3.2 第2课时 两边成比例且夹角相等的判定方法-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

8.31.52783 12.(1)如图，点D即为所求. 9.,矩形ABFE∽矩形DEFC,且相似比为1：2， (2)如图，点E即为所求， 提能=合 13.（1)证明：如图所示， ,四边形ABCD为矩形， 四边形ABCD为矩形，∴.DC=AB=4. ∴.∠2=∠3=∠4. 六E-A9-安DE=8,AE=2. DE=BE,.∠1=∠2， ∴∠1=∠3. ∴.AD=AE+DE=2+8=10. 又.BE平分∠CBD, 能力在线 ∠1=∠6，∠3=∠6. 1A1.A12.B1&号 又.∠3与∠5互余， ∴∠6与∠5互余，.BF⊥AC 14.(1)BC=3,CD=2.4. (2)△ECF,△BAF与△OBF相似. “腮-8指-08畏器 理由如下：∠1=∠2，∠2=∠4，∠1=∠4. ∴线段CD,BC,AC与AB是成比例的四条线段. 又，∠OFB=∠BFA,.△OBF∽△BAF; :∠1=∠3，∠OFB=∠EFC, (2)是.：SAAc=CD·AB=2AC·BC, ∴△OBF∽△ECF. 畏器 (3△OBF∽△BCF,票-器 ∴线段CD,BC,AC与AB仍是成比例的四条线段， ÷号-88cF-2BF 拓展在线 15.(1)小路四周所围成的矩形A1B1C1D1和矩形ABCD不 :在矩形ABCD中对角线相互平分，图中OA=OC=OF 相似.理由如下： +CF=3+CF,∴.3OA=2BF+9①. △OBF∽△BAF, 由题意知，品-C-04-, 30 15 ..OF_BF 4B=CD=20+2x=10+x BF=AF’ AB CD 20 10 ∴.BF2=OF·AF. 0吉≠10，即02≠20 AF=OA+OF=OA+3, 30 201 ∴.BF2=3(OA+3)②， ∴小路四周所围成的矩形AB,CD,和矩形ABCD不相似. 由①②，得BF=1十√19（负值舍去）， (②)当20产红-3022，母号-号时，小路四周所围皮的 .DE=BE=2+1+√19=3+√19. 20 30 拓展在线 矩形A,B,CD1和矩形ABCD相似， 14.2√5+2 “当小路的宽x与y的比值为子时，能使小路四周所围 第2课时 两边成比例且夹角相等的判定方法 成的矩形A1B1CD1和矩形ABCD相似， 基础在线 第2课时等比性质 1.B2.D3.B 基础在线 4.是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 1.D2.D3B4A5.号 5.,AD是△ABC的中线，BD=CD. 6.D .BD2=ED·AD,.CD2=ED·AD, 能力在线 7.A8.B 儡品 9.(1)由等比性质，得 又：∠ADC=∠CDE, +4_6+3-c+8-a+4+b+3+c+8=a+b+c+15 .△ADCo△CDE. 3 2 4 3+2+4 9 6.设正方形的边长为4a,则AD=CD=BC=4a. :a+6+c=12,a时4=b3=+8=3, Q是CD的中点，BP=3PC,BC=BP+PC, 3 2 4 ∴.DQ=CQ=2a,PC=a. 解得a=5,b=3,c=4. (2)△ABC是直角三角形 器设-2 拓展在线 又∠D=∠C=90, 10.8或-1 .△ADQc∽△QCP. 2探索三角形相似的条件 第1课时两角分别相等的判定方法 7.3或号 基础在线 能力在线 1.D2.B3.A4.∠ADE=∠B(答案不唯一)5.6 8.C9B10.9 6号 7.B 1.正明：由∠A=∠A2-S-合 8.由FD∥AB,FE∥AC,得∠B=∠FDE,∠C=∠FED, ∴.△ABCp△ACD. 故△ABC∽△FDE. 能力在线 (2)CB与AB平行.理由如下： 由(I),得∠D=∠ACB=∠B'CA', 9.B10.B11.3 .CB∥AB. 22 一探究在线·九年 12.在△ABD和△CBE中， :BE平分∠ABC,∴∠DBE=∠EBC '∠DAB=∠ECB,∠ABD=∠CBE, ED∥BC,∴∠DEB=∠EBC. ∴.△ABD∽△CBE, ∴∠DBE=∠DEB..DE=BD 铝品脚部罷 小-認即AE,BC=BD·AC :∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠DBE= ∠DBC+∠CBE (2):SAADE=3,SABDE=2,且△ADE和△BDE中，AD和 ∠ABD=∠CBE, BD边上的高相等， ∴.∠ABC=∠DBE,即在△ABC和△DBE中， DE宽，∠ABC-∠DBE, AB BC 器品 -BD=21 ∴.△ABCc∽△DBE. DE/Bc,铝-既=是 拓展在线 DE=6,.BC=10. 1由∠C=∠C则当8器-置支微-器时，△MCP与 2.(1)BD⊥AC,CE⊥AB, ∴∠BEF=∠CDF=90°. △ABC相似， 又∠EFB=∠DFC, 解得1=只或是。 ∴.△BEF∽△CDF (2)如图，连接DE, 第3课时三边成比例的判定方法 基础在线 :aBE△CDF,票-8部. 1.C2.B3.A4.B5.40 6,如图，△DEF即为所求作的三角形，由勾股 ÷-8S:∠EFD=∠BC 定理可得AB=√I0,AC=√2，而BC=2, ∴△EFD△BFC器- 同理，DF=2√10，DE=2√2，而EF=4, 即DE·BF=EF·BC 鼎品器 8 ∴.△ABC∽△DFE. 4.(1)证明：：∠ACB=90°，CD⊥AB, 7.证△ABC∽△CED,得∠B=∠DEC,.AB∥DE. .