3.2 探索三角形相似的条件（4）黄金分割【分层作业】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.2 探索三角形相似的条件（4）黄金分割【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】选择或补充条件证明三角形相似 2 【题型2】黄金分割 5 三.能力提升 9 【题型1】三角形相似的综合证明 9 【题型2】三角形相似动点问题 14 四.素养探究（选做） 18 五.中考链接 21 六.自我评价 31 一.知识梳理（前置作业） 核心知识点基础填空 1. _______________的两个三角形相似。 2. _______________的两个三角形相似。 3. _______________的两个三角形相似。 4. 三角形相似判定选择技巧：已知两角相等优先选用________；已知两边成比例且夹角相等优先选用________；已知三边成比例优先选用________。 （拓展·课本正文未收录，仅供学有余力学生阅读，不强制掌握） 5. 若，则________，线段b叫做a、c的比例中项。 6. 黄金分割比的数值为________。 【参考答案】 1. 两角分别相等 2. 两边成比例且夹角相等 3. 三边成比例 4. AA；SAS；SSS 5. 6. 二.基础达标 【题型1】选择或补充条件证明三角形相似 1．（25-26九年级上·山西长治·阶段检测）如图，点D、E分别是在边上，添加下列条件（    ）仍不能判断与相似． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可：两组角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似． 解：由，，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明，故A不符合题意； 由可得，再由，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故B不符合题意； 由，可得，再由，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明，故D不符合题意； 由结合现有条件，无法证明与相似，故C符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，在上，要说明，还需添加的条件是___________， 【答案】或或 【分析】本题考查了相似三角形判定定理，由于已经有了公共角，可结合三角形的判定方法添加条件． 解：当添加的条件为时， ， ． 当添加的条件为时， ， ． 当添加的条件为， ， ． 故答案为：或或． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③． 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号） 【答案】（1）条件：①②，结论③；（2）条件：①③，结论②；（3）条件：②③，结论①； 以上三个命题均是真命题． 选择（1）进行证明， 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】分别将条件进行组合，判断是否为真命题，再根据三角形相似的判定方法证明即可． 解：略 【点拨】本题考查了三角形相似的判定及性质，掌握相似的判定方法是解题的关键． 4．（【北师大版课时练习】九年级数学上册总复习）如图，在中，，过上一点D作直线交于点E，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可作多少条？ 【答案】2条 【分析】作∠ADE=∠ABC，则△ADE∽△ABC，因此DE符合所求直线的要求．过D作DE∥BC，那么DF符合所求直线的要求． 解：如图 作∠ADE=∠ABC，则△ADE∽△ABC；过D作DE∥BC，则△ADE∽△ABC， 所以，这样的直线可作2条． 【点拨】此题考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 【题型2】黄金分割 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：由题意，， ∵的长度为， ∴. 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与全长的比值为，结合图形判断出为较长线段，代入的长度进行计算即可． 解：点为线段的黄金分割点，且由图可知 为较长线段 ． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在五角星中，，且C，D都是的黄金分割点，．求的长． 【答案】 【分析】利用黄金分割可得：，设，得到关于的方程求解即可. 解：，都是线段的黄金分割点， ． ，， 设，则． ， ， 解得，即． 【点拨】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，在中，的平分线BD交AC于点D．求证：D为线段AC的黄金分割点（）． 【答案】证明：在中，． BD平分， ， ，， ， ． ， ， ， 为线段的黄金分割点． 【分析】本题考查相似三角形，理解黄金分割点的含义是解题关键． 黄金分割点是线段之间的比例关系，可考虑证明. 解：略 三.能力提升 【题型1】三角形相似的综合证明 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴， 在和中， ，， ， 【分析】先由勾股定理求出，再证明，最后由斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似证得． 解：略 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 【答案】图中相似三角形有∽∽∽ 证明∽的过程为： ∵和都为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴∽． 同理可得； 证明的过程为： ∵， ， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质，关键是找到合适的判定方法； 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得∽∽∽． 解：略 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知． （1）写出图中相似的三角形______（用“”连接），并证明你的结论． （2）若点为线段的中点，请再写出一对和（1）问中不一样的相似三角形：______（用“”连接），并证明你的结论． 【答案】（1）解：， 证明：∵， 又， ∴， ∴， （2）或者（答案不唯一）， 解：，证明如下， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴， 即 又∵， ∴, 同理可得，即 又∵ ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定； （1）根据三角形的外角的性质结合已知得出，进而根据两角相等的两个三角形相似，即可得证； （2）根据为线段的中点，得出，根据得出则，根据两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似，即可得证． 解：（1）略 （2）略 4．（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，在中，点D，E分别在边，上，，相交于点O，且， 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 即． 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：①相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，②两三角形有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形相似． （1）根据两三角形有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形相似推出即可； （2）根据两三角形的相似得出，再，即可推出，得出比例式，即可得出答案． 解：（1）略 （2）略 【题型2】三角形相似动点问题 1．（2026·上海崇明·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____． 【答案】 【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得 ，即可求解． 解：如图， ∵BP＝5，BC＝4， ∴CP＝1， ∵PQ⊥AP， ∴∠APQ＝90°＝∠ABC， ∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ， ∴∠BAP＝∠BPQ， 又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°， ∴△ABP∽△PCQ， ∴， ∴ ∴CQ＝ ， 故答案为：． 【点拨】本题考查相似三角形、矩形的性质．根据题意找相似的条件是关键．利用相似比计算线段的长度是常用的方法． 2．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，在矩形中，为线段上的一个动点（点不与 两点重合），连结接，过点作交于，连结．与是否相似？并说明理由； 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及等角的正切相等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．用，可得到和一对锐角相等，再加上一对直角相等，可证相似． 解：．理由如下： ， ， 四边形是矩形， ， ， 又， ． 3．（2026·山东济宁·一模）综合与实践 实验操作 （1）如图1，点O为中点，点B在上方，连接，． 尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明四边形为平行四边形； 拓展应用 （2）如图2，延长至点F，使得，当点B在直线的上方运动，直线的上方有异于点B的动点E，连接，，，．若，求证：． 【答案】（1）解：如图，点D即为所求， （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 【分析】（1）连接并延长，在的延长线上截取，即可得点B关于点O的对称点D，连接，，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）根据得出，，根据已知，可得． （1）解：如图，连接并延长，以点为圆心以为半径画弧，交的延长线与点， ∵点O为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形． （2）略 【点拨】本题考查尺规作图，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定． 四.素养探究（选做） 1．（2026·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考 下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 如图1，点C为线段上一点，点C把线段分成和两段，其中．若线段之间的关系满足，则点C是线段的一个黄金分割点，k为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程： 设，，则， …… 任务： （1）概念理解：根据材料可知，一条线段有________个黄金分割点； （2）补全材料中求黄金分割数k的解答过程； （3）拓展应用：如图2，利用无刻度的直尺和圆规，作线段的黄金分割点C，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）2；（2）解：设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴． （3）如图所示，点即为所求．（答案不唯一） 【分析】（1）由于线段有两个方向，从线段的两个端点分别去考虑满足黄金分割条件的点，此时一条线段有2个黄金分割点； （2）根据题意线段比例关系及线段的表达式列出方程求解x即可； （3）作线段的垂直平分线，交线段于点O，过点作的垂线，截取，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，交于点E，最后以点A为圆心，为半径画弧，交于点C，此时点C即为所求． （1）解：∵一条线段上有两个不同的点可以将线段分成不相等的两条线段，且满足较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比， ∴一条线段有2个黄金分割点； （2）略 （3）证明：设的长度为， ∵为的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 2．（2025·贵州贵阳·三模）如图，矩形中，点，分别是，边上的点，连接，，，若，则图中①，②，③，④四个三角形一定相似的是 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定，余角定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 由垂直得出，然后利用直角三角形的性质和余角性质得出，然后得出即可得出结论． 解：如图所示， ∵， ， ， 在矩形中，， 又， ， 故选：C． 3．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 二、填空题 4．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，之间的距离为__________． 【答案】/ 【分析】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可． 解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2025·云南·模拟预测）如图所示，在中，，D为边上的点，连接，添加一个条件________________，使．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可． 解：∵，， ∴当时，则：，此时； 故添加的条件可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽ 【答案】证明：将绕点B逆时针旋转得到， 由旋转性质，得，，， ， ， ， 即， ∽ 【分析】本题考查了相似三角形的判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，旋转的性质是解题的关键． 由旋转性质可得：，，，进而可得，，由此根据相似三角形的判定定理即可证明 解：略 7．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点P作射线交于点M，使．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． 在中，， 又，， ∴． ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定，等边对等角，得到，三角形的外角得到，即可得证． 解：略 8．（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【答案】证明：法一：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． ． ． 在和中，， ． 法二：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． 在中，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． 法三： ． 四边形为正方形， ． 是的中点， ， ． 在和中， ， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 设正方形的边长为．则，，再利用正方形的性质与勾股定理求得，．即可根据相似三角形的判定定理得出结论． 解：略 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 探索三角形相似的条件（4）黄金分割【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】选择或补充条件证明三角形相似 2 【题型2】黄金分割 3 三.能力提升 4 【题型1】三角形相似的综合证明 4 【题型2】三角形相似动点问题 5 四.素养探究（选做） 7 五.中考链接 8 六.自我评价 11 一.知识梳理（前置作业） 核心知识点基础填空 1. _______________的两个三角形相似。 2. _______________的两个三角形相似。 3. _______________的两个三角形相似。 4. 三角形相似判定选择技巧：已知两角相等优先选用________；已知两边成比例且夹角相等优先选用________；已知三边成比例优先选用________。 （拓展·课本正文未收录，仅供学有余力学生阅读，不强制掌握） 5. 若，则________，线段b叫做a、c的比例中项。 6. 黄金分割比的数值为________。 二.基础达标 【题型1】选择或补充条件证明三角形相似 1．（25-26九年级上·山西长治·阶段检测）如图，点D、E分别是在边上，添加下列条件（    ）仍不能判断与相似． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，在上，要说明，还需添加的条件是___________， 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③． 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号） 4．（【北师大版课时练习】九年级数学上册总复习）如图，在中，，过上一点D作直线交于点E，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可作多少条？ 【题型2】黄金分割 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在五角星中，，且C，D都是的黄金分割点，．求的长． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，在中，的平分线BD交AC于点D．求证：D为线段AC的黄金分割点（）． 三.能力提升 【题型1】三角形相似的综合证明 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知． （1）写出图中相似的三角形______（用“”连接），并证明你的结论． （2）若点为线段的中点，请再写出一对和（1）问中不一样的相似三角形：______（用“”连接），并证明你的结论． 4．（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，在中，点D，E分别在边，上，，相交于点O，且， 求证： （1）；（2）． 【题型2】三角形相似动点问题 1．（2026·上海崇明·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____． 2．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，在矩形中，为线段上的一个动点（点不与 两点重合），连结接，过点作交于，连结．与是否相似？并说明理由； 3．（2026·山东济宁·一模）综合与实践 实验操作 （1）如图1，点O为中点，点B在上方，连接，． 尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明四边形为平行四边形； 拓展应用 （2）如图2，延长至点F，使得，当点B在直线的上方运动，直线的上方有异于点B的动点E，连接，，，．若，求证：． 四.素养探究（选做） 1．（2026·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考 下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 如图1，点C为线段上一点，点C把线段分成和两段，其中．若线段之间的关系满足，则点C是线段的一个黄金分割点，k为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程： 设，，则， …… 任务： （1）概念理解：根据材料可知，一条线段有________个黄金分割点； （2）补全材料中求黄金分割数k的解答过程； （3）拓展应用：如图2，利用无刻度的直尺和圆规，作线段的黄金分割点C，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州贵阳·三模）如图，矩形中，点，分别是，边上的点，连接，，，若，则图中①，②，③，④四个三角形一定相似的是 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 3．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，之间的距离为__________． 5．（2025·云南·模拟预测）如图所示，在中，，D为边上的点，连接，添加一个条件________________，使．（只需写出一个） 三、解答题 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽ 7．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点P作射线交于点M，使．求证：． 8．（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $