3.1 相似多边形（1）【分层作业】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.1 相似多边形（1）【分层作业】 内容要点：线段的比、成比例线段、相似多边形定义 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】线段的比 2 【题型2】成比例线段 3 【题型3】比例基本性质简单变形 3 【题型4】相似多边形概念辨析 4 【题型5】简单相似多边形计算 5 三.能力提升 6 【题型1】比例线段方程应用 6 【题型2】多边形相似说理 6 四、素养探究（选做·拓展习题） 8 五.中考链接 9 六.自我评价 11 一.知识梳理（前置作业） 核心知识点基础填空 1. 两条线段的比：在同一长度单位下，两条线段的长度的_______叫做这两条线段的比；线段的比是一个没有单位的_______数。 2. 成比例线段：四条线段 a、b、c、d，若 ，则称这四条线段为___________。 3. 比例的基本性质：____________（a、b、c、d 均不为0）。 4. 相似多边形：两个多边形满足①__________；②_________，则这两个多边形相似。 5. 相似多边形对应边的比叫做________；写相似时，要把________顶点写在对应位置。 （拓展·课本正文未收录，仅供学有余力学生阅读了解，不强制掌握） 6.（拓展）比例中项：若成比例线段满足 ，线段___叫做线段 a、c 的比例中项，可得关系式________；线段的比例中项只取________数。 二.基础达标 【题型1】线段的比 核心考点：求线段的比，注意单位统一 1．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）一条线段的长度是另一条线段的4倍，这两条线段的比是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知线段，线段，则的值为_______． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，点在线段上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正方形中，点E是对角线上的一点，，过点E作，，垂足分别为点F，G，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型2】成比例线段 核心考点：利用成比例线段概念求线段长，注意顺序性。 1．（25-26九年级上·广东清远·期末）若是成比例线段，其中，则线段b的长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）下列各组线段是成比例线段的是（    ） A．2，4，6，12 B．2，3，6，12 C．3，6，8，12 D．2，4，6，8 3．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）如果在比例尺为的地图上，、 两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是_____千米． 4．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）已知是比例线段，______． 【题型3】比例基本性质简单变形 核心考点：比例基本性质交叉相乘或设k值法 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）若，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知． （1）求的值； （2）当时，求的值． 3．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知，则__________． 【题型4】相似多边形概念辨析 核心考点：相似多边形两个条件缺一不可 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．相似三角形是全等三角形 B．所有矩形都相似 C．全等三角形是相似三角形 D．所有等腰直角三角形不一定都相似 2．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形相似 B．任意两个菱形相似 C．任意两个正方形相似 D．以上说法都正确 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的是（   ） A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形 B．各边成比例的两个多边形是相似多边形 C．边数相同的两个多边形是相似多边形 D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形 4．（25-26九年级上·河南安阳·期末）下列说法错误的是（    ） A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同 D．所有的矩形都相似 【题型5】简单相似多边形计算 核心考点：利用相似多边形对应边成比例计算边长 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，四边形与四边形相似，求出与的长度和的度数． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知四边形与四边形相似，边与边是对应边，，，则___________． 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，四边形四边形，则________． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 三.能力提升 【题型1】比例线段方程应用 核心考点：建立比例方程求解线段 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）点把线段分成两部分，如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 3．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）在线段上找到一个点，且，满足，设，则线段________． 4．（2026·上海金山·一模）小海周末到漕泾镇沙积村游览，发现村内的高宅基冈身遗址，藏有兰蛤、毛蚶等近二十种6400年前的远古贝类化石，他想了解一个毛蚶化石的长度，在化石旁放了一支笔拍下照片．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，那么该化石的实际长度为____． 【题型2】多边形相似说理 核心考点：完整说理，同时验证角、边两个条件 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________． 3．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． （1）求花圃四周绿地的宽度； （2）矩形与矩形相似吗？请说明理由． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． （1）若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． （2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 四、素养探究（选做·拓展习题） 核心考点：比例中项拓展应用 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，若是与的比例中项，，求___________ 二、解答题 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段，，满足． （1）求的值； （2）当线段是，的比例中项且时，求的值． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段a，b满足，且． （1）求a，b的值； （2）若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知线段、、满足，且． （1）求、、的值； （2）若线段长是线段、的比例中项，求的值． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）下列各组线段中，成比例的一组是（    ）． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（2026·安徽阜阳·一模）若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2026·广东云浮·一模）如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 二、填空题 5．（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为________． 6．（2026·江苏扬州·三模）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于_________． 7．（2026·河南新乡·一模）小倩发现遗忘在家属院的滑板找不到了，查看物业室的监控，截取到小男孩站在一根实际长度为的竖直物旁的画面，量出截图中该物体和小男孩的高度分别为和，则小男孩的实际身高为______________米． 8．（2025·甘肃平凉·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为______． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 相似多边形（1）【分层作业】 内容要点：线段的比、成比例线段、相似多边形定义 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】线段的比 2 【题型2】成比例线段 4 【题型3】比例基本性质简单变形 6 【题型4】相似多边形概念辨析 9 【题型5】简单相似多边形计算 12 三.能力提升 14 【题型1】比例线段方程应用 14 【题型2】多边形相似说理 18 四、素养探究（选做·拓展习题） 22 五.中考链接 26 六.自我评价 31 一.知识梳理（前置作业） 核心知识点基础填空 1. 两条线段的比：在同一长度单位下，两条线段的长度的_______叫做这两条线段的比；线段的比是一个没有单位的_______数。 2. 成比例线段：四条线段 a、b、c、d，若 ，则称这四条线段为___________。 3. 比例的基本性质：____________（a、b、c、d 均不为0）。 4. 相似多边形：两个多边形满足①__________；②_________，则这两个多边形相似。 5. 相似多边形对应边的比叫做________；写相似时，要把________顶点写在对应位置。 （拓展·课本正文未收录，仅供学有余力学生阅读了解，不强制掌握） 6.（拓展）比例中项：若成比例线段满足 ，线段___叫做线段 a、c 的比例中项，可得关系式________；线段的比例中项只取________数。 【参考答案】 1. 比；正 2. 成比例线段 3. 4. 各角分别相等；各边成比例 5. 相似比；对应 6.（拓展）；；正 二.基础达标 【题型1】线段的比 核心考点：求线段的比，注意单位统一 1．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）一条线段的长度是另一条线段的4倍，这两条线段的比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：将较短线段的长度看作1份，则较长线段的长度为4份，两条线段的比为． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知线段，线段，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了单位换算和分数除法，熟练掌握相关知识点是解题的关键. 先将线段进行单位换算，将线段统一单位，再进行比值运算． 解：线段cm换算为毫米， cmmmmm 则 故答案为： ． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，点在线段上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例的性质，掌握运用表示和的长是解题的关键． 解：， ∴， ∴， ∴, 故选D． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正方形中，点E是对角线上的一点，，过点E作，，垂足分别为点F，G，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明四边形是正方形，得到，根据勾股定理求出，进而计算的值即可． 解：∵正方形，点E是对角线上的一点，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设， 则， ， ， ． 【题型2】成比例线段 核心考点：利用成比例线段概念求线段长，注意顺序性。 1．（25-26九年级上·广东清远·期末）若是成比例线段，其中，则线段b的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了成比例线段的定义，解题的关键是根据成比例线段的定义列出比例式 ，再代入已知线段长度求解； 根据成比例线段的定义得到，代入，，，得到，再利用比例的基本性质求解的值． 解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）下列各组线段是成比例线段的是（    ） A．2，4，6，12 B．2，3，6，12 C．3，6，8，12 D．2，4，6，8 【答案】A 【分析】根据成比例线段的性质，若四条线段中，最大线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段为成比例线段，依次验证各选项即可得到结果． 解：对于选项A：，， ∴，故A符合题意； 对于选项B：，， ∴，故B不符合题意； 对于选项C：，， ∴，故C不符合题意； 对于选项D：，， ∴，故D不符合题意． 3．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）如果在比例尺为的地图上，、 两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是_____千米． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解． 解：设A、B两地的实际距离为 则： 解得千米 A、B两地的实际距离为千米 故答案为：． 4．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）已知是比例线段，______． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段的定义得，再利用比例的基本性质求解即可，掌握比例线段的定义是解题的关键． 解：∵是比例线段， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3】比例基本性质简单变形 核心考点：比例基本性质交叉相乘或设k值法 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）若，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设参数法，将，用含同一参数的式子表示，再代入各选项验证即可得到结果． 解：∵， ∴设，（）． 对于，根据比例的基本性质，由可得，故错误； 对于，，仅满足比例关系，具体值不固定，因此不一定等于，故错误； 对于，，故错误； 对于，，故正确． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知． （1）求的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了比的基本性质，熟练掌握设未知数法表示比值是解题的关键． （1）设，代入化简计算即可； （2）由，得，解得，代入化简计算即可． （1）解：∵， 设， ∴； （2）解：∵， 设， ∵， ∴， 解得， ∴． 3．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可根据已知条件得到a和b的关系，再通过代入或比例变形判断各选项是否成立． 解：∵，， ∴， 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：代入得左边，仅当时等式成立，不是恒成立，C错误； 选项D：将等式交叉相乘得 ， 展开得， 化简得，与已知条件一致，等式恒成立，D正确． 4．（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知，则__________． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，通过交叉相乘将比例方程转化为线性方程，再求解x与y的比值． 解：由已知， 交叉相乘得， 展开得， 移项得， 即， 所以， 故答案为：． 【题型4】相似多边形概念辨析 核心考点：相似多边形两个条件缺一不可 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．相似三角形是全等三角形 B．所有矩形都相似 C．全等三角形是相似三角形 D．所有等腰直角三角形不一定都相似 【答案】C 【分析】本题考查相似图形的判定，熟知相似图形的判定是解答的关键．根据相似图形的判定，结合相关知识的性质逐项判断即可求解． 解：A、相似三角形不一定是全等三角形，原说法不正确，本选项不符合题意； B、矩形的四个角都相等，但边不一定成比例，所以所有矩形不一定相似，本选项不符合题意； C、全等三角形的对应角相等，故全等三角形一定是相似三角形，本选项符合题意； D、所有的等腰直角三角形都相似，本选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形相似 B．任意两个菱形相似 C．任意两个正方形相似 D．以上说法都正确 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，解题关键是掌握相似多边形的条件是对应角相等且对应边成比例．根据相似多边形的条件，结合矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，逐一分析，即可判断． 解：∵ 相似多边形需对应角相等且对应边成比例， 矩形角都相等，但边长比例可能不同，如长宽分别为与的矩形，对应边不成比例，因此不一定相似，故A错误． 菱形边都相等，但角可能不相等，如一个内角为的菱形与一个内角为的菱形，对应角不相等，因此不一定相似，故B错误． 正方形角都相等且边都相等，符合对应角相等且对应边成比例，因此任意两个正方形相似，故C正确． 故选：C． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的是（   ） A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形 B．各边成比例的两个多边形是相似多边形 C．边数相同的两个多边形是相似多边形 D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，熟知相似多边形的判定方法是解答此题的关键．根据相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，进行判定即可． 解：边数相同，各边成比例，各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形，故ABC错误，D正确． 故选：D． 4．（25-26九年级上·河南安阳·期末）下列说法错误的是（    ） A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同 D．所有的矩形都相似 【答案】D 【分析】 本题考查了相似多边形的定义及性质，熟记相关结论是解题关键 解：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形， 所以相似多边形的边数相同、对应边成比例、对应角相等， 故A、B、C不符合题意； 所有的矩形不一定对应边成比例，故所有的矩形不一定都相似， 故D符合题意， 故选：D 【题型5】简单相似多边形计算 核心考点：利用相似多边形对应边成比例计算边长 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，四边形与四边形相似，求出与的长度和的度数． 【答案】，， 【分析】本题考查了相似多边形的性质； 根据相似多边形的对应边成比例，对应角相等，以及四边形内角和定理计算即可． 解：四边形与四边形相似， ， ，， 又， ， 即． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知四边形与四边形相似，边与边是对应边，，，则___________． 【答案】 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，结合已知条件计算即可． 解：∵四边形与四边形相似，与是对应边，， ∴， ∵， ∴， 解得． 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，四边形四边形，则________． 【答案】20 解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 【答案】解：不相似，理由： ， ，， ， ，， ， 不相似． 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，灵活运用相似多边形的对应边成比例这一判定定理是解题的关键．先根据边框宽度计算出内边缘矩形的长和宽，再分别计算内外矩形对应边的比值，通过判断比值是否相等来确定两个矩形是否相似． 解：略 三.能力提升 【题型1】比例线段方程应用 核心考点：建立比例方程求解线段 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）点把线段分成两部分，如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例线段与一元二次方程的求解；设，由题意得，，由得到关于的一元二次方程，解方程即可． 解：设， ，且， ，， ， ，即， ，，， ， 负值舍去， ， 故选：B． 二、填空题 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 【答案】或或 【分析】分类讨论求出比例的值，分别计算即可． 解：设所求的线段是，根据题意得到， ， 解得． ， 解得． ， 解得． 3．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）在线段上找到一个点，且，满足，设，则线段________． 【答案】 【分析】本题考查成比例线段和解一元二次方程，设出未知数，根据题意列方程是解题的关键． 设，则 ，根据比例关系列出方程，解一元二次方程，并根据舍去不合题意的根，即可得解． 解：设，则 ， 由得， 即， 两边乘以得， 展开得， 整理得， 解方程得， 由于，即，而（不合题意），故取， 所以． 故答案为： 4．（2026·上海金山·一模）小海周末到漕泾镇沙积村游览，发现村内的高宅基冈身遗址，藏有兰蛤、毛蚶等近二十种6400年前的远古贝类化石，他想了解一个毛蚶化石的长度，在化石旁放了一支笔拍下照片．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，那么该化石的实际长度为____． 【答案】4 【分析】本题考查了比例的性质，设化石的实际长度为cm，根据照片上的长度与实际长度成比例，建立比例方程求解． 解：设化石的实际长度为cm， 由题意得：， 解得：． 故答案为：4． 【题型2】多边形相似说理 核心考点：完整说理，同时验证角、边两个条件 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 【答案】A 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 解：如图所示， 甲：设原矩形边长为，， 向外扩张一个单位后边长变为，， 则， ∴新矩形与原矩形不相似，甲说法不正确； 乙：将边长为的菱形按图2的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行， 因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故乙正确． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________． 【答案】甲和丙 【分析】本题主要考查相似图形的判断，特别是矩形的相似条件． 根据题干信息，分别计算每个矩形长与宽的比值，若比值相等，则矩形相似． 解：由题图可知，甲、乙、丙都是矩形， 每个内角都为． 甲和乙不相似． 甲和丙相似． 乙和丙不相似 故答案为：甲和丙． 3．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． （1）求花圃四周绿地的宽度； （2）矩形与矩形相似吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）矩形与矩形不相似，理由如下： 由（）知，，则矩形的长为米，宽为米． 原矩形的长与宽的比值为，矩形的长与宽的比值为． ∵ ∴矩形与矩形不相似 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似多边形的判定，熟练掌握矩形的面积公式和相似多边形的定义是解题的关键． （1）设花圃四周绿地的宽度为米，根据矩形面积公式，分别表示出花圃的长和宽，再结合花圃面积是原绿地面积的一半列出方程求解． （2）先求出矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，判断对应边的比例是否相等，对应角是否相等（矩形的内角都是直角，对应角相等）． （1）解：设花圃四周绿地的宽度为米．则花圃的长为米，宽为米．由题意得 ， ， 解得或， ∵绿地的宽度不能超过原矩形的宽度，即，解得， ∴， 答：花圃四周绿地的宽度为； （2）解：略． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． （1）若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． （2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 【答案】（1）不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （2） 【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 解：（1）略 （2）∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 【点拨】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式． 四、素养探究（选做·拓展习题） 核心考点：比例中项拓展应用 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，若是与的比例中项，，求___________ 【答案】/ 【分析】由，求得，是与的比例中项，解一元二次方程即可求得， 解：∵， ∴， ∵是与的比例中项， ∴，即， 解得：， ∴ 故答案为： 【点拨】本题考查了比例中项和公式法解一元二次方程，熟练掌握比例中项是解决问题的关键 二、解答题 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段，，满足． （1）求的值； （2）当线段是，的比例中项且时，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了比例线段，能根据题中所给等式，用表示出进而代入计算是解题的关键． （1）根据题意，用表示出，再进行计算，即可求解； （2）根据比例中项的定义进行计算即可． （1）解：由题知， 故， ∴． （2）解：∵，， 故， ∵线段是，的比例中项， ∴， 故（负值舍去）． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段a，b满足，且． （1）求a，b的值； （2）若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据可得，再代入计算即可得； （2）根据比例中项的定义求解即可得． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 则． （2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 则x的值为． 【点拨】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知线段、、满足，且． （1）求、、的值； （2）若线段长是线段、的比例中项，求的值． 【答案】（1），，；（2）的值为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，求一个数的算术平方根； （1）设，，，根据列方程求出即可； （2）根据比例中项的意义得出，然后开平方即可． （1）解：∵， ∴设，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）∵是、的比例中项， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 即的值为． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）下列各组线段中，成比例的一组是（    ）． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查比例线段的概念，若四条线段成比例，则最小线段与最大线段的乘积等于另外两条线段的乘积，据此依次判断即可． 解：对各选项依次判断： 选项A：∵，，， ∴该组线段不成比例，A错误； 选项B：∵，，，且， ∴该组线段成比例，B正确； 选项C：∵，，， ∴ 该组线段不成比例，C错误； 选项D：∵，，， ∴该组线段不成比例，D错误． 2．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据，可得，从而得到，然后代入化简即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D 3．（2026·安徽阜阳·一模）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用分式的运算性质变形所求式子，再代入已知条件计算即可得到结果． 解：． 4．（2026·广东云浮·一模）如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，先求出两个四边形的相似比，再计算面积比即可． 解：四边形四边形，且，， 它们的相似比为， 它们的面积之比为， 即． 二、填空题 5．（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为________． 【答案】4 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 解：∵， ∴． 故答案为：4 6．（2026·江苏扬州·三模）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例中项，根据比例中项的定义直接列式求值即可得出答案． 解：设a，b的比例中项线段为， ∵线段，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴a，b的比例中项线段等于， 故答案为：． 7．（2026·河南新乡·一模）小倩发现遗忘在家属院的滑板找不到了，查看物业室的监控，截取到小男孩站在一根实际长度为的竖直物旁的画面，量出截图中该物体和小男孩的高度分别为和，则小男孩的实际身高为______________米． 【答案】 解：设小男孩的实际身高为， 得， 解得， ． 答：小男孩的实际身高为1.2米． 8．（2025·甘肃平凉·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为______． 【答案】195 【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， 大风筝和小风筝相似，相似比为， 大风筝两条对角线长小风筝两条对角线长， 大风筝两条对角线的长分别为和， 大风筝两条对角线长的和为， 故答案为：195． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $