精品解析：山西晋中市榆次第一中学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

榆次一中高二年级第一学期10月考试数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知过点的直线的方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由直线的方向向量求出直线的斜率，从而利用点斜式即可求出直线方程. 【详解】由直线的方向向量可得该直线的斜率为， 又直线过点，所以直线方程为，即. 故选：A. 2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求得向量在向量上的投影向量. 【详解】由题意有：向量在向量上的投影向量是： ， 故选：A. 3. 已知两条直线：和：，．若，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线平行列式求出参数值. 【详解】由直线与平行， 则， 所以. 4. 已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线所过定点，再根据点与圆的位置关系判断即可. 【详解】已知直线，变形为， 由，即直线恒过定点， 代入圆的方程的左端有，即点在圆内， 所以直线与圆相交， 故选：A 5. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图， 易得，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又因为平面，，所以平面平面. 因为平面，所以H为线段FG上的点. 由平面，平面，得， 又，则， 由平面，得平面， 因为，所以平面，，. 因为， 所以，，. 所以 . 因为，所以. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解. 6. 已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】设出点，利用两点距离公式将转化为圆的方程，则条件等价为两圆有交点，再根据两圆相交求解即可. 【详解】设，由，得，化简整理，得. 由题意得，圆（）与有公共点，故， ，，解得，所以实数的最小值是3. 7. 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】 建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 8. 已知直线与直线相交于点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线恒过定点及两直线垂直，可求得点P的轨迹方程，分析可得，要使四边形面积的最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】变形为，恒过， 变形为，恒过， 因为，所以， 所以交点P的轨迹是以和为直径端点的圆， 则圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为 B. 已知，，若直线：与线段有公共点，则 C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D. 若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【详解】对A，直线与垂直，但直线的斜率不存在，直线的斜率为0，不能说这两条直线的斜率之积为，故A错误； 对B，直线：，过定点，斜率为. 如图， ，， 因为直线：与线段有公共点，所以.故B正确； 对C，过点且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为或，故C错误； 对D，，所以圆心为，半径为. 因为该圆上至少有3个点到直线的距离为1，所以圆心到直线的距离不大于2， 所以.故D正确. 10. 正方体的棱长为2，点M为侧面内的一个动点（含边界），点P、Q分别是线段、的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点M，使得二面角大小为 B. 最大值为6 C. 直线与面所成角为时，则点M的轨迹长度为 D. 当时，则三棱锥的体积为定值. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意得到二面角的平面角,其中，可得判定A错误；建系求出点及向量，再应用向量的数量积坐标表示计算最值判断B,根据线面角得出的轨迹，结合边长得出角进而应用弧长公式求出侧面内的劣弧判断C,应用向量垂直得出点的位置，再应用等体积法求体积即可判断D. 【详解】在正方体中，可得平面， 因为平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为，其中，A错误；    如图建系，设， ， 存在时，取最大值为6，B正确；  设面法向量为，直线与面所成角为时， 可得，所以， 则点M的轨迹是以为球心，2为半径的球， 点M为侧面内的一个动点，则点M的轨迹在侧面内是以为圆心，2为半径的劣弧， 如图所示，分别交，于，，如图所示，，则， 则，劣弧的长为，C正确 当时，， 所以，所以，可得为， 则三棱锥的体积为， 所以当时，三棱锥的体积为定值，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解决轨迹长度的关键是先设点计算求轨迹方程，点M的轨迹是以为球心以2为半径的球，再结合侧面内的边长得出角进而得出弧长即可. 11. 已知点，动点满足，动点的轨迹为曲线，为直线上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点，则的最小值为 B. 过作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 C. 若点是上一点，则的最大值为 D. 若点是上一点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出曲线的方程并确定曲线形状，利用两点间线段最短求解判断A；求出直线的方程判断B；利用三角代换求出最大值判断C；利用向量数量积的意义求出最大值判断D. 【详解】由，得，整理得， 即，因此曲线是以点为圆心，1为半径的圆， 对于A，， 当且仅当是线段与圆的交点时取等号，A正确； 对于B，由H为直线上一点，设点，以线段为直径的圆 ，即， 因此直线MN的方程，即， 令，解得，因此直线MN过定点，B正确； 对于C，由点是上一点，令， 因此，其中锐角由确定， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，表示圆上点到点的距离， 取，，，则 ， 当直线与圆相切于第一象限内的点时，最小，最大， 而，则，， ，因此，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与圆：相交于点，，，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】由得，圆心，半径.如图， 因为，所以圆心到直线即的距离为. 所以，所以. 13. 如图在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为，，，四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据，，，四点共面得到. 14. 已知平面四边形，，，，，沿直线将翻折成，则直线与直线所成角的余弦值最大为_____. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】取中点，以为原点建立空间直角坐标系，利用线线角的向量法求解得最大值. 【详解】平面四边形，，，则， 过作于，取中点，连接，则， ，过作平面的垂线，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设二面角的大小为，在翻折过程中始终垂直于， 则， ，设直线与直线所成角为， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以直线与直线所成角的余弦值的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知中，顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高线所在的直线方程为． （1）求顶点、的坐标； （2）过作直线，要使、两点到过点的直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】（1） ， （2） 或 【解析】 【分析】(1)利用互相垂直的直线斜率乘积为，可设的方程，进而求出的方程；联立与中线的方程求出点坐标.设出点坐标，利用中点公式表示出中点的坐标，代入方程，并结合点在上，联立方程组求得点坐标. (2)分两种情况讨论：当直线与平行时，以及当直线经过线段的中点时，分别利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 由题意可设直线的方程为， 则，解得， 故直线的方程为. 因为是边上的中线，点是直线与直线的交点， 联立方程组： ，解得， 所以点的坐标为. 设点，则的中点的坐标为. 因为点在直线上， 所以，化简得①. 又因为点在高线上， 所以②. 联立①②：，解得， 所以点的坐标为. 综上所述，顶点、的坐标分别为，. 【小问2详解】 要使过点的直线上，、两点到的距离相等，分两种情况： 情况一：直线与直线平行. 因为直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 情况二：直线经过线段的中点. 线段的中点坐标为，即. 此时直线过点和点， 其斜率， 所以直线的方程为，即. 经检验，直线到和的距离分别为和，不相等，故舍去. 综上所述，直线的方程为或. 16. 已知圆． （1）若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； （2）设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）易判断点A在圆,因此切线方程有两条,分直线的斜率不存在和直线斜率存在讨论即可； （2）利用相关点法求出的轨迹方程，进而可求的轨迹的长度. 【小问1详解】 圆C的标准方程为: , 点在圆外, 故过点A且与圆C相切的直线有2条， ①当直线的斜率不存在时, 圆心到直线的距离 直线与圆C相切. (2)当直线的斜率存在时,可设直线,即 圆心C到直线的距离, 由题意,解得, 此时,即, 终上所述,直线的方程为或. 【小问2详解】 设因为为的中点, 所以, 点E在圆C上 , 即， 即， 所以点的轨迹是以为圆心,为半径的圆, 的轨迹的长度为. 17. 在中，，，，，分别是，上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使，存在动点使如图所示． （1）求证：平面； （2）设直线与平面所成线面角为，求的最大值． 【答案】（1） 因为，则，且，可得， 将沿DE折起到的位置，始终有， 因为平面，所以平面， 由平面，可得， 且平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得的表达式，结合二次函数的性质来求得的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，CD，CB两两垂直，翻折后， 由勾股定理得， 以C为原点，直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则， 可知 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 且， 因为直线BM与平面线面角为，则 ， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为． 18. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，平面与平面的夹角的余弦值为，. （1）证明：平面平面. （2）求三棱柱的体积. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）在正方形中，. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的定理证明平面，由面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）建立恰当的空间直角坐标系，三棱柱的体积转化为，可求结果； （3）根据两平面夹角的计算方法，可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，. 设，则. 因为，，且， 所以，即. 因为，所以. 设平面的法向量为. 因为，， 所以，令，则. 易得平面的一个法向量为. 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，解得，， 所以. 【小问3详解】 解：设平面的法向量为，因为，， 所以，令，得. 设平面与平面的夹角为. 因为平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）.直线. （1）已知圆C：，圆：的圆心分别为C，，且，判断圆C与圆的位置关系； （2）若直线与（1）问结论中的圆自上而下交于，两点，直线与轴、轴分别交于、两点；若（1）问结论中的圆与轴自上而下交于两点. ①设，，求的值； ②求证：直线､交点在定直线上. 【答案】（1）相交 （2）①； ②，，则直线，直线， 联立两直线方程消得：（**）， 由韦达定理有，即， 代入（**）可得，解得. 故直线交点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）由棋盘距离的定义及的范围求出，再由圆与圆的位置关系的判断方法可得结果； （2）①联立直线和的方程，并得到韦达定理，再由和分别得到和，结合韦达定理并化简可得；②设出和的点斜式方程并联立消掉，结合韦达定理化简得到，即得证. 【小问1详解】 圆：转化为标准方程为：， ，，，或0， ，，，，，， ，，，与相交. 【小问2详解】 ①直线，，设，，由， 消去得：，由韦达定理，，， 由有， 同理由有，（*）， 将韦达定理代入（*），； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆次一中高二年级第一学期10月考试数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知过点的直线的方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（  ） A. B. C. D. 3. 已知两条直线：和：，．若，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 5. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与直线相交于点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为 B. 已知，，若直线：与线段有公共点，则 C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D. 若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为 10. 正方体的棱长为2，点M为侧面内的一个动点（含边界），点P、Q分别是线段、的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点M，使得二面角大小为 B. 最大值为6 C. 直线与面所成角为时，则点M的轨迹长度为 D. 当时，则三棱锥的体积为定值. 11. 已知点，动点满足，动点的轨迹为曲线，为直线上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点，则的最小值为 B. 过作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 C. 若点是上一点，则的最大值为 D. 若点是上一点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与圆：相交于点，，，则_______． 13. 如图在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为__________. 14. 已知平面四边形，，，，，沿直线将翻折成，则直线与直线所成角的余弦值最大为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知中，顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高线所在的直线方程为． （1）求顶点、的坐标； （2）过作直线，要使、两点到过点的直线的距离相等，求直线的方程． 16. 已知圆． （1）若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； （2）设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 17. 在中，，，，，分别是，上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使，存在动点使如图所示． （1）求证：平面； （2）设直线与平面所成线面角为，求的最大值． 18. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，平面与平面的夹角的余弦值为，. （1）证明：平面平面. （2）求三棱柱的体积. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）.直线. （1）已知圆C：，圆：的圆心分别为C，，且，判断圆C与圆的位置关系； （2）若直线与（1）问结论中的圆自上而下交于，两点，直线与轴、轴分别交于、两点；若（1）问结论中的圆与轴自上而下交于两点. ①设，，求的值； ②求证：直线､交点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $