3.2 探索三角形相似的条件（1）两角【分层作业】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.2 探索三角形相似的条件（1）两角【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 1 【题型1】概念正误判断 2 【题型2】平行相似 2 【题型3】两相相等相似 3 三.能力提升 4 【题型1】斜A（X）字型相似证明 4 【题型2】母子相似证明 6 【题型3】一线三等角相似模型 6 四.素养探究（选做） 7 五.中考链接 7 六.自我评价 10 一.知识梳理（前置作业） 核心知识点基础填空 1. _______________的两个三角形相似。 2. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________。 3. 如果两个直角三角形有一个________相等，那么这两个直角三角形相似。 4. 相似多边形的对应角________，对应边________。 二.基础达标 【题型1】概念正误判断 1．（2025·上海金山·一模）下列说法中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．含角的两个等腰三角形一定相似 D．含角的两个等腰三角形一定相似 2．（25-26九年级上·上海·阶段检测）下列命题中，正确的是（   ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个钝角三角形一定相似 【题型2】平行相似 1．（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 3．（2025·广东广州·一模）如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 4．（25-26九年级上·北京·课前预习）如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【题型3】两相相等相似 1．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在中，，，图中相似三角形共有（    ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． （1）求证：； （2）求证：． 三.能力提升 【题型1】斜A（X）字型相似证明 1．（25-26九年级上·江西九江·期末）如图，在中，，过上一点作直线交的直角边于点，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 二、解答题 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，，相交于点，．求证：．                                                           3．（25-26九年级上·福建福州·期中）已知：如图，在中，、分别在边、上，连接，，，，，求证：． 4.（25-26九年级上·北京东城·期中）如图，在中，，分别是，边上一点，连接．请你添加一个条件，使，则你添加的这一个条件可以是_________________． 【题型2】母子相似证明 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件：________，使． 2.（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，以点C为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点D；以点D为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点A．求证：． 【题型3】一线三等角相似模型 1.（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，等边三角形中，点D在边上，，求证：． 2．（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． （1）求证：． （2）添加一个条件 求证：． 3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． （1）求证：； （2）求证：． 四.素养探究（选做） 1．（2026九年级上·四川眉山·竞赛）如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有______对． 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，的高相交于点O，请写出两个与相似的三角形__________． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是__________． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·四川凉山·中考真题）如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·青海西宁·中考真题）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·山东济宁·二模）如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件______，使． 4．（25-26九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 三、解答题 5．（2026·陕西榆林·三模）如图，已知，请用尺规作图法在边、上分别作点、，连接，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 6．（2026·河北张家口·三模）如图，，点在的延长线上，射线平分． （1）尺规作图：在射线上求作点，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 探索三角形相似的条件（1）两角【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】概念正误判断 2 【题型2】平行相似 3 【题型3】两相相等相似 6 三.能力提升 9 【题型1】斜A（X）字型相似证明 9 【题型2】母子相似证明 12 【题型3】一线三等角相似模型 14 四.素养探究（选做） 18 五.中考链接 18 六.自我评价 29 一.知识梳理（前置作业） 核心知识点基础填空 1. _______________的两个三角形相似。 2. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________。 3. 如果两个直角三角形有一个________相等，那么这两个直角三角形相似。 4. 相似多边形的对应角________，对应边________。 【参考答案】 1. 两角分别相等 2. 相似 3. 锐角 4. 相等；成比例 二.基础达标 【题型1】概念正误判断 1．（2025·上海金山·一模）下列说法中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．含角的两个等腰三角形一定相似 D．含角的两个等腰三角形一定相似 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．利用相似三角形的判定依次判断可求解． 解：A、两个等腰三角形不一定相似，故选项A不符合题意； B、两个直角三角形不一定相似，故选项B不符合题意； C、含角的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不符合题意； D、含角的两个等腰三角形一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． 2．（25-26九年级上·上海·阶段检测）下列命题中，正确的是（   ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个钝角三角形一定相似 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，等边三角形由于角固定，故总是相似．根据相似三角形的判定定理，两个三角形相似需对应角相等或对应边成比例．等边三角形的所有角均为，故一定相似． 解：A．两个等腰三角形的顶角可能不相等，故对应角不一定相等，不一定相似． B．两个直角三角形的锐角可能不相等，故对应角不一定相等，不一定相似． C．∵等边三角形的每个内角均为60°，∴任何两个等边三角形的对应角都相等，∴它们一定相似． D．两个钝角三角形的钝角可能不相等，故对应角不一定相等，不一定相似． 因此，正确的是C． 故选：C． 【题型2】平行相似 1．（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 2．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 【答案】证明：， ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由即可得出结论 解：略 3．（2025·广东广州·一模）如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【答案】证明：方法一：、分别是、的中点， ，， ， ， ； 方法二：、分别是、的中点， ， ． 【分析】本题考查考查相似三角形的判定，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．方法一：利用先得出，再结合即可证明；方法二：先证明是的中位线，得出，即可证明． 解：略 4．（25-26九年级上·北京·课前预习）如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】图中与相似的三角形有个，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定推出答案即可． 解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ． 【题型3】两相相等相似 1．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在中，，，图中相似三角形共有（    ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定；根据直角三角形两锐角互余，求证角相等是解题的关键． 可证得，所以相似三角形有3对． 解：∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴共有3对相似三角形． 故选：B． 2．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 【答案】证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵（对顶角相等）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 【分析】先根据等边三角形的性质得到，与已知的相等；再利用对顶角相等得到；最后根据两角分别相等的两个三角形相似，即可证得． 解：略 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 【答案】证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够找到两角相等是证得的关键． 由，证明，可证得． 解：略 4．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又由（1）可知：， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）根据同角的余角相等即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，结合（1）中的结论，即可得证． 解：（1）略 （2）略 三.能力提升 【题型1】斜A（X）字型相似证明 1．（25-26九年级上·江西九江·期末）如图，在中，，过上一点作直线交的直角边于点，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 解：如图，过点D作，垂足分别为点， 即这样的直线可以作3条． 故选：C． 二、解答题 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，，相交于点，．求证：．                                                           【答案】证明：∵，相交于点， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键； 通过对顶角相等得到，进而可得到三角形相似． 解：略． 3．（25-26九年级上·福建福州·期中）已知：如图，在中，、分别在边、上，连接，，，，，求证：． 【答案】证明：已知，， ∴． 已知，， ∴． 可得，． ∵，且是与的公共角． ∴可得． ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明． 通过证明三角形相似，再利用相似三角形的性质来证明角相等． 解：略 4.（25-26九年级上·北京东城·期中）如图，在中，，分别是，边上一点，连接．请你添加一个条件，使，则你添加的这一个条件可以是_________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似. 利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件即可. 解：， 当时，. 故答案为：（答案不唯一） ． 【题型2】母子相似证明 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件：________，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 利用相似三角形的判定定理进行添加条件即可． 解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 2.（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，以点C为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点D；以点D为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点A．求证：． 【答案】见解析 【分析】由作法得，则，由三角形外角的性质和等边对等角可得，进一步可证明，再由，即可证明． 解：证明：由作法得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【题型3】一线三等角相似模型 1.（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，等边三角形中，点D在边上，，求证：． 【分析】利用等边三角形性质得，结合，，得出，即可证明． 证明：为等边三角形， ， ，， ， ． 2．（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． （1）求证：． （2）添加一个条件 求证：． 【答案】（1）证明：为等边三角形， ， ． ， ， ， ； （2）或或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质说明，再根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案； 对于（2），分别根据“角边角”和“角角边”证明即可． 解：（1）略 （2）解：或或． 证明如下： 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ． 故答案为：或或． 3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴． 在和中，，， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰三角形的定义． （1）根据得到，即，证明，即可证明； （2）根据和是等腰直角三角形可知，，进而得到，，即，根据，即可证明． 解：（1）略 （2）略 四.素养探究（选做） 1．（2026九年级上·四川眉山·竞赛）如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有______对． 【答案】4/四 【分析】本题考查相似的判定，熟练掌握相似的判定条件是解题的关键． 是、、的公共角，然后根据所给的相等的角，可找出图中的相似三角形； 再根据，可知，可得出，即可判定出，看共有几组即可． 解：∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴图中相似三角形有4对． 故答案为：4． 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，的高相交于点O，请写出两个与相似的三角形__________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．由题意可知，从而可证，即得出，即可解答． 解：∵的高相交于点O， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴写出两个与相似的三角形，可以是，（答案不唯一）． 故答案为：，（答案不唯一）． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是__________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造辅助线． 在上截取，，导角证明，即可证明． 解：在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与相似的三角形是， 故答案为：． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·四川凉山·中考真题）如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解：由旋转的性质可得，，， ∴选项B与选项C不符合题意， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项D不符合题意， 在旋转的过程中，不一定成立，故A符合题意． 2．（2026·青海西宁·中考真题）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，先运用是角平分线，证明，得，证明，故，结合是中线，G为的中点，得是中位线，故，代入数值整理得，在和中，为公共角，但和，和均不相等，相应边不成比例，故和，即可作答． 解：∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故B选项正确，不符合题意； ∵是中线， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴是中位线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 在和中，为公共角， 但和，和均不一定相等，相应边不成比例， 故和不相似， 故D选项错误，符合题意， 故选：D． 二、填空题 3．（2025·山东济宁·二模）如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件______，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 解：在和中，， 是的一个外角， ， 即，且， ， 当时，；或当时，；或当时，； 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 4．（25-26九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 【答案】 【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可． 解：∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 三、解答题 5．（2026·陕西榆林·三模）如图，已知，请用尺规作图法在边、上分别作点、，连接，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点D、E即为所求： 【分析】先在截取，再作，且交于点D，则点D、E即为所求． 解：作图依据： ∵，， ∴． 6．（2026·河北张家口·三模）如图，，点在的延长线上，射线平分． （1）尺规作图：在射线上求作点，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的性质，先作线段的垂直平分线，该垂直平分线与射线的交点即为所求的点，此时点到、两点的距离相等，满足的条件； （2）先利用等腰三角形等边对等角的性质，由推出；再根据角平分线的定义得到；接着利用三角形外角的性质，得出是的外角，因此∠，结合角平分线的结论进一步推出；然后结合作图得到的，再次利用等边对等角得到，从而推导出且；最后根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理，证明． （1）解：如图，点即为所求． （2）证明：∵， ∴， ∵射线平分， ∴， 又∵为的外角， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $