，，且四条线段、、、是成比例线段，则线段的长为（    ）． A．4 B．3 C．2或3 D．4或3 【答案】C 【详解】此题考查了成比例线段，解分式方程，解一元二次方程，设长为，则，根据四条线段、、、成比例，列出比例方程，转化为一元二次方程求解． 【分析】设长为， ∵，， ∴， ∵四条线段、、、是成比例线段， ∴，即 解得或3， ∴的长为2或． 故选：C． 3．已知，，，四条线段成比例，其中、，，则___． 【答案】## 【分析】本题考查成比例线段．根据四条线段成比例，列出比例关系，借助比例的基本性质，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵，，，四条线段成比例， ∴， ∵、，， ∴ 故答案为：． 4．（1）已知线段，求线段a，b的比例中项线段c的长． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据比例中项的定义可知，由此求解即可； （2）根据比例的性质可设，然后代入所求式子求解即可． 【详解】解：（1）∵线段，线段c是线段a、b的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）； （2）∵， ∴可设， ∴． 【点睛】本题主要考查了成比例线段，比例的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 5．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，已知AC＝3，BC＝4.问线段AD，CD，CD，BD是不是成比例线段？写出你的理由 【答案】 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=5． ∵S△ABC=AB•CD=BC•AC，∴CD==2.4． 在Rt△ADC中，AD==1.8，∴BD=3.2，∴AD：CD=CD：BD，∴线段AD，CD，CD，BD是成比例线段． 【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长，然后用三角形面积公式求出CD的长，再用勾股定理求出AD的长，进而得出BD的长，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是利用面积法求得CD的长． 等比中项及运用题型03 1．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）已知线段，线段，则线段a、b的比例中项是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数． 根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，求解即可． 【详解】解：设它们的比例中项是，则 ， 解得（线段是正数，负值舍去）． ∴线段a、b的比例中项是 故选：C． 2．（25-26九年级·期末）已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中，则d等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查成比例线段，根据成比例线段的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，即， ∴； 故选：B． 3．（24-25九年级上·上海·期中）已知线段，如果线段c是a、b的比例中项，那么c＝________________． 【答案】2 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题的关键． 根据比例中项的定义，线段是和的比例中项时，满足，代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵线段是、的比例中项， ∴． ∵，， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为． 4．从这20个整数中，每次取3个数，组成一个有序实数组，使b为a，c的比例中项，则不同的有序实数组共有________组． 【答案】22 【分析】根据比例中项的概念，依此找出不同的有序实数组共有多少组． 【详解】解：当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有4组， 当时，不同的有序实数组有6组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有4组，一共22组． 5．已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）利用，可设，，则，然后解出k的值即可得到a、b的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：设， 则，， 所以，， 解得， 所以，，； （2）∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∴线段． 比例尺题型04 1．（2026·河北沧州·模拟）嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段的应用（或相似图形的性质）．根据照片中的物体长度与实际物体长度成比例（即比例尺固定），列出比例式求解即可． 【详解】解：设该古籍的实际长度为 照片上物体的长度与实际物体的长度成正比 ∴ 解得 该古籍的实际长度为故选D． 2．小明测量学校教学楼平面设计图上的长是，小亮测得学校教学楼的实际长度为，则__________． 【答案】 【分析】计算比值前需要先统一单位，再代入数值计算即可． 【详解】解：，， ． 3．地理课上，小明同学画一个比例尺为 地图，已知A，B两地之间的实际距离为公里，那么小明在图上应该画___厘米． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段的应用．依据比例尺的定义，通过图上距离与实际距离的数量关系计算出结果，注意统一单位再进行计算． 【详解】解：设小明在图上应该画厘米，依题意， 解得： 故答案为：． 4．在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离是，则两地间的实际距离是多少？ 【答案】 两地间的实际距离是 【详解】解：， ∴两地间的实地距离为． 5．找一张地图，结合所找地图中的比例尺，编制一道数学题． 【答案】 选取标有数字比例尺的某区县地图， 编制题目：在该地图上量得县城到李村的图上公路长度为，若一辆客车从县城开往李村，平均速度为，求客车从县城到李村需要多长时间？ 【详解】略 相似多边形题型05 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）下列说法中正确的是（    ） A．矩形都相似 B．菱形都相似 C．平行四边形都相似 D．正方形都相似 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，利用相似多边形的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、所有的矩形的对应角相等但对应边不一定成比例，故不相似，不符合题意； B、所有的菱形的对应边成比例但对应角不一定相等，故不相似，不符合题意； C、所有的平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故不相似，不符合题意； D、所有的正方形的对应角相等，对应边成比例，相似，符合题意； 故选：D． 2．（25-26九年级上·山西大同·月考）已知矩形中，，下列四个矩形中与矩形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论． 【详解】解：矩形的长宽比为， A．长宽比为，与矩形不相似； B．长宽比为，与矩形相似； C．长宽比为，与矩形不相似； D．长宽比为，与矩形不相似； 故选：B． 3．给出下列各组图形：①两个平行四边形；②两个直角三角形；③两个矩形；④有一个内角是的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是的两个等腰三角形．其中一定是相似图形的是_________（填序号）． 【答案】⑤⑥ 【分析】本题考查相似图形的判定，掌握相似图形的对应角相等、对应边成比例，结合各类图形的性质判断是解题的关键． 逐一分析每组图形，根据相似图形的定义判断是否一定相似． 【详解】解：①两个平行四边形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故不一定相似； ②两个直角三角形除直角外其他角不一定相等，对应边不一定成比例，故不一定相似； ③两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，故不一定相似； ④有一个内角是的两个等腰三角形，角可能是顶角或底角，因此角不一定对应相等，故不一定相似； ⑤两个正五边形所有内角相等且所有边成比例，故一定相似； ⑥有一个内角是的两个等腰三角形，角只能是顶角，因此两个三角形的角都相等，且对应边成比例，故一定相似． 故答案为：⑤⑥． 4．如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【答案】 解：四边形与四边形相似．理由如下： ∵，，，， ∴， ，，，且 ， ∴四边形与四边形相似． 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据四边形的四个角分别对应相等，四条边对应成比例可得答案. 【详解】略 5．如图，四边形的对角线相交于点，点，，，分别是，，，的中点，判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【答案】相似， 理由如下： ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴，， 同理可得：，， ∴，即， 同理可得：，，，， ∴四边形与四边形相似． 【分析】本题考查了相似多边形的判定、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相似多边形的判定方法是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，根据平行线的性质可得，同样的方法可得，，则，再根据同样的方法可得，，，，然后根据相似多边形的判定即可得． 【详解】略 相似多边形的性质题型06 1．如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（    ） A．周长 B．面积 C．每个内角的度数 D．每条边的长度 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相关结论即可解答． 【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形是相似的关系， 用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了， 每个内角的度数保持不变， 故选：C． 2．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（   ） A． B．六边形的周长：六边形的周长 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质，掌握相似图形的性质是关键． 相似图形中，对应角相等，对应边等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵六边形六边形，相似比为， ∴，故A选项错误，不符合题意； 六边形的周长：六边形的周长，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，则，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 3．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，已知两个四边形相似，则可以确定___________，___________． 【答案】 ##度 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，熟知相似图形对应边成比例，对应角相等是解题的关键．根据相似图形对应边成比例，对应角相等进行求解即可． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， ∴， 故答案为：，． 4．如图，梯形中，，E是上的一点，，并且将梯形分成的两个梯形相似，若，求．    【答案】 【分析】此题主要考查相似多边形相似比的性质，首先根据相似性，列出相似比的等式，即可得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形与四边形相似， ∴， 又∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴ ． 5．如图，四边形∽四边形 (1)的度数为_______，四边形与四边形的相似比为_______； (2)分别求边 与边的长度． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）根据相似得到对应角相等，再根据四边形内角和定理即可得到答案； （2）根据相似得到对应线段成比例即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形∽四边形， ∴，， ∴， 相似比为：． （2）解：∵四边形∽四边形， ∴ ， ∴，． 【点睛】本题考查相似图形的性质及四边形内角和定理，解题的关键是找准对应角对应边． 求相似多边形的相似比题型07 1．如图，四边形和四边形相似（点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点），且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形和四边形相似， ∴它们的相似比是． 2．已知两个相似多边形的面积之比是，则这两个相似多边形的相似比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方计算选择即可． 【详解】∵两个相似多边形的面积之比是， ∴这两个相似多边形的相似比是， 故选A． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 3．如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形，勾股定理，相似多边形对应边的比叫做相似比．设正方形的边长为，根据勾股定理求出正方形的边长，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵、、、分别为正方形各边的中点， ∴， ∵， ∴新新正方形与原正方形的相似比， 故选：． 4．如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质与判定，利用勾股定理求出两个四边形对应边的边长，可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，，，，，，，， ∴， ∴四边形和四边形的相似比是， 故选；C． 5．如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为_____． 【答案】 【分析】设BG=x，则BE=x，即BC=x，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2. 【详解】设BG=x， 则BE=x， ∵BE=BC， ∴BC=x， 则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2. 故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，图形相似的性质.解此题的关键在于根据正方形的性质得到相关边长的比. 求相似多边形的边长题型08 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，矩形矩形，已知，，，则的长为（   ） A． B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质得，进行计算即可得． 【详解】解：∵矩形∽矩形， ∴即， ∴， ∴， 故选：B． 2．一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为________． 【答案】6 【分析】设另一个与它相似的六边形的最短边为，再根据其周长的比等于相似比进行解答即可． 【详解】设另一个与它相似的六边形的最短边为， 由题意，得：， 整理得：， 解得：， 故答案为： 6． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比． 3．两个相似多边形的最长边分别是10和30，其中一多边形的最短边为6，则另一多边形的最短边为_________ 【答案】2或18 【详解】设另一多边形的最短边为x， 当6为最长边是10的多边形的最短边时,， 解得，x=18， 当6为最长边是30的多， 解得，x=2， ∴另一多边形的最短边为2或18， 故答案为2或18. 点睛：本题考查了相似多边形的性质，分6为最长边是10的多边形的最短边和6为最长边是30的多边形的最短边两种情况，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 4．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，矩形中．点，分别在，边上．且．若四边形四边形，，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，根据矩形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得四边形和四边形都是矩形，然后利用矩形的性质可得：，再利用相似多边形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 四边形和四边形都是矩形， ， 四边形四边形， 解得： 故答案为：． 5．如图，已知矩形矩形，且它们的相似比是，已知，．求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题关键．根据相似多边形的性质求解即可得答案． 【详解】解：∵矩形矩形，且它们的相似比是， ， ∵，， ， 解得，． 求相似多边形的角度题型09 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和，掌握相似多边形的性质是解题的关键．根据相似多边形的性质可得，再结合四边形内角和求解即可． 【详解】解：∵ 四边形 四边形 ， ， ∴， ∵，， ∴； 故选：D 2．（25-26九年级上·期末）已知五边形五边形，，则的度数为______ 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应角相等的性质即可求解的度数． 【详解】解：∵五边形五边形． ∴根据相似多边形的性质，对应角相等，即． 又∵． ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，四边形四边形，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，四边形内角和定理，根据相似图形的对应角相等求出的度数，再根据四边形内角和为360度列式求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 4．已知五边形五边形，，，，，则_______． 【答案】 【分析】首先根据相似多边形的性质得到，，然后根据五边形的内角和为即可解答． 【详解】解：∵五边形五边形， ∴，， 又∵五边形的内角和为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题关键是掌握相似多边形的对应角相等． 5．（25-26九年级上·江西抚州·联考）（1）解方程：． （2）如图，四边形四边形，，，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，相似多边形的性质、四边形的内角和定理． （1）利用公式法求解即可； （2）根据相似多边形的性质、四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：（1）， ， 所以， 即； （2），，， ， 四边形四边形， ． 比例相关知识的实际应用题型01 1．如图，某一时刻两个建筑物和在太阳光照射下影子的端点刚好重合在地面的点E处，若米，米，米（点B、D、E在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内），则建筑物的高度为（    ） A．8米 B．16米 C．24米 D．32米 【答案】C 【分析】根据在同一时刻物高与影长成正比求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵米，米，米 ∴ ∴（米）． 故选：C． 【点睛】本题考查成比例线段的应用．熟练掌握在同一时刻物高与影长成正比是解题的关键． 2．书画经装裱后更便于收藏．如图，画心为长、宽的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且与的距离、与的距离都等于当与的距离、与距离都等于，且矩形∽矩形，整幅书画最美观此时，的值为___________ 【答案】 【详解】解：由题意，，，， ∵矩形∽矩形， ∴， ∴ ， 解得， 【点睛】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 3．在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，EC＝4，． （1）求AD的长； （2）试问能成立吗？请说明理由． 【答案】(1)AD=； （2）能，理由如下： ∵AB＝12，AD＝， ∴DB＝. ∴， ∵AE＝6，EC＝4， ∴AC=10 ∴， ∴. 【分析】（1）设AD=x，则BD=AB-AD=（12-x）cm，根据比例式列出方程求得x的值，即可得AD的长； （2）根据所求得的数据计算即可得结论. 【详解】解：（1）)设AD=x,则BD=AB-AD=（12-x）cm， ∵，AE＝6，EC＝4， ∴x：（12-x）=6：4， 解得x=， ∴AD=； （2） 略 4．如图，将一张长、宽之比为的矩形纸片依次不断对折，可以得到矩形纸片BCFE，AEML，GMFH，LGPN． (1)矩形纸片ABCD，BCFE，AEML，GMFH，LGPN的长与宽的比相同吗？请说明理由． (2)在这些矩形纸片的长和宽中，有成比例的线段吗（写出2组即可）？ 【答案】(1) 矩形纸片，，，，的长与宽的比相同．理由如下： 设矩形纸片的宽，长． 矩形纸片依次不断对折， ,,,,,,, ,,,， 矩形纸片，，，，的长与宽的比相同． (2)，，，和，，， 【分析】（1）所有矩形的长、宽之比为； （2）第一个矩形的宽为对折后矩形的长，则得到成比例的线段； 【详解】解：（1）略 （2）在这些矩形纸片中，有成比例的线段．答案不唯一，如：，，，和，，，． 5．如图（1），四边形中，对角线、相交于点，若的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，求证：； （2）如图（2），四边形是梯形，对角线、相交于点，的面积为4，的面积为9，求梯形的面积． 【答案】 （1）作于点， ∴． 同理可证：， ∴． ∴． （2）25. 【分析】(1)作BE⊥AC于点E，从而可分别表示出 和 然后可得出，同理可得出，这样即可证得结论． （2）根据同底等高的三角形的面积相等可得出 ，从而解出的面积，也就能得出梯形的面积． 【详解】（1）  略 （2）∵， ∴（同底等高）． ∴． 设△的面积为，由（1）可得， ∴， ∴梯形的面积． 【点睛】本题考查了梯形，三角形的面积，掌握平行线间距离相等是解题的关键. 相似多边形判定的实际应用题型02 1．下列空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形图案，每个图案花边的宽度都相等．则其中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似多边形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案． 【详解】A、两个不等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故A选项不符合题意； B、两个等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合题意； C、两个正方形形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合题意； D、两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查相似多边形的定义，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键，相似多边形的对应角相等，对应边成比例． 2．（25-26九年级上·山东·期中）如图，装裱一幅宽、长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为（），则________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了相似的性质，解题的关键是熟练掌握相似的图形对应边成比例．根据相似图形对应边成比例即可进行解答． 【详解】解：∵装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， ∴或， 解得：或（不合题意舍去）． 故答案为：9 ． 3．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果使四周的边衬所占面积是封面面积的五分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，上下边衬的宽度为___________，左右边村的宽度为___________ 【答案】 【分析】由条件知道中间矩形的长宽比是，设中间的矩形的长为，宽为．根据封面的面积关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：∵封面长，宽， ∴封面的长宽比为． 设中间的矩形的长为，宽为，由题意得： ， 解得：， ∵不符合题意，舍去， ∴． ∴上下边衬为：． 左右边衬为： 故答案为：①，② 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际运用，相似多边形的性质，一元二次方程的解法的运用，解答时根据矩形的面积公式建立方程是关键． 4．如图，矩形草坪长、宽．沿草坪四周有宽的环行小路，小路内外边缘形成的两个矩形相似吗？说出你的理由． 【答案】不相似．小路内外边缘形成的两个矩形的边长分别为30，20和28，18．因为，，即这两个矩形的边不成比例，所以它们不相似 【分析】根据已知条件，可求出小路内侧矩形的长和宽分别为28，18；再把两个矩形的边分两种情况进行比值运算，结果，，即可得出答案． 【详解】解：不相似．理由如下： 因为草坪四周有宽的环行小路， 所以小路内外边缘形成的两个矩形的边长分别为30，20和28，18； 因为，，即这两个矩形的边不成比例， 所以它们不相似． 【点睛】本题主要考查了相似图形的判定，即不仅要对应角相等，还要对应边成比例． 5．如图，矩形的长，宽． (1)如图①，若在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形与矩形相似吗？请说明理由． (2)如图②，当x为多少时，矩形与矩形相似？ 【答案】(1) 不相似．理由如下： 由题意，在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域得： ． ∴矩形与矩形不相似． (2)当x为1.5或9时，矩形与矩形相似 【分析】（1）要说明相似只要说明对应边成比例，对应角相等； （2）如果两个矩形与相似，对应边成比例，就可以求出的值。 【详解】解：（1）略 （2）由题意，得，． 若矩形与矩形相似， 则或， 即或， 解得或． 故当x为1.5或9时，矩形与矩形相似． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时成立。 求相似多边形的周长题型03 1．（25-26九年级·期中）如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．根据相似多边形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴它们的周长比为：， 故选：B． 2． 两个相似多边形的一组对应边为和，如果它们的周长差为，那么较大多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，掌握这一性质是解题的关键；设较大多边形的周长为，则较小多边形的周长为，由相似多边形的性质列式即可求解． 【详解】解：设较大多边形的周长为，则较小多边形的周长为， ∵两个相似多边形的一组对应边为和， ∴, 解得：， 即较大多边形的周长为， 故选：D． 3．已知四边形四边形，且，若四边形的周长为4，则四边形的周长为__________． 【答案】14 【分析】根据相似多边形的周长比等于对应边的比，结合已知的对应边比例与其中一个多边形的周长，计算另一个多边形的周长． 【详解】解：∵ 四边形四边形， ∴ 四边形与四边形的周长比等于对应边的比 设四边形的周长为，则， 解得． 4．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知四边形四边形，且四边形与四边形的面积比为，若四边形的周长为4，则四边形的周长为______． 【答案】1 【分析】本题考查相似多边形的性质，相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，根据面积比求出相似比，再根据周长比求周长． 【详解】解：∵ 四边形四边形，且面积比为， ∴四边形与四边形的相似比为， ∵相似比等于周长比， ∴四边形与四边形的周长比为， ∵ 四边形的周长为4， ∴ 四边形的周长为1． 故答案为：1． 5．一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，则其周长为____． 【答案】66 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的周长之比等于相似比进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6， ∴两个相似多边形的相似比， ∴两个相似多边形的周长比为， ∴另一个与它相似的六边形的最短边为6，其周长为， 故答案为：66． 求相似多边形的面积题型04 1．（2026·广东云浮·一模）如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，先求出两个四边形的相似比，再计算面积比即可． 【详解】解：四边形四边形，且，， 它们的相似比为， 它们的面积之比为， 即． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·月考）两个相似多边形周长的比是，其中较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，掌握相似多边形的性质是解答本题的关键． 根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可． 【详解】解：两个相似多边形周长的比是， 两个相似多边形的相似比是， 两个相似多边形的面积比是， 较小多边形的面积为， 较大多边形的面积为， 故选：D． 3．（25-26九年级·期末）如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，由题意可知是等腰直角三角形，设，可得，，由相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可得出结论. 【详解】解：如图2， ∵正八边形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵内部阴影是正八边形， ∴， 由4个全等的正方形可知：是等腰直角三角形，， 设，则， ∴， ∵阴影部分为正八边形，正八边形都相似， 所以正八边形与阴影部分的面积比为 ， 故选：B. 4．若四边形四边形，，，则四边形与四边形的面积比为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，解决本题的关键是利用相似多边形的面积比等于相似比的平方．根据相似多边形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：四边形四边形， 相似比， ， 即四边形与四边形的面积比为． 故答案为：． 5．正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积． 【答案】16 【分析】先证明四边形是正方形，再由相似的定义得出正方形正方形，然后根据相似多边形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵四边形为中正方形， ∴，， 又EF⊥AB，EG⊥AD， ∴， 四边形是矩形，， ， ， 矩形是正方形， 四边形是正方形， 正方形正方形， ∵AE：EC=2：1， ∴AE：AC=2：3， ， ， ∴正方形AFEG的面积为16． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定与性质，难度适中，证明四边形是正方形是解题的关键． 与成比例线段有关的开放型问题题型01 1．已知三个数1，，2，若再添加一个数，就得到这四个数成比例，则添加的数是（   ） A． B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查比例的基本性质，四个数成比例满足两内项之积等于两外项之积，分三种不同情况计算添加的数即可． 【详解】解：设添加的数为，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，分三种情况计算： ∵ 当和为两外项时，可得 ， ∴ 解得 ； ∵ 当和为两外项时，可得 ， ∴ 解得 ； ∵ 当和为两外项时，可得 ， ∴ 解得 ； 因此添加的数可以是，，． 2．有三条长度分别为，，的线段，再添一条长度为___________的线段，能使这四条线段是成比例线段． 【答案】或或 【分析】设添加的线段为，根据四条线段成比例，分别求出即可得． 【详解】解：设再添一条长度为的线段． 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得． 综上，再添一条长度为或或的线段，能使这四条线段是成比例线段． 故答案为：或或. 【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是找出所有成比例的情况分别求解． 3．已知三个数、、，请你添加一个数，使他们构成一个比例式，则这个数可能是________．（写出所有可能的数） 【答案】 【分析】根据比例式的定义，这个数可能是第一项或第二项、第三项、第四项,分别列出比例式可得. 【详解】①若x：1=2：，解得：x=； ②若1：y=2：，解得：y=； ③若1：2=z：，解得：z=； ④若1：2=：d，解得：d=2． ∴则这个数可能是. 故答案为 【点睛】本题考核知识点：比例式. 解题关键点：理解比例式的意义. 4．已知三个数、、，请你再添上一个数，使它们成比例，求出所有符合条件的数． 【答案】可以添加的数有：，，． 【分析】设添加的数为x，使2：4=8：x，或4：x=8：2或8：x=4：2，分别求出x的值． 【详解】设添加的数为， 当时，； 当时，； 当时，， 所以可以添加的数有：，，． 【点睛】考查了比例线段，本题解题关键是找出各种情况．设出要添加的数，使这四个数各自成比例，算出x的值． 5．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如下图有3个已知边长的矩形，分别记为图甲、图乙、图丙． (1)填写两个长与宽成比例的矩形：图___________和___________图．（填“甲”或“乙”或“丙”） (2)改变图丙的一边长，使之与图甲的长与宽成比例，请给出一种更改方案，并说明理由． 【答案】(1)甲，乙 (2) 解：方案：长减少7时，与（1）中矩形的长与宽成比例．理由如下： 设图丙中，长减少x时，与（1）中矩形的长与宽成比例，则 解得， ∴图丙中，长减少7时，与（1）中矩形的长与宽成比例． 【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键． （1）将三个图中求出长与长的比值、宽与宽的比值，比较即可得解； （2）设图丙中，长减少x时，与（1）中矩形的长与宽成比例，构造方程求解即可． 【详解】（1）解：∵图甲和图丙中，图丙和图乙中， ∴图甲和图丙的长与宽不成比例，图丙和图乙的长与宽不成比例， ∵图甲和图乙中， ∴图甲和图乙的长与宽成比例， 故答案为：甲，乙； （2）略 相似多边形中的新定义问题题型02 1．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=9，点E、F分别在边AB、CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么=_____． 【答案】 【分析】先利用比例中线的定义，求出EF的长度，然后由梯形ADFE相似与梯形EFCB，得到，即可得到答案. 【详解】解：如图， ∵EF是梯形的比例中线， ∴， ∴， ∵AD//BC， ∴梯形ADFE相似与梯形EFCB， ∴； 故答案为：. 【点睛】本题考查了相似四边形的性质，以及比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握相似四边形的性质和比例中线的性质. 2．在平面直角坐标系中，正方形四个顶点的坐标分别是，，，，点为正方形边上任意一点，点为线段上一点（点不与点、重合），且．若射线上存在一点，满足，则称线段是正方形关于点的倍拓展线段． (1)如图2，当点的坐标为时，在，，中，______是正方形关于点的2倍拓展线段上的点； (2)若点是正方形关于点的2倍拓展线段上的点，请直接写出的取值范围； (3)已知点，，若线段上的所有点都是正方形关于点的倍拓展线段上的点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）由，，得到射线解析式：，由，，，，得到，，进而得到线段得解析式：，将，，分别代，入即可判断求解， （2）由是正方形关于点的2倍拓展线段上的点，得到射线解析式为：或，点或，由，，，，得到或，或，进而得到线段的解析式为：或，即可求解， （3）由，，得到线段解析式：，与直线联立，得到：，当点在线段上且在第一象限时，由，，得到，由线段上的所有点都是正方形关于点的倍拓展线段上的点，得到，即可求解，当点在线段上且在第一象限时，由，，得到，由线段上的所有点都是正方形关于点的倍拓展线段上的点，得到，即可求解， 本题考查了，求一次函数解析式，新定义，几何与一次函数综合，解题的关键是：根据题意，构建关系式． 【详解】（1）解：∵，， 设射线解析式为：， ∴，解得：， ∴射线解析式为：， ∵， ， ∴，解得：， ∵， 即：，整理得：， ∵， ∴，解得：， ∴线段的解析式为：， ∵，， ∴点不是线段上的点， 分别将点，代入，，得：，， ∴，是线段上的点， 故答案为：，， （2）解：∵是正方形关于点的2倍拓展线段上的点， ∴设射线解析式为：， 则，解得：， ∴射线解析式为：或， ∴点在线段或上，即：，，解得：或， ∴或， ∴点或， ∵，， ∴，解得：或， 代入或，得：或， ∴或， ∵，即：，整理得：， ∵， ∴解得：或， 代入或，得：或， ∴或， ∴线段的解析式为：或， ∴或， （3）解：∵，， 设线段解析式为：，则：解得：， ∴线段解析式为：， 与直线联立，得：，解得：， 当点在线段上且在第一象限时， ∵，， ∴，即：， ∵线段上的所有点都是正方形关于点的倍拓展线段上的点， ∴，解得：， 当点在线段上且在第一象限时， ∵，， ∴，即：， ∵线段上的所有点都是正方形关于点的倍拓展线段上的点， ∴，解得：， 综上所述，当时，线段上的所有点都是正方形关于点的倍拓展线段上的点， 故答案为：． 与相似多边形有关的探究题题型03 1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例． 由裁出的矩形的宽与长的比与矩形的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，． 由，得， 即． ∴． 开平方，得（舍去）， 故选：A． 2．（25-26九年级上·江西九江·期中）一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，利用相似多边形的性质，列出比例方程求解原矩形的长宽比，熟练掌握相似多边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：设原矩形的长为，宽为，剪去以宽为边长的正方形后，剩下矩形的长为，宽为， ∵原矩形与剩下矩形相似， ∴， 令，则， ∴，即， 解得：， ∵长宽比大于 1， ∴， 故选：D． 3．如图，矩形中，,连接,以对角线为边按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接,以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形, ..按照此规律作下去，若矩形的面积记作,矩形的面积记作,矩形的面积记作, ... 则的值为__________． 【答案】 【分析】首先根据矩形的性质，求出AC，根据边长比求出面积比，依次类推，得出规律，即可得解. 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AD⊥DC， ∴AC=， ∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C， ∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为：2 ∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4， ∵矩形ABCD的面积=2×1=2， ∴矩形AB1C1C的面积=， 依此类推，矩形AB2C2C1的面积和矩形AB1C1C的面积的比5：4 ∴矩形AB2C2C1的面积= ∴矩形AB3C3C2的面积=， 按此规律第n个矩形的面积为： 则 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律． 4．（2026·上海·二模）如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上．请画出点A、B、C、D分别关于、、、的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是_____． 【答案】 【分析】先证明，然后得到点在上，同理，点在上，由对称可设 ，根据，求出，，则，再由正方形正方形求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 同理， 由对称可得，， ∴ ∴点在上， 同理，点在上， 由对称可设 ， ∵ ∴， ∵ ∴，， ∴， ∵正方形正方形， ∴， ∴． 5．形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 【答案】（1）； （2）； （3）同意，如图所示：    （4）共有四种情况： ①如下图，；    ②如下图，；    ③如下图，；    ④如下图，；    【分析】（1）先求得小长方形的长和宽，再根据小矩形与原矩形长宽比相等列方程求解即可； （2）由小矩形的长以及长宽比求得小矩形的宽，再根据两个小矩形的宽之和为a列方程求解即可； （3）通过连接矩形的四条边的中点可将矩形分为4个一样的小矩形，再求小矩形的长宽比便可验证； （4）分四种情况：①沿原矩形的长3等分为三个矩形，②先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，③先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，④先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1；根据相似矩形的长宽比，利用原矩形的长和宽建立方程求解即可； 【详解】解：（1）由图可知阴影正方形的边长为1， ∴小长方形的宽为，长为1， ∵小矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得：或（边长不能为负舍去）， ∴； （2）∵两小矩形的长都为1，且与原矩形的长宽比相同， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； （3）同意，如下图连接矩形的四条边的中点，将矩形分为4个小矩形， 四个小矩形的长和宽都为和，长宽比为与原矩形长宽比相同； （4）共有四种情况： ①如下图沿原矩形的长3等分， 小矩形和原矩形的长宽比都为a， 小矩形的长为1，则宽为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ②如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为， 根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的长为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ③如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为， 根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的宽为， ∴∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ④如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1， 根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为， ∴右边两矩形的宽和长为， ∴右上矩形的长为，右下矩形的宽为， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了相似矩形，一元二次方程，分情况要按照先一分为二，再将其中一个一分为二的思路来讨论． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $