3.2探索三角形相似的条件（分层作业，16大题型）数学新教材北师大版九年级上册

分层作业 3.2 探索三角形相似的条件 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用两角对应相等判定相似 题型02 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型03 利用三边对应成比例判定相似 题型04 黄金分割 题型05 由平行判定相似 B组 能力进阶 题型01 选择或补充条件使两个三角形相似 题型02 相似三角形的判定综合 题型03 裁剪使两三角形相似 题型04 尺规作图使两个三角形相似 题型05 相似三角形的对数 题型06 黄金分割的应用 题型07 相似三角形的判定（网格问题） C组 思维拔高 题型01 存在相似三角形 题型02 相似三角形的判定（多结论问题） 题型03 与相似三角形有关的分类讨论问题 题型04 与相似三角形有关的几何探究题 利用两角对应相等判定相似题型01 1．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）各有一个角为的两个直角三角形一定（   ） A．全等 B．相似 C．既全等又相似 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，两个直角三角形都有一个角为，因此两组角对应相等的两个三角形相似，又因为边的大小未知，无法保证全等，即可作答． 【详解】解：∵两个直角三角形都有一个角为， ∴ 两个直角三角形相似（两组角对应相等的两个三角形相似）， ∵边的大小未知，无法保证全等， ∴两个三角形不一定全等， 故选：B． 2．如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 【答案】和 【分析】根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 3．如图，相交于点O，，求证：． 【答案】 证明：∵交于点O， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】略 4．如图，是的边上一点，连接，已知，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 先根据以及得到，继而可用两角相等证明相似． 【详解】略 5．（24-25九年级上·江西吉安·月考）如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， 根据折叠性质知，， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，从而得到，再根据折叠的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据折叠的性质可得，再由勾股定理可得，在中，利用勾股定理列式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠性质知，， ∵， ∴， ∴． 在中，，即， 解得：． 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似题型02 1．能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键. 【详解】解：选项A：有对应边成比例，缺少条件成比例的两对应边的夹角相等，即，错误，不符合题意； 选项B：有对应边成比例，且角相等的条件为夹角，正确，符合题意； 选项C：对应边成比例，但是角是同一个三角形内的角相等，错误，不符合题意 选项D：对应边成比例，但角不是给出成比例对应边的夹角，错误，不符合题意 故选：B ． 2．（2026·贵州铜仁·模拟）如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ， ， ． 3．（25-26九年级上·广东江门·月考）如图，、分别是的边、上的点，且，，，，证明：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 通过计算对应边的比例，结合公共角相等，利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来证明． 【详解】略 4．（24-25九年级下·广东汕头·月考）如图，在中，D为上一点，，求证：． 【答案】 解：， ，， ， 又∵， ． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理解题关键． 由题意得到两边对应成比例，且夹角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证． 【详解】略 5．（25-26九年级上·江苏兴化·期末）如图，在正方形中，，是的中点，点在上，且． (1)求证：； (2)试判断是否为直角三角形，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵，且， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴； (2) 解：是直角三角形，理由如下： 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，，，由勾股定理得：， ∵， ∴是直角三角形，且． 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定定理、勾股定理及其逆定理的综合应用． （1）先利用正方形性质得到，再结合已知条件求出相关线段的长度，计算对应边的比例，最后根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”完成证明； （2）通过勾股定理分别求出三条边的平方，再验证是否满足勾股定理的逆定理，若满足则该三角形为直角三角形． 【详解】（1）略 （2）略 利用三边对应成比例判定相似题型03 1．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形对应边成比例逐项验证即可． 【详解】解：A.∵，∴选项不符合题意； B.∵，∴选项不符合题意； C.∵，∴选项符合题意； D.∵，∴选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）将的各边长作如下变化，得到的新三角形与相似的是（   ） A．各边长都加2 B．各边长都减2 C．各边长都乘2 D．各边长都平方 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：的边长分为， 则，，， 故选：C． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 4．在中，，，在中，，，则当________时，． 【答案】 【分析】根据相似三角形的顶点对应顺序确定对应边，利用相似三角形对应边成比例计算比值． 【详解】解：∵， ∴． ∵，，，， ∴，． ∴． 即． 5．已知：如图，在和中，，．求证：． 【答案】证明：令，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】令，求得，推出，即可证明． 【详解】略 黄金分割题型04 1．已知线段，点C是线段的黄金分割点，且，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查黄金分割，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个． 直接利用黄金分割的定义计算出即可． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且， ∴． 故选A． 2．已知P为线段的黄金分割点，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵为线段的黄金分割点，且, ∴. 交叉相乘得. 3．已知，点P、Q是线段的两个黄金分割点，若，则的长是 ___________________． 【答案】## 【分析】先由黄金分割的比值求出，再由进行计算即可． 【详解】解：如图，点、是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键． 4．已知点P是线段的黄金分割点（），，则___________． 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与整个线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，即 ，利用已知条件，结合线段关系，建立方程求解，即可作答． 【详解】解：设，则， ∵点P是线段的黄金分割点， ∴，即， ∴， 整理为 ， ∴， 解得， 得（舍去负根）， 即． 5．如图，我们知道，如果点是线段上的一点，将线段分割成两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为的四条线段，如果，则．求黄金分割数（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的概念和性质，根据题意列出比例式即可，熟练掌握把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割是解题的关键． 【详解】解：设线段，的长为，则， 即，整理得， 解得，（不合题意舍去）， ∴黄金分割数为：． 由平行判定相似题型05 1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，在梯形中，，与交于点，找出图中相似的三角形（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由相似三角形的判定方法，即可判断，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：、只有这一个条件，不能判定与相似，原选项不符合题意； 、由条件不能判定与相似，原选项不符合题意； 、由条件不能判定与相似，原选项不符合题意； 、∵， ∴，， ∴，原选项符合题意； 故选：． 2．（25-26九年级上·河南南阳·月考）如图，在中，F是延长线上一点，连接交于点E，请写出图中的一对相似三角形：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质，可得，从而可根据平行的性质，得到，从而可判断，，，据此作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴． 【详解】解：略 4．已知：如图，在中，，分别是，边（或它们的延长线）上的点，且．求证：． 【答案】分三种情况证明： 对应图， ∵， ∴，， ∵， ∴； 对应图， ∵， ∴，， ∵， ∴， 对应图， ∵， ∴，， ∵， ∴， 综上，三种情况均得． 【分析】通过平行线的性质和相似三角形的判定方法即可求证． 【详解】证明：略． 5．（24-25九年级上·河南新乡·月考）如图，在四边形中，是的中点，交于点．，． (1)求证： (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴点是的中点， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴； (2) 【分析】（1）证明是的中位线，得，，继而推出，，根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据三角形中位线的性质推出，，继而得到，，由平行四边形的性质得，最后利用勾股定理可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 由（1）知：，， ∴，， 又∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形； ∴， 在中，， ∴的长为． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 选择或补充条件使两个三角形相似题型01 1．如图，点在的边上，若要添加一个条件使得，则下列条件中不能满足要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可． 【详解】解：A．若，，则，故此选项不符合题意； B．若，其夹角不相等则不能判定，故此选项符合题意； C．若，，则，故此选项不符合题意； D．若，，则，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．， ， 即， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．， ， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．，，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26九年级上·上海·期末）已知是四边形的对角线，，下列补充的条件中，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键掌握两角对应相等或两边对应成比例且夹角相等（）等判定方法．已知，结合各选项条件判断与是否相似． 【详解】解：∵， 选项A：∵，且，∴，故A能判定相似，不符合题意； 选项B：∵，且，∴，故B能判定相似，不符合题意； 选项C：∵，即，且，∴，故C能判定相似，不符合题意； 选项D：∵，即，但夹角与不一定相等，故D不能判定相似，符合题意 ． 故选：D． 4．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，在已经有公共角的前提下，再添一组角对应相等或者角的两边对应成比例即可． 【详解】解：添加条件，． ∵，， ∴． 故答案为：．（答案不唯一） 5．（25-26九年级上·湖南·期中）如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，． ∴； (2) 添加条件； ∵； ∴， ∴，即， ∵， ∴； 同理还可添加条件：或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由得，结合已知条件，利用即可求证； （2）添加条件；由得，推出，即可求证； 【详解】（1）略 （2）略 相似三角形的判定综合题型02 1．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即D选项符合题意， 选项A、B、C均不符合题意， 故选：D 2．下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，需逐一分析各选项是否符合判定条件，找出不能判定相似的选项． 【详解】解：∵两角分别相等的两个三角形相似，选项A中，，，A选项能判定． ∵三边对应成比例的两个三角形相似，选项B中，，B选项能判定． ∵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，选项C中，且是与的夹角，是与的夹角，，，C选项能判定． ∵选项D中，但不是与的夹角，不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，不能判定，D选项符合题意． 故选D． 3．数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图形上．如图，对于他们剪的两组三角形的说法，正确的是（    ） A．都相似 B．只有图①相似 C．只有图②相似 D．都不相似 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定．图（1）根据三角形的内角和定理，即可求得各自的第三角，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定（1）中的两个三角形相似；图（2）根据图形中的已知数据即可证得，又有对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得相似． 【详解】解：图（1）由和得另一个角为，由和得另一个角为，则两三角形相似； 图（2）∵，，，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4．（25-26九年级·江苏·期末）如图，在锐角三角形中，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵，且， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理1和2． （1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明； （2）由得到，再由夹角相等，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，在中，，为其外心，是边上的中点，点使四边形是矩形，与交于，与关于边对称． (1)求证：与相似； (2)设与相交于点，求证：，． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵，是边上的中点， ∴， ∵点与关于边对称， ∴，， ∴， ∵为外心， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴； (2) 证明：将绕点顺时针旋转，使点落在上点处，连接， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． 