3.2《探索三角形相似的条件》同步练习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.2《探索三角形相似的条件》同步练习 一、单选题 1.已知△ABC的三边长分别为12cm,15cm,18cm,△DEF的一边长为4cm,当△DEF的另两边长是 下列哪一组时，这两个三角形相似() A.2cm,3cm B.4cm,5cm C.5cm,6cm D.6cm,7cm 2.已知△ABC如图所示，则下列三角形中，与△ABC相似的是() 4 509 6 6 B B 50 C.50° 人659 3.如图，点D,E分别在ABAC边上，下列条件中能判定△ADEAACB的是() A.AD·AE=AB·AC B.DB·BC=AB·AD C.DB·BC=AE·AC D.AD·AB=AE·AC 4.如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=6,AC=9.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影 三角形与原三角形不相似的是() 78 B C A. 78° 5.定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这 样的四边形为“全相似四边形”.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,下列条件 能使四边形ABCD成为“全相似四边形”的是() B D A.∠A=90° B.∠D=90° C.∠C=90° D.∠D=60° 6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AC与BD交于点O,找出图中相似的三角形() A.△AOB与△DOCB.△ABC与△DCB C.△DAB与△ADCD.△AOD与△COB 7.若△ABC的三边长分别是3,5,6，则与△ABC相似的aDEF的边可能是() A.DE=6,DF=8,EF=10 B.DE=9,EF=18,DF=25 C.DE=1,EF=2,DF=2.5 D.DE=6,DF=10,EF=12 8.如图，在等边三角形ABC中，点E、F分别在AC、BC上，且AEAC=APAF,那么下列不正 确的是() F A.△AEP∽aAFC B.△ABP△PAE C.△PBF∽△BAF D.△PBF∽ACBE 二、填空题 9.如图，△ABC中，P是AB上一点，连接CP.请你补充一个条件，使△ABCn△ACP D B 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，中线AD,BE相交于点O.若AC=4,CB=3,则OB的长 为 E AB 11.如图，已知∠ABC=∠ACD=90°，补充一个条件：AC 可使△ABCn△DCA: D 12.如图，已知∠A=∠BCD=∠E=60°，则图中相似三角形是 B E 13.如图，△ACD的三个顶点均在1×4的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角 形与△ACD相似（不全等），则这个格点三角形可以是 (写出一个即可). 14.将三角形纸片△ABC按如图的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B',折痕为EF.已 知AB=AC=3,BC=4,若以点B,F,C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF= E 三、解答题 15.如图所示，将矩形纸片ABCD沿AE折叠得到△AFE,且点F恰好落在DC上.求证： △ADF∽AFCE ...------------------g ABAC 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且ACAD: (1)求证：△ACD∽△ABC.(2)若∠A=60°，AD=2,求AB的长. D 17.如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点. (1)请判断三人的对错：小星一，小红一，小亮一·（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：△ACP△ABC. 小星：若∠ACP=∠B,则可证： 小红：若长治则可证 小亮者品瓷则可证： △ACP∽△ABC △ACP∽△ABC △ACP∽△ABC 18.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB=2AD,AC=2AE. (1)求证：△ADE∽△ABC: SACDE (2)若AD=3,AE=2,求SaDE的长. 19.如图1，△ABC中，∠B=90°，AB=6.AC的垂直平分线分别交AC,AB于点M,O,CO平 分∠ACB, (1)求证：△ABC∽△CBO; (2)如图2，将△40C绕点0逆时针旋转得到△0C,旋转角为a(0<a<360).连接1M, C'M ①求△A'MC'面积的最大值及此时旋转角α的度数，并说明理由； ②当△A'MC是直角三角形时，请直接写出旋转角aα的度数. C M M 图1 A 图2 参考答案 一、单选题 1.C 【分析】本题考查了相似三角形的性质.根据相似三角形对应边成比例逐项验证即可. 2.3,4 解：A:121518,选项不符合题意； 4.45 B.:121518,选项不符合题意； 456 C.2518,.选项符合题意； 467 D.12518,.选项不符合题意； 故选：C. 2.C 解：由图可知，AB=AC=6,∠A=50°∠B=∠C=650, A、三角形各角的度数都是60°， B、三角形各角的度数分别为50°，50°，80°， C、三角形各角的度数分别为50°，65°，65°， D、三角形各角的度数分别为65°，57.5°，57.5°， ∴.只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C. 3.D 解：AD·AE=AB·AC, AD AC ·ABAE,不能判定ADE4CB,故A不符合题意； .DB·BC=AB·AD, DB_AD ,ABBC,由此不能判断△ADEAACB,故B不符合题意； .DB·BC=AE·AC, BD BC ·AEAC,由此不能判断△ADE∽AACB,故C不符合题意； .ADAB=AE·AC, AD AE ·ACAB, 再结合∠A=∠A,能判定△ADEn△ACB,故D符合题意； 故选：D. 4.D 解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； 6-339AC C、9-726AB,∠4=∠4，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似， 本选项不符合题意； D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意. 故选：D. 5.B 解：如图，连接AC,BD交于点O. 在△ABC和△ADC中， AB=AD BC=DC AC=AC' .△ABC2aADC(SSS) 。 ∴.∠ABC=∠ADC, 当∠ADC=90°时，∠ABC=90°， .AB=AD,BC=DC, ∴.AC⊥BD, ∴.∠AB0+∠BAO=90°，∠ACB+∠BAO=90°， ∴.∠ABO=∠ACB, .∠AOB=∠BOC=90°， ∴.△AOBn△BOC,同法可证△AOD∽aDOC, 故选项B符合题意. 当∠A=90°或∠C=90°或∠D=60°时都不符合题意. 故选：B. 6.D 解：A、只有∠AOB=∠DOC这一个条件，不能判定△AOB与△DOC相似，原选项不符合题意； B、由条件不能判定△ABC与△DCB 相似，原选项不符合题意； 、由条件不能判定△DAB与△ADC C 与 相似，原选项不符合题意； 、D∥BC D ∴.∠ADO=∠OBC,∠DAO=∠BCO, ∴.△AODACOB,原选项符合题意； 故选：D 7.D 解：A、,△ABC的三边长分别是3,5,6，DE=6,DF=8,EF=10, 356 .6810, ∴.此选项不符合题意. B、△ABC的三边长分别是3,5,6，DE=9,EF=18,DF=25, 356 .9*18*25, ∴此选项不符合题意. C、.△ABC的三边长分别是3,5,6，DE=1,EF=2,DF=2.5, .356 …122.5, ∴此选项不符合题意. D、.△ABC的三边长分别是3,5,6，DE=6,DF=10,EF=12, 356 .61012, ∴此选项符合题意. 故选：D. 8.B 解：，AE·AC=AP·AF,△ABC是等边三角形， AE AF ∴.APAC，∠C=LB=60°· :∠EAP=∠FAC, ∴.△AEPAAFC, ∴.∠APE=∠C=60°=∠BPF .∠BFP=∠AFB,∠BPF=∠B, ∴.△PBFABAF. .∠PBF=∠CBE,∠BPF=∠C, ∴.△PBF∽aCBE」 所以A,C,D正确； 在△ABP和△PAE中，∠BAP<∠APE,LAPB>∠AEP, 可知这两个三角形不相似. 所以B不正确. 故选：B. 二、填空题 AB AC AP AC 9.∠ACP=∠B(或LAPC=∠ACB或AC=AP或AC=AB）(答案不唯一) 解：在△ABC和△ACP中，∠A=∠A, :∠APC是△BPC 一个外角， ∴.∠APC=∠B+∠BCP 即∠APC>∠B,且∠APC>∠BCP, ,∠ACB>∠ACP AB AC :.当∠ACP=∠B时，△ABC∽△ACP;或当∠APC=∠ACB时，△ABC∽△ACP;或当AC=AP时， △ABC∽△ACP ； AB AC AP AC 故答案为：∠ACP=∠B(或∠APC=∠ACB或AC=AP或AC=AB)(答案不唯一)· 缩 解：，E为AC的中点， cs=0-2 :BE=VCE+BC2=V2+3=V丽 连接ED, 则ED是△ABC的中位线， :DENAB.DE--号48， ∴.∠OED=∠EBA,∠ODE=∠DAB, .∴.△DEAOAB OE DE 1 .OB AB 2 :0B=E=而 3 3 D R DC 11.DA DC 解：补充：DA AB DC AC DA' ABAC .DC DA, AB_AC=k 设DCDA 则AB=DC,AC=DA, .∠ABC=∠ACD=90°， .'BC=AC2-AB2 =kDA2 -DC2 =kAC, BC =k ·AC ABACBC ∴.DC DA AC, ∴.△ABC∽aDCA. DC 故答案为：DA. 12.△ABC△ECD 解：，∠BCE=∠B+∠A=∠BCD+∠DCE,∠A=∠BCD, .∴.∠B=∠DCE, 又∠A=∠E=60°， .△ABCAECD, 故答案为：△ABCAECD. 13.△FHW(答案不唯一) 解：由网格的特点和勾股定理可得CD=山AC=VP+下=反，AD=VP+2=5 FH=V1?+1P=√2，HJ=2,F1=V1?+32=V10 那D==5,, .CDAC AD ∴.△FHJ∽△DCA, 同理可得△EIA∽△DCA,△GEC∽△DCA,△HDB∽△DCA, 故答案为：△FHW(答案不唯二). 12 14.2或7 解：根据△B'FCAC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况： ①△B'FC∽△ABC时， BF CF AB BC, AB=AC=3,BC=4,B'F=BF, B'F 4-BF ·34 解得BF=12 7； ②△B'CF∽△BCA时， BF CF BA CA, AB=AC=3,BC=4,B'F=CF,BF=B'F 而BF+FC=4,即2BF=4, 解得BF=2. 2 故BF的长度是2或7 2 故答案为：2或7 三、解答题 15. 解：证明：：四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=∠C=∠D=90° ∴.∠AFD+∠DAF=90° 矩形纸片 沿MB折叠得到△ME,且点F在D ABCD、 上， .∠AFE=∠B=90° 2 ∴.∠AFD+∠CFE=180°-∠AFE=90° ∴.∠DAF=∠CFE .∴，△ADF∽△FCE 16. AB AC (1)证明：ACAD,∠A=∠A, ∴.△ACD∽△ABC; (2)解：.△ACD∽△ABC,∠ACB=90°， .∠ADC=∠ACB=90°， ∠A=60°， .∠ACD=90°-60°=30°，∠B=90°-60°=30°， 又AD=2, ∴.AC=2AD=4, ∴.AB=2AC=8 17. (1)解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∠ACP=∠B,∠A=∠A, ∴.△ACP∽△ABC; 小红的证明： :C624=A AP AC .△ACP∽△ABC; AC_BC,∠A=∠A不能证明△ACP∽△ABC, 小亮的证明：由CPAC 小星和小红对，小亮错； (2)证明：小星的证明： ∠ACP=∠B,∠A=∠A, .△ACP∽△ABC; 小红的证明： :64-4 ∴.△ACP∽△ABC. 18. 解：(1)证明：.AB=2AD,AC=2AE AB =24C=2 ··AD ,AE AB AC .AD AE, 又∠A=∠A, .△ADE∽△ABC (2)解：AE=2,AD=3,AB=2AD,AC=2AE, .AC=4,AB=6, .DC=AC-CD=1,BE AB-AE=4. S®=4E-2_1皿=4D_3 =3 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：S,EBE42,S.CDE CD1 1 S.CE=3S.mE=2.D 1 c=31 一 S△BDE 2S.4ED 6 19.(1)证明：M0垂直平分AC, ∴.OA=OC, ∴.∠A=∠ACO, .CO平分∠ACB .∠ACO=∠OCB, ∴.∠A=∠OCB, 又∠B=∠B; ∴.△ABC∽△CBO; (2)解：①.∠B=90°， .∴.∠A+∠AC0+∠OCB=90°， .∠A=∠AC0=LOCB=30°， 80=c0=540 2 2 又AB=A0+B0=6, .B0=2,A0=4, .MO垂直平分AC, .0M=40=2,4C=24M, .AM=VA02-M02-23, .'AC=43 取A'C'中点M',连接OM',MM',作MW⊥AC于N, C C M B 由旋转的性质知△AOC≌△A'OC',OM'为OM旋转a所得线段， .'OM'LA'C',A'C'=AC=43,OM'=OM=2, 根据垂线段最短知MN≤MM', 又MM'≤OM+OM', 当M、O、M'三点共线，且点O在线段MM'时，MN取最大值，最大值为2+2=4， 此时a=180°， 1 六△4MC面积的最大值为2×4W5x4=8V5: ②，MC'≤M0+0C'=2+4=6,4V3=A'C', ∴.MC'<A'C, 同理MA'<A'C .△4MC为直角三角形时，只有∠AMC'=90°， 当A和C重合时，如图， A(C) A .△AOC≌aA'OA ∴.∠A'=∠CA0=30°，∠0AA'=∠OCA=30°， ∠A0A=120°， .∠AM0=90°， ∴.∠AOM=60°， .∠AOA+∠A0M=180°， .A'、O、M三点共线， ∴.△AMC'为直角三角形， 此时旋转角a=∠AOA=120°； 当A和C重合时，如图， C(A) M B C' 同理∠0CC'=∠CA0=30°，∠C'=∠0CA=30°， .∠C0C'=120°， .AO=CO,∠AOM=60° .∴.∠C0M=∠AOM=60°， ∴.∠COM+∠COC'=180°， .C'、O、M三点共线， 又∠AM0=90° ∴.△A'MC为直角三角形， 此时旋转角a=360°-∠A'0A=240°； 综上，旋转角a的度数为120°或240°时，△AMC'为直角三角形.