∠ACB=∠ADC, 8.B :∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC. 能力在线 9.B10.D11.③④⑤ (2△ACD△ABc,品-0， 12.(1)证明：C-B瓷-是-号∴△ABCn△DBC 即3y53 AB35AB=15. (2)由∠ACD=∠BCE=90°，求得AD=2√13. 5.(1):∠DAB=∠EAC,·∠DAE=∠BAC. 13.(1)△ACF与△GCA相似.理由：可设正方形ABCD, :∠ADE=∠ABC,.△ADED△ABC. CDEF,EFGH的边长为a,则△ACF的三边长分别为AC (2),△ADE∽△ABC, =√2a,CF=a,AF=√5a,△GCA的三边长分别为AC= √2a,CG=2a,AG=√/10a. 器怎提怨 :∠DAB=∠EAC,.△ADBn△AEC. 贤后。9瓷9品鼎9 把梁 :需-瓷-需：△Acp与△GCA相似 6.(1)证明：：AB∥CD,∠B=∠APD=90°， ∠B=∠C=90°，∠BAP+∠APB=90°，∠APB+ (2).'△ACF∽△GCA,.∠1=∠CAF. ∠CPD=90°， .∠1+∠2=∠CAF+∠2=∠ACB=45. ∴∠BAP=∠CPD,.△ABP∽△PCD. 拓展在线 (2)证明：，∠B=∠APD,∠APC=∠APD十∠CPD= 14.△ABC∽△ADE,△BADD△CAE,△AEF∽△BCF, ∠B+∠BAP.∴.∠CPD=∠BAP, △ABF∽△ECF. :∠B=∠C,△ABP∽△PCD. 理由：哈铝能-S△ABCn△ADE (③由②)知，△BDPn△CPE,8部器 ∴∠BAC=∠DAE,∠ACB=∠AED, :点P是BC的中点，BC=8√2，∴.BP=CP=4√2. 又'∠AFE=∠BFC,.△AEF∽△BCF 又∠BAC=∠BAD+∠DAF,∠DAE=∠CAE+ ∠DAF,.∠BAD=∠CAE. 0-6器-华，解得D-号 ..AB_AC.AB_AD ∠B=∠C=45°，.∠A=90, ·ADAE·ACAE' 又BC=8√2，.AC=AB=8, ∴.△BADc∽△CAE..∠ABD=∠ACE, 又∠AFB=∠EFC,∴.△ABF∽△ECF. ÷AD=AB-BD-8-9-号， 微专题7巧用“基本图形”探索相似条件 AE=AC-CE=8-6=2, 1.(1)证明：，ED∥BC,.△ADEc∽△ABC. 能跽 DE=VAD+AE-√(g)+2=9 7.D 级数学（上）·BS一©第2课时 两边成比例且夹角相等的判定方法 基础在线沙知识要点分类练 4.如图两个三角形，其边长已在图上标注，那么 这两个三角形 (填“是”或“不是”)相似 知识点两边成比例且夹角相等的两个三角 三角形，依据是 形相似 1.如图，在△ABC中，P,Q分别为AB,AC边上 5.如图，已知E是△ABC的中线AD上一点，且 的点，且满足C器银据以上信息，高客和 BD2=ED·AD, 淇淇给出了下列结论： 求证：△ADC∽△CDE. 嘉嘉说：连接PQ,则PQ∥BC. 淇淇说：△AQP∽△ABC 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是 ) A.嘉嘉正确，淇淇错误 B.嘉嘉错误，淇淇正确 C.两人都正确 D.两人都错误 6.如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且 BP=3PC,Q是CD的中点. 6 6 70° 求证：△ADQ∽△QCP. B C 第1题图 第2题图 2.如图，已知△ABC为等腰三角形，下列四个图 形中不与△ABC相似的是 40 70 k70 A C D 3.下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的 是 A.AB-AG B.AC-RE 易错点对应关系不明确导致漏解 7.(中考·东营)如图，在△ABC中，AB=6,CA C.∠B=∠ADE D.∠C=∠AED =4,点D为AC中点，点E在AB上，当AE 为 时，△ABC与以点A、D、E为顶 点的三角形相似， 第3题图 第4题图 53探究在线九年级数学（上）·BS 2能力在线 :方法规律综合练 12.如图，已知∠DAB=∠ECB,∠ABD= ∠CBE.试证明△ABC∽△DBE, 8.如图，∠AOB=90°，OA=OB=BC=CD,那么 下列结论成立的是 A.△OABp△OCA B.△OABp△ODA C.△BAC∽△BDA D.以上结论都不对 9.如图，在正三角形ABC中，D,E分别在AC,AB 上，且C-}AE=BE,则有 A.△AEDP△BED B.△AEDP△CBD C.△AED∽△ABDD.△BADp△BCD 第9题图 第10题图 3 拓展在线沙培优拔尖提升练 10.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD, 13.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8, AB=6,BC=4,AC=5,CD=72,则AD的 BC=6,点M,P分别从点B和点C同时出 发，点M沿BC向点C运动，点P沿CA向 长为 点A运动，当任一点到达终点即停止运动， 11.如图，在△ABC中，AB=2,AC=4,将 M,P两点的运动速度均为1个单位/秒，运 △ABC绕点C按逆时针方向旋转得到 动时间为t.求当t为何值时，△MCP与 △A'B'C,分别延长AB,CA'相交于点D,线 △ABC相似. 段BD的长为6. (1)求证：△ABC∽△ACD; (2)CB与AB平行吗，为什么？ 第三章54