【分析】（）由三角形外心的性质可得，即得，再证明，得到，，即得到，又由，根据相似三角形的判定即可求证； （）将绕点顺时针旋转，使点落在上点处，连接，先证明四边形是平行四边形， 得到，再证明，得到，再根据三角形中位线的性质即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形的外心，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，三角形中位线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 裁剪使两三角形相似题型03 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 2．如图，在中，，，．将沿图中的虚线剪开，按照下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①② D．④ 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定定理对各项进行逐项判断即可． 【详解】解：①剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；③剪下的三角形与原三角形两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似；④剪下的三角形与原三角形对应边不一定成比例，故两三角形不一定相似； 综上所述，①②③剪下的三角形与原三角形相似． 故选：A 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，熟记定理内容是解此题的关键． 3．（25-26上·上海·期中）在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：三角形纸片中，， A、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； B、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； C、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； D、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与相似，故此选项正确； 故选：D． 4．如图，点P是等腰的腰上的一点，过点P作直线（不与直线重合）截，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，过点P分别的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，过点P作以点P为顶点的角与∠C相等的角也可以得到原三角形相似的三角形． 【详解】∵， ∴， ①作，可得． ②作，可得． ③作∠APG=∠C，由于∠A是公共角可得， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定方法,熟练运用平行法和非平行线法构造三角形的相似三角形是解题的关键． 5．如图，在中，，，，将沿着图示中虚线剪开，使剪下的小三角形与相似，下面有四种不同的剪法． (1)请选择其中一种正确的剪法______（填序号）； (2)写出所选剪法中两个三角形相似的证明过程． 【答案】(1)①，③ (2) 解：①∵， ∴ 根据相似三角形的判定：两角分别对应相等的三角形是相似三角形 ∴． 解：③∵，，，， ∴，； 即， ∵是公共角． ∴ 根据相似三角形的判定：两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似． 【分析】（1）根据相似三角形的判定可以知道②、④的剪法不能得到相似三角形． （2）根据相似三角形的判定：两角分别对应相等的三角形是相似三角形即可证明． 【详解】（1）解：①剪下的角与原三角形有两个对应角相等，故两三角形相似，所以①正确； ②由题，，，，虽然，但无法确定夹角相等， 也无法确定DE与BC的比值，故 ，不相似，所以②错误． ③由题，，，， ∴，； 即， ∵是公共角． ∴ 故③正确 ④在，角形中有，但是无法确定，无法确定所以④错误． 故选：①，③ （2）略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定定理． 尺规作图使两个三角形相似题型04 1．（24-25九年级上·河北廊坊·月考）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】该题主要考查了尺规作相等角、相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定． 根据作图可知，即可证明． 【详解】解：根据作图可知， 又， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在菱形中，． (1)实践操作：利用尺规，作的平分线交于点．（要求不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1) 如图，即为所求作； (2) 证明：是的平分线， ， ， ， 又， ． 【分析】本题考查了复杂作图——作角平分线，相似三角形的判定，掌握角平分线的作法以及相似三角形的判定定理是解题关键． （1）根据角平分线的作法正确作图即可； （2）结合角平分线的定义得出，再根据两组角对应相等证明相似即可． 【详解】（1）略 （2）略 3．已知等腰△ABC的顶角∠A=36°（如图）． （1）请用尺规作图法作底角∠ABC的平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）证明：△ABC∽△BDC． 【答案】（1）如图，线段BD为所求出； （2）证明：∵∠A=36°，AB=AC， ∴∠ABC=∠C==72°． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°． ∵∠A=∠CBD=36°，∠C=∠C， ∴△ABC∽△BDC． 【详解】试题分析：（1）利用角平分线的作法作出线段BD即可； （2）先根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=72°，再由角平分线的性质得出∠ABD的度数，故可得出∠A=∠CBD=36°，∠C=∠C，据此可得出结论． 试题解析：（1）略 （2）略 4．（25-26九年级上·期末）如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，点D即为所求． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，角平分线的尺规作图，三角形内角和定理，作的角平分线交于点D，则点D即为所求；由三角形内角和定理和角平分线的定义可证明，再由，即可证明． 【详解】略 5．（2025·广东·联考）如图，已知在中． (1)实践与操作：用尺规作图法在边上找一点，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法，不用证明） (2)应用与求解：若为边上的中线，且，，的周长为，求的周长． 【答案】(1) 如图，点即为所求．（作法不唯一） (2)17 【分析】本题主要考查相似三角形的判定、尺规作角、三角形中线的定义以及三角形周长的计算．解题的关键在于理解相似三角形判定中角的关系用于尺规作图；利用三角形中线定义得到线段相等关系，进而通过已知三角形周长求出相关线段和，从而得出所求三角形的周长． （1）本题要求用尺规作图找出使的点．根据相似三角形的判定定理，两角分别相等的两个三角形相似．在中，已有是和的公共角，所以只需作出 ，就能满足相似条件，点即为所求，且尺规作图方法不唯一． （2）已知是边上的中线，根据三角形中线的定义，可得．已知的周长为，，可先求出的值，再利用，将的值求出，最后加上的长度，就能得出的周长． 【详解】（1）解：作，则点即为所求．（作法不唯一） （2）解：为边上的中线， ． 的周长为16，， ， ∴， ，即的周长为17． 相似三角形的对数题型05 1．如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（  ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形． 【详解】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB ∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD 所以有三对相似三角形， 故选：C． 【点睛】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据已知及相似三角形的判定方法从而找到图中存在的相似三角形即可． 【详解】解：①∵， ∴， 又， ∴； ②∵； ∴， 又， ∴； ③∵， ∴， 又， ∴， ∴； ∴图中与相似的三角形（不含）有3个 故选：C． 3．如图所示，在中，，垂足分别为D、E两点，则图中与相似的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 根据相似三角形的判定作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴ 同理可得，，，， ∴共有四个三角形与相似． 故选：A． 4．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，则图中的相似三角形共有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质以及相似三角形的判定，综合运用以上知识是解题的关键．由角平分线的定义和平行线性质以及已知条件，得到，，再判定相似的三角形即可． 【详解】解：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴一共有4对相似三角形， 故选：A． 5．如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中相似的三角形有（    ）    A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【答案】D 【分析】平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理分析判断即可． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴． 综上所述，图中相似的三角形有，，，，，，，，共计8对． 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题关键是理解相似三角形的判定定理，同时注意不要有所遗漏． 黄金分割的应用题型06 1．明朝不仅收复了痛失430余年的燕云十六州，而且让北方重新恢复了汉文化，现存的铁佛寺二十四诸天彩塑造像（如图）正是建成于明朝嘉靖年间．古人在设计造像时，使造像的腰部以下与全身高度比值接近黄金分割比，可以增加视觉美感．若造像全身高度为3 m，则腰部以下约为（     ） A．1.854 m B．1.584 m C．1.416 m D．1.236 m 【答案】A 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：令造像腰部以下的长度为, ∵造像的腰部以下与全身高度比值接近黄金分割比，且造像全身高度 ∴， 则， 即造像腰部以下的长度为. 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，该画面中蒙娜丽莎的脸部被围在矩形内，其中，四边形是正方形．若点恰好是线段的黄金分割点（其中），则下列两个结论：①，②（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②都错误 D．①②都正确 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割、矩形的性质以及正方形的性质，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义得，即可得出结论． 【详解】解：∵点E恰好是线段的黄金分割点（其中）， ∴，故①正确，②错误， 故选：A． 3．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义得到，再根据求解即可． 【详解】∵支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．宽与长之比为的矩形叫黄金矩形．如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论． 【答案】 是，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形 是矩形 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即点F是的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， 即， ∴矩形是黄金矩形． 【分析】本题主要考查了黄金分解的定义，根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可得出答案． 【详解】略 5．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点与点重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：______； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点叫做线段的黄金分割点．在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点是线段的黄金分割点时，线段的长度是______． 【答案】(1) (2) 解：四边形是菱形， 理由：如图3，由折叠知：，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； (3)或 【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可； （2）由折叠可知，由平行线的性质可知，等量代换得到，则可得，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论； （3）首先求出的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出，再分别求出对应的的长，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由操作一可知，由操作二可知， ， 在矩形中，， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：， 由（1）可知，，， 四边形是菱形， ， ， ， 点是线段的黄金分割点， 或， 即或， 或， ，或， 综上可知，的长度是或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，黄金分割等知识，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键． 相似三角形的判定（网格问题）题型07 1．（24-25八年级下·山东淄博·月考）如图，下列图中小正方形的边长为1，阴影三角形的顶点均在格点上，与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三角形的一个角为判断即可．解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：由题意，，， ， 选项A中的三角形是有一个角为，且该角度的邻边之比为，符合题意． 故选：A． 2．（24-25九年级·广东汕头·月考）如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从格点、、、中选取一个格点与点、连接成格点三角形，能使该格点三角形与相似的格点是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， 网格的特点可知， ∴ ∴ 故选：C． 3．如图，与的顶点均在网格的格点处，则与_______相似（填“一定”“不一定”或“一定不”） 【答案】一定 【分析】本题考查相似三角形的判定，先利用网格计算三角形的边长，再通过对应边的比例关系判断是否相似，核心是掌握“三边对应成比例，两三角形相似”的判定定理． 【详解】解：设网格的边长为， 在中，， 由勾股定理得： ， ， ． 在中，易得： ， ， ， ， ， ， 计算对应边的比例： ， ， ， 所以， 所以． 故答案为：一定． 4．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2) 解：． 证明：∵在的正方形方格中， ，， ∴． ∵，，，， ∴． ∴， ∴． 【分析】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系． （1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：；． （2）略 5．如下图，在由小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，，都在格点上，连接，，，．求的度数． 【答案】 【分析】如图，连接．证明，推出可得结论． 【详解】解：如图，连接，． ，， ，，，， ， ，， ． 存在相似三角形题型01 1．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图①，，时，． 如图②，，，则，故； 如图③，，，则，故△； 如图④，，，则△． 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，解题的关键是熟知有两组角对应相等的两个三角形相似． 2．如图，已知在中，为上一点，，，，，垂足为点，连接． (1)写出图中所有相等的线段，并加以说明； (2)图中有无相似三角形？若有，请写出一对，并证明；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)有， 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定及三角形外角定义，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据余角的定义及直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半，可知，再根据等量代换即可得出，然后根据等边对等角及三角形外角的定义即可得出，即可得出； （2）两角对应相等的两个三角形相似则可判断． 【详解】（1）解：，．理由如下： ，， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）有．． ，， ． 相似三角形的判定（多结论问题）题型02 1．在判断“有一个锐角相等的两个直角三角形”是否相似时，甲、乙同学的观点如下：甲：相似；乙：不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据两角分别相等的两个三角形相似进行解答即可． 【详解】解：有一个锐角相等，同时直角相等，根据两角分别相等的两个三角形相似即可判定两个直角三角形相似， 故甲对，乙不对， 故选：C 2．下列一定相似的两个图形是（    ） A．有一个角是的等腰三角形 B．有一个角是的三角形 C．等腰三角形 D．有一个角是的等腰三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．本题根据相似三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：A、的角可能是顶角，也可能是底角，没有交代清楚，不能判定两个图形相似，不符合题意； B、有一个角是的三角形没指明是等腰三角形，不能判定两个图形相似，不符合题意； C、等腰三角形没有交代顶角相等或底边比等于腰的比，不能判定两个图形相似，不符合题意； D、有一个角是的等腰三角形可根据两角对应相等可判定两个图形相似，符合题意． 故选D． 3．如图，下列条件：①；②；③；④；其中单独能够判定的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：，， ， 故①单独能够判定； ，， ， 故②单独能够判定； 由③不能判定， ，， ， 故④单独能够判定； 其中单独能够判定的条件有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·月考）如图，四边形是平行四边形，是的延长线上一点，分别与交于点，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．根据平行四边形性质得到平行是关键．根据平行四边形性质得，，可得，，． 【详解】解：A、四边形是平行四边形， ， ，不符合题意； B、四边形是平行四边形， ， ，不符合题意； C、四边形是平行四边形， ， ，不符合题意； D、无法证明，符合题意； 故选：D． 5．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在菱形中，，点，分别是，上的动点，且与交于点，连接，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．为定值 D．平分 【答案】A 【分析】先证明，可得，如图，过点D作于M，于N，可得，证明，，，再进一步分析即可. 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，，为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点D作于M，于N， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故D正确，不符合题意； ∴， ∴ ； 故A错误，符合题意； ∵，， ∴， 故B正确，不符合题意； ∵， ∴， 故C正确，不符合题意； 故选：A. 与相似三角形有关的分类讨论问题题型03 1．如图：中，是AB边上一点（与AB不重合），过点作直线截，所截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线共有____条． 【答案】4 【分析】根据相似三角形的判定条件画出对应的图形进行求解即可． 【详解】解：如图所示，当直线时，此时△APE∽△ABC，符合题意； 如图所示，当直线时，此时△BPF∽△BAC，符合题意； 如图所示，当∠APG=∠ACB，∠A=∠A时，此时△APG∽△ACB，符合题意； 如图所示，当∠BPH=∠BCA，∠B=∠B时，此时△BPH∽△BCA，符合题意； ∴一共有四条直线满足题意， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件． 2．（25-26九年级上·上海·月考）在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定．两条边的比相等并且对应的夹角相等的两个三角形相似，分和两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：或． 3．已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折痕__________ 【答案】或． 【分析】先画草图借草图分析．如图 重叠的小三角形为，由对折知，所以要使△ABC和相似，只需，此时和C重合，N为AC中点，由三角形中位线定理易得MN的值；或只需，此时与B点重合，M=BM=AM=，再由相似的知识算得MN的值． 【详解】由AC=4，BC=3，∠ACB=90°据勾股定理得AB=5．下面分情况讨论： 第一种情况 如图1 当∠MNC=90°时，折叠后A点落在C点． ∵∠BCA=90° ∴∠MNC=∠BCA 又由对折知：∠MCN=∠A ∴△MCN∽△ABC 由对折知N为AC的中点，据三角形中位线定理得 （㎝）； 第二种情况 如图2 当∠NMB=90°时，折叠后A点落在B点． ∵∠C=90° ∴∠C=∠NMB 又由对折知∠A=∠NBM ∴△ABC∽△BNM ∴ 又由对折知 ∴（㎝）． 综上分析得MN=㎝或㎝． 故答案为：或． 【点睛】本题是折叠类问题，考查相似三角形的判定，兼考查分类讨论的数学方法．关键之处在于紧抓折叠的图形成轴对称及全等解决之． 4．等腰被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰的顶角的度数是____． 【答案】或或 【分析】因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，且其中一个等腰三角形与原三角形相似与故应该分三种情况进行分析，从而求解． 【详解】解：①如图1，∵AB=AC，当BD=CD，CD=AD， ∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴4∠B=180°， ∴∠B=45°， ∴∠BAC=90°． 此时易知∠BDA=∠BAC=90°，∠ABD=∠ABC= 45°，故∽； ②如图2，∵AB=AC，AD=BD，AC=CD， ∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA， ∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B， ∴∠BAC=3∠B， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴5∠B=180°， ∴∠B=36°， ∴∠BAC=108°． 此时易知∠BDA=∠BAC=108°，∠ABD=∠ABC= 36°， 故∽； ③如图3，∵AB=AC，AD=BD=BC， ∴∠B=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C， ∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC， ∴∠ABC=∠C=2∠BAC， ∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°， ∴5∠BAC=180°， ∴∠BAC=36°． 此时易知∠CBA=∠CDB=72°，∠BAC=∠DBC=36°，故有∽； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，并应用相似三角形的判定进行检验，不要漏解，不能多解. 5．如图，在矩形中，厘米，厘米．点P沿边从A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（），那么： (1)当t为何值时，． (2)计算四边形的面积，并提出一个与计算结果有关的结论． (3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2)四边形的面积是，在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变（答案不唯一） (3)当经过秒或3秒时，与相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定及矩形动点问题，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． （1）根据题意得出，由于，列方程并解出即可； （2）根据计算即可得出结论； （3）由于以点Q、A、P为顶点的三角形与的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：厘米，厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动， ∴， ， ∴， 解得：； （2）解：在中， ∵，QA边上的高， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变； （3）解：在矩形中， ， 分两种情况： 当时，即， 解得：（秒）； 当时，即， 解得：（秒）． 故当经过秒或3秒时，与相似． 与相似三角形有关的几何探究题题型04 1．如图①，内有任意一点O，D，E，F分别为OA，OB，OC的中点． (1)求证：． (2)如果点O在的外部（如图②），请仿照图①画出图形，并探讨①中的结论是否仍成立（无须证明）． 【答案】(1) 证明：分别是的中点， ∴，，分别为的中位线， ， ． (2) 如图，（1）中结论仍成立． 【分析】（1）易得，，分别为的中位线，根据三角形的中位线定理可得，那么的三边对应成比例，可证； （2）根据（1）中的证明方法可得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查相似三角形的判定的相关知识，解题的关键是熟练掌握判定方法． 2．有下面一道题： 你能用一张锐角三角形纸片（如图1）折叠出一个菱形，使是菱形的一个内角吗？ (1)小明的做法是：如图2，分别对折三角形的边，找到它们的中点，沿折叠，得到折痕后展开．沿过点的直线折叠使点落在点处，且在直线上，折痕与交于点．请判断小明所做的四边形是否是菱形，并说明理由； (2)小亮对这道题进行了深入的研究：如图3，在上取一点，沿过的直线折叠，使落在点处，且，折痕与交于点；沿过的直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，折痕与交于点．请研究图形并回答以下问题： ①当___________时，； ②在①的情况下，的边满足条件___________时，四边形是矩形． 【答案】(1) 解：是，理由如下， 由折叠的性质可知，， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， , ， ， 四边形为菱形； (2)①；② 【分析】（1）由折叠可知，由平行的性质可得，即，进而得到即可证明； （2）①同理可证为菱形，再证，，进而得到； ②延长交于，当时，可证与重合，进而得到，则四边形是矩形． 【详解】（1）略 （2）①当时，， 同理可证四边形为菱形， ， 由折叠可知，， ， 又，则，即， ， ， （同旁内角互补，两直线平行）； ②的边满足条件时，四边形是矩形， 延长交于， 由①知时，， ， ， ， ，则， 又， ， 又， 与重合， 由折叠可知， 又， ，又， 则四边形是矩形． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期末）定义：我们把称为（，，为常数）的互倒一次函数． (1)请你写出的其中一个互倒一次函数___________； (2)如图，与是一对互倒一次函数，点是在第一象限图像上的任意一点，过点作轴于点，交于点．求证：； (3)如图，与相交于点，与轴相交于点，请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) 证明：设， ∵轴于点， ∴， ∵点在图像上，点在图像上， ∴点纵坐标为，点纵坐标为， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴； (3) 是定值，为，理由： 由得，当时，， ∴与轴相交于点， 由，解得：， ∴， ∴，， ∴． 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，平面直角坐标系中两点间的距离，相似三角形的判定与性质，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）根据“互倒一次函数”定义即可求解； （）设，求得，，所以，，则，，所以，又，则； （）由得，当时，，所以与轴相交于点，由，解得：，得，则，，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：由定义可得，的一个互倒一次函数为， 故答案为：（答案不唯一）； （2）略 （3）略 4．如图（1），P为所在平面上一点，且，则点P叫做的费马点． (1)如果点P为锐角的费马点，且．求证：； (2)如图（2），在锐角外侧作等边，连接．求证：过的费马点P，且． (3)已知锐角，，请利用直尺和圆规在图上做出的费马点（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)证明： 为锐角的费马点，且， ， ，， ∴， ∴． (2) 证明：在上取点P，使，连接，再在上截取，连接． ∵， ∴， ∴为正三角形， ∴，，， ∵为正三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴P为的费马点． ∴过的费马点P，且． (3) 点P即为所求作的点，如图所示： 【分析】（1）先证明，再根据两个角对应相等的两个三角形相似，即可证明结论； （2）在上取点P，使，连接，再在上截取，连接．由此可以证明为正三角形，再利用正三角形的性质得到，，，而为正三角形，由此也可以得到，，现在根据已知的条件可以证明，然后利用全等三角形的性质即可证明题目的结论； （3）以点B、C为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，连接，以点A、B为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接，则、的交点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3） 连接、、、， 根据作图可知：、为等边三角形， 根据解析（2）可知：费马点在、上， ∴与的交点P即为费马点． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定和性质及三角形内角和为等知识；此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数． 5．三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A.LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若内一点P满足，则点P是的布洛卡点，是布洛卡角． （1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是______；PA、PB、PC的数量关系是______； （2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡点，且． ①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明； ②若的面积为，求的面积． 【答案】（1）30°，； （2）① 证明：∵是等腰直角三角形 ∴， 即， ∵，∴， 又∵， ∴. ②． 【分析】（1）根据题意理清布洛卡点、布洛卡角的概念，利用概念来解答； （2）①找，证明过程利用等腰直角三角形的性质及布洛卡角的概念，通过找出三个角分别对应相等来证明； ②把三角形面积看作三个三角形面积之和来表示，除所求三角形面积之外的两个，其中一个根据条件可以利用勾股定理求出面积，另一个可以利用所求三角形面积来表示，建立等式即可求解． 【详解】解：（1）由题意知：， 为等边三角形， ，AB=BC=AC, ， ， ， ， ， 同理可证得出： ， ， 故答案是：30°，． （2）①略 ②∵是等腰直角三角形， ∴，∴. ∵， ∴， ∴，，， ∴. ∵， ∴. 在中，∵，， 由勾股定理得，， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了新概念问题、等边三角形、直角三角形、三角形全等的判定定理和性质、相似三角形的判定定理和性质、勾股定理，涉及知识点多，综合性强，题目较难，解题的关键是：通过阅读材料，弄明白题中的新定义或新概念，然后利用概念及灵活运用所学知识点进行解答． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.2 探索三角形相似的条件 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用两角对应相等判定相似 题型02 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型03 利用三边对应成比例判定相似 题型04 黄金分割 题型05 由平行判定相似 B组 能力进阶 题型01 选择或补充条件使两个三角形相似 题型02 相似三角形的判定综合 题型03 裁剪使两三角形相似 题型04 尺规作图使两个三角形相似 题型05 相似三角形的对数 题型06 黄金分割的应用 题型07 相似三角形的判定（网格问题） C组 思维拔高 题型01 存在相似三角形 题型02 相似三角形的判定（多结论问题） 题型03 与相似三角形有关的分类讨论问题 题型04 与相似三角形有关的几何探究题 利用两角对应相等判定相似题型01 1．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）各有一个角为的两个直角三角形一定（   ） A．全等 B．相似 C．既全等又相似 D．无法确定 2．如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 3．如图，相交于点O，，求证：． 4．如图，是的边上一点，连接，已知，求证：． 5．（24-25九年级上·江西吉安·月考）如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E， (1)求证：； (2)若，，求的长． 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似题型02 1．能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 2．（2026·贵州铜仁·模拟）如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26九年级上·广东江门·月考）如图，、分别是的边、上的点，且，，，，证明：． 4．（24-25九年级下·广东汕头·月考）如图，在中，D为上一点，，求证：． 5．（25-26九年级上·江苏兴化·期末）如图，在正方形中，，是的中点，点在上，且． (1)求证：； (2)试判断是否为直角三角形，并说明理由． 利用三边对应成比例判定相似题型03 1．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）将的各边长作如下变化，得到的新三角形与相似的是（   ） A．各边长都加2 B．各边长都减2 C．各边长都乘2 D．各边长都平方 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 4．在中，，，在中，，，则当________时，． 5．已知：如图，在和中，，．求证：． 黄金分割题型04 1．已知线段，点C是线段的黄金分割点，且，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 2．已知P为线段的黄金分割点，且，则（     ） A． B． C． D． 3．已知，点P、Q是线段的两个黄金分割点，若，则的长是 ___________________． 4．已知点P是线段的黄金分割点（），，则___________． 5．如图，我们知道，如果点是线段上的一点，将线段分割成两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为的四条线段，如果，则．求黄金分割数（结果保留根号）． 由平行判定相似题型05 1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，在梯形中，，与交于点，找出图中相似的三角形（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（25-26九年级上·河南南阳·月考）如图，在中，F是延长线上一点，连接交于点E，请写出图中的一对相似三角形：________． 3．如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 4．已知：如图，在中，，分别是，边（或它们的延长线）上的点，且．求证：． 5．（24-25九年级上·河南新乡·月考）如图，在四边形中，是的中点，交于点．，． (1)求证： (2)若，求的长． 选择或补充条件使两个三角形相似题型01 1．如图，点在的边上，若要添加一个条件使得，则下列条件中不能满足要求的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海·期末）已知是四边形的对角线，，下列补充的条件中，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）． 5．（25-26九年级上·湖南·期中）如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． 相似三角形的判定综合题型02 1．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B．， C．， D．， 2．下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 3．数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图形上．如图，对于他们剪的两组三角形的说法，正确的是（    ） A．都相似 B．只有图①相似 C．只有图②相似 D．都不相似 4．（25-26九年级·江苏·期末）如图，在锐角三角形中，． (1)求证：； (2)求证：． 5．如图，在中，，为其外心，是边上的中点，点使四边形是矩形，与交于，与关于边对称． (1)求证：与相似； (2)设与相交于点，求证：，． 裁剪使两三角形相似题型03 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，．将沿图中的虚线剪开，按照下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①② D．④ 3．（25-26上·上海·期中）在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点P是等腰的腰上的一点，过点P作直线（不与直线重合）截，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 5．如图，在中，，，，将沿着图示中虚线剪开，使剪下的小三角形与相似，下面有四种不同的剪法． (1)请选择其中一种正确的剪法______（填序号）； (2)写出所选剪法中两个三角形相似的证明过程． 尺规作图使两个三角形相似题型04 1．（24-25九年级上·河北廊坊·月考）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 2．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在菱形中，． (1)实践操作：利用尺规，作的平分线交于点．（要求不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 3．已知等腰△ABC的顶角∠A=36°（如图）． （1）请用尺规作图法作底角∠ABC的平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）证明：△ABC∽△BDC． 4．（25-26九年级上·期末）如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 5．（2025·广东·联考）如图，已知在中． (1)实践与操作：用尺规作图法在边上找一点，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法，不用证明） (2)应用与求解：若为边上的中线，且，，的周长为，求的周长． 相似三角形的对数题型05 1．如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（  ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图所示，在中，，垂足分别为D、E两点，则图中与相似的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，则图中的相似三角形共有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 5．如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中相似的三角形有（    ）    A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 黄金分割的应用题型06 1．明朝不仅收复了痛失430余年的燕云十六州，而且让北方重新恢复了汉文化，现存的铁佛寺二十四诸天彩塑造像（如图）正是建成于明朝嘉靖年间．古人在设计造像时，使造像的腰部以下与全身高度比值接近黄金分割比，可以增加视觉美感．若造像全身高度为3 m，则腰部以下约为（     ） A．1.854 m B．1.584 m C．1.416 m D．1.236 m 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，该画面中蒙娜丽莎的脸部被围在矩形内，其中，四边形是正方形．若点恰好是线段的黄金分割点（其中），则下列两个结论：①，②（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②都错误 D．①②都正确 3．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为______． 4．宽与长之比为的矩形叫黄金矩形．如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论． 5．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点与点重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：______； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点叫做线段的黄金分割点．在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点是线段的黄金分割点时，线段的长度是______． 相似三角形的判定（网格问题）题型07 1．（24-25八年级下·山东淄博·月考）如图，下列图中小正方形的边长为1，阴影三角形的顶点均在格点上，与相似的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级·广东汕头·月考）如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从格点、、、中选取一个格点与点、连接成格点三角形，能使该格点三角形与相似的格点是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 3．如图，与的顶点均在网格的格点处，则与_______相似（填“一定”“不一定”或“一定不”） 4．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 5．如下图，在由小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，，都在格点上，连接，，，．求的度数． 存在相似三角形题型01 1．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，已知在中，为上一点，，，，，垂足为点，连接． (1)写出图中所有相等的线段，并加以说明； (2)图中有无相似三角形？若有，请写出一对，并证明；若没有，请说明理由． 相似三角形的判定（多结论问题）题型02 1．在判断“有一个锐角相等的两个直角三角形”是否相似时，甲、乙同学的观点如下：甲：相似；乙：不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 2．下列一定相似的两个图形是（    ） A．有一个角是的等腰三角形 B．有一个角是的三角形 C．等腰三角形 D．有一个角是的等腰三角形 3．如图，下列条件：①；②；③；④；其中单独能够判定的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25九年级上·安徽合肥·月考）如图，四边形是平行四边形，是的延长线上一点，分别与交于点，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在菱形中，，点，分别是，上的动点，且与交于点，连接，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．为定值 D．平分 与相似三角形有关的分类讨论问题题型03 1．如图：中，是AB边上一点（与AB不重合），过点作直线截，所截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线共有____条． 2．（25-26九年级上·上海·月考）在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 3．已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折痕__________ 4．等腰被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰的顶角的度数是____． 5．如图，在矩形中，厘米，厘米．点P沿边从A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（），那么： (1)当t为何值时，． (2)计算四边形的面积，并提出一个与计算结果有关的结论． (3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似？ 与相似三角形有关的几何探究题题型04 1．如图①，内有任意一点O，D，E，F分别为OA，OB，OC的中点． (1)求证：． (2)如果点O在的外部（如图②），请仿照图①画出图形，并探讨①中的结论是否仍成立（无须证明）． 2．有下面一道题： 你能用一张锐角三角形纸片（如图1）折叠出一个菱形，使是菱形的一个内角吗？ (1)小明的做法是：如图2，分别对折三角形的边，找到它们的中点，沿折叠，得到折痕后展开．沿过点的直线折叠使点落在点处，且在直线上，折痕与交于点．请判断小明所做的四边形是否是菱形，并说明理由； (2)小亮对这道题进行了深入的研究：如图3，在上取一点，沿过的直线折叠，使落在点处，且，折痕与交于点；沿过的直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，折痕与交于点．请研究图形并回答以下问题： ①当___________时，； ②在①的情况下，的边满足条件___________时，四边形是矩形． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期末）定义：我们把称为（，，为常数）的互倒一次函数． (1)请你写出的其中一个互倒一次函数___________； (2)如图，与是一对互倒一次函数，点是在第一象限图像上的任意一点，过点作轴于点，交于点．求证：； (3)如图，与相交于点，与轴相交于点，请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 4．如图（1），P为所在平面上一点，且，则点P叫做的费马点． (1)如果点P为锐角的费马点，且．求证：； (2)如图（2），在锐角外侧作等边，连接．求证：过的费马点P，且． (3)已知锐角，，请利用直尺和圆规在图上做出的费马点（保留作图痕迹，不写作法） 5．三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A.LCrelle1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若内一点P满足，则点P是的布洛卡点，是布洛卡角． （1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是______；PA、PB、PC的数量关系是______； （2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡点，且． ①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明； ②若的面积为，求的面积． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $