3.2 探索三角形相似的条件（3）三边【分层作业】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.2 探究三角形相似的条件【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 1 【题型1】三边比值判定相似 1 三.能力提升 3 【题型2】网格三角形三边对应成比例相似判定 3 【题型3】已知三角形相似求边长长度的条件 4 四.素养探究（选做） 4 五.中考链接 5 六.自我评价 7 一.知识梳理（前置作业） 核心知识点基础填空 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知。 1. _______________的两个三角形相似。 2. 运用该定理判定三角形相似，关键是找准三角形的_____边，再计算各组边长的比值。 3. 若两个三角形相似，则它们的对应角________。 二.基础达标 【题型1】三边比值判定相似 1．（25-26九年级上·上海虹口·期中）一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（    ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 3．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来． （1）； （2）． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． （1）求证：．（2）图中还有哪几对相似三角形？ 三.能力提升 【题型2】网格三角形三边对应成比例相似判定 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·周测）在如图所示的网格中，有，其中与相似的是_________（所有三角形的顶点均在小正方形的顶点上） 3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：___________，___________； （2）判断与是否相似？并证明你的结论． 【题型3】已知三角形相似求边长长度的条件 1．（2025九年级·全国·专题练习）已知的三边之比为．在中，．当_______时，． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为___________时，与相似． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点为格点）中，根据“马走日”的规则，“马”落在位置________（填序号）处时，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似． 四.素养探究（选做） 1．（25-26九年级下·江苏南京·开学考试）课本内容再探索： （1）将定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”中的“夹角”改为“其中一边的对角”． ①改变后得到的命题是___________命题；（填“真”或“假”） ②若“其中一边的对角”是直角，请完成下面的证明． 如图（1），在和中，，． 求证：． （2）将定理“相似三角形对应线段的比等于相似比”逆向思考． 已知和均为锐角三角形，，，，是高，且．在满足下列情形时，证明． ①如图（2），，是中线，且； ②如图（3），，是中线，且． （说明：以上两种情形，只需选择其中一种完成．） 五.中考链接 一、单选题 1．（2025·河北承德·一模）将的各边长作如下变化，得到的新三角形与相似的是（   ） A．各边长都加2 B．各边长都减2 C．各边长都乘2 D．各边长都平方 2．（2026·上海杨浦·二模）下列选项条件中，一定能判定的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·上海徐汇·一模）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为相似形的是 （    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 二、填空题 4．（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是_____． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 探究三角形相似的条件【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 1 【题型1】三边比值判定相似 1 三.能力提升 5 【题型2】网格三角形三边对应成比例相似判定 5 【题型3】已知三角形相似求边长长度的条件 9 四.素养探究（选做） 12 五.中考链接 17 六.自我评价 20 一.知识梳理（前置作业） 核心知识点基础填空 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知。 1. _______________的两个三角形相似。 2. 运用该定理判定三角形相似，关键是找准三角形的_____边，再计算各组边长的比值。 3. 若两个三角形相似，则它们的对应角________。 【参考答案】 1. 三边成比例 2. 对应 3. 相等 二.基础达标 【题型1】三边比值判定相似 1．（25-26九年级上·上海虹口·期中）一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（    ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定-三边分别对应成比例的两三角形相似．先计算出模型三角形三边比从小到大为，再逐项计算新三角形三边比，进行判断即可求解． 解：∵ 相似三角形对应边成比例，模型三角形三边为5cm、6cm、10cm， ∴模型三角形三边比为； A. 当新三角形另外两边为15厘米、18厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； B. 当新三角形另外两边为20厘米、24厘米时，三边比为，两三角形不相似，符合题意； C. 当新三角形另外两边为25厘米、50厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； D. 当新三角形另外两边为36厘米、60厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意． 故选：B 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】计算两个三角形三边的对应比值，根据三边是否对应成比例即可判定两个三角形是否相似． 解：∵，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 【答案】证明：，，，，，， 则， ， ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据三边成比例的两三角形相似，得证，即可作答． 解：略 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来． （1）； （2）． 【答案】（1）∵， ∴； （2）∵， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，需要掌握相似三角形的判定方法． 根据和的三边对应成比例，则两个三角形相似，由此判定即可． 解：（1）略 （2）略 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． （1）求证：． （2）图中还有哪几对相似三角形？ 【答案】（1）证明：分别是的中点， ，，，即， ； （2），， 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理，以及三边对应成比例的两个三角形相似，得到，，即可. 解：（1）略 （2）解：∵D、E、F分别是的中点， ，，， ∴ ∴，，. 三.能力提升 【题型2】网格三角形三边对应成比例相似判定 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定．通过构造辅助线，利用等腰直角三角形的性质求出一个角的度数，再通过计算三角形三边的长度，根据三边对应成比例证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应角相等的性质求出目标角的度数． 解： 取格点P，连接、，则． ∴． 设正方形网格中的每个小正方形的边长都是m，则． 由勾股定理得：，，． ∴，，． ∴． ∴． ∴． 故选B 2．（25-26九年级上·全国·周测）在如图所示的网格中，有，其中与相似的是_________（所有三角形的顶点均在小正方形的顶点上） 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定。根据勾股定理分别求出三个三角形的三边长，再按照大边比大边、小边比小边、中边比中边求出三边之比，所求三边之比相等的两个三角形就是相似三角形． 解：设每个小正方形的边长为1，则，，，，，，，． ， 与不相似； ， 与不相似； ， 与相似. 故答案为. 3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：___________，___________； （2）判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】（1）；；（2）解：，证明如下： ∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取格点G，连接，，求出，进而求出，根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． （1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，D，F三点共线，且， 为等腰直角三角形 由勾股定理得： （2）略 【题型3】已知三角形相似求边长长度的条件 1．（2025九年级·全国·专题练习）已知的三边之比为．在中，．当_______时，． 【答案】 【分析】本题考查了三角形相似的判定定理，结合已知条件，利用三条边对应成比例，解题过程注意对应边． 解：当时，．理由如下： ∵， ∴可设（）， ∴，，， ∴， ∴，符合题意 故答案为： ． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为___________时，与相似． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解决问题的关键是熟知相似三角形的对应边成比例． 设第三边长为,应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，解题即可． 解：的三边长分别是， 三边长的比为． ，且的两边长分别是1和需要分情况进行讨论: ①若，解得； ②若，∵，∴该情况不成立 ③若，解得 经检验，当时，与的三边对应成比例，两三角形相似；当时，与的三边对应不成比例，两三角形不相似； 故答案为：． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点为格点）中，根据“马走日”的规则，“马”落在位置________（填序号）处时，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似． 【答案】② 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，即三边对应成比例的两个三角形相似. 解：设每个小正方形的边长为1， 计算“帅”“相”“兵”所在位置构成三角形的三边长度，依次设三边长度为a，b，c，根据勾股定理可得： 设“马”“车”“炮”所在位置构成三角形的三边长度分别为m，n，p， ①当“马”落在①时，       计算三边比例关系， 所以三边不成比例，则两三角形不相似，故①错误； ②当“马” 落在②时，          计算三边比例关系： 所以三边成比例，则两三角形相似 ，故②正确； 当“马”落在时， 计算三边比例关系： 所以三边不成比例，则两三角形不相似，故错误； ④ 当“马”落在④时，          计算三边比例关系：       所以三边不成比例，则两三角形不相似，故④错误； 综上：②正确. 四.素养探究（选做） 1．（25-26九年级下·江苏南京·开学考试）课本内容再探索： （1）将定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”中的“夹角”改为“其中一边的对角”． ①改变后得到的命题是___________命题；（填“真”或“假”） ②若“其中一边的对角”是直角，请完成下面的证明． 如图（1），在和中，，． 求证：． （2）将定理“相似三角形对应线段的比等于相似比”逆向思考． 已知和均为锐角三角形，，，，是高，且．在满足下列情形时，证明． ①如图（2），，是中线，且； ②如图（3），，是中线，且． （说明：以上两种情形，只需选择其中一种完成．） 【答案】（1）①假； ②证明：在和中，， 设，则、， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ； （2） ①证明：，是中线， 、， 、， ， ，是高， ， 、， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②证明：，是高， ， 如图，，是中线，取的中点，取的中点，连接，， 、分别为和的中位线， 、、、， 、， 、， ， ， 设， 、、， ， ， ， 、， ， ． 【分析】（1）①通过相似三角形的判定定理，结合反例来判断命题真假； ②利用勾股定理证明三边对边成比例，从而证明两个三角形相似； （2）①根据三角形中线和高的性质易证得，进而证得，则，从而得到结论； ②取的中点，取的中点，连接，，根据三角形中位线的性质证得，设，进而证得，则，从而得到结论． （1）解：①由于仅两边成比例且其中一边的对角相等，不能保证两个三角形相似，存在反例情况， 因此，改变后得到的命题是假命题； ②略 （2）①略，是中线， 、， 、， ， ，是高， ， 、， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②略 五.中考链接 一、单选题 1．（2025·河北承德·一模）将的各边长作如下变化，得到的新三角形与相似的是（   ） A．各边长都加2 B．各边长都减2 C．各边长都乘2 D．各边长都平方 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求解即可． 解：的边长分为， 则，，， 故选：C． 2．（2026·上海杨浦·二模）下列选项条件中，一定能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵相似三角形的判定要求必须满足对应条件，三边对应成比例或两角分别相等或两边成比例且夹角相等，才能判定两三角形相似． A、涉及的边不是的对应边，也不符合判定条件，不能判定，错误． B、只给出的两条边长，缺少的相关条件，不能判定，错误． C、满足三边对应成比例，符合相似三角形的判定定理，∴可以判定，正确． D、仅给出一组角相等，缺少其他必要条件，不能判定，错误． 3．（2026·上海徐汇·一模）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为相似形的是 （    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形，据此进行判断即可． 解：由图可知，只有甲和丙中的对应角相等，且对应边对应成比例，即，，，它们的形状相同，大小不同，是相似形， 故选：B． 二、填空题 4．（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论． 解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $