精品解析：2027 届上海市复旦附中飞行考自招考试数学试题

2027届上海市复旦附中飞行考自招考试数学试题 （满分100分时间60分钟） 一、填空题（每题7分，共8个小题，满分56分） 1. 方程实根是_____． 2. 已知，其中为整数，，则_____． 3. 如图，，，…都是等腰直角三角形，点，，…，按图中规律，的坐标是_______． 4. 已知，且，则最接近的整数为_____． 5. 不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是_____． 6. 将绕原点逆时针旋转得如图所示曲线，已知，，连线交旋转后图形于，则_____． 7. 已知，，均为正整数，使和均为整数的有_____组． 8. 已知，则_____． 二、解答题（14+14+16） 9. 中，，，于，为上一点，交于，过作于，连接． （1）当时，求证：是中点； （2）若，，求 10. 已知方程． （1）若方程恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围； （2）若存在实数，使得对于方程中的每一个实数根，都满足，求实数． 11. ，已知或，求证： （1）2026不能表示成此形式； （2）2025能表示成此形式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届上海市复旦附中飞行考自招考试数学试题 （满分100分时间60分钟） 一、填空题（每题7分，共8个小题，满分56分） 1. 方程实根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的范围，去掉绝对值符号，再两边平方转化为一元二次方程求解，最后根据范围舍去增根并检验． 【详解】解：由二次根式被开方数非负，得， ，此时， 原方程化为， 左边， 右边，即， 两边平方得， 展开整理得， 因式分解得， 解得，， ， 舍去， 检验：把代入原方程，左边，右边，左边右边， 原方程的实根是． 2. 已知，其中为整数，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先对原式分母有理化，再估算原式的取值范围，结合的条件确定整数的值． 【详解】解：， 设，则： ， ， ，即，可得， 又，， ，可得， ， 根据题意，为整数，，变形得： ，其中，即，符合条件，， ． 3. 如图，，，…都是等腰直角三角形，点，，…，按图中规律，的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】通过计算，，… 的长度发现 ，通过观察点的位置发现每个点为一个循环周期，利用除以 的余数确定 所在的象限位置，结合等腰直角三角形性质得出坐标． 【详解】解：∵，，…都是等腰直角三角形，， ∴ ， 由勾股定理得：．  ∵， ∴． 同理可得， ……，  ∴， ∴， 观察图形可知，点的位置每个一循环，即 在  轴负半轴，在第二象限角平分线上，在 轴正半轴，……， ∵， ∴的位置与方向相同，在第二象限角平分线上， 设 的坐标为 ，则 ，且 ， 由勾股定理得， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的坐标为， 故答案为 ． 4. 已知，且，则最接近的整数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】对所求式子平方，代入已知条件化简得到平方后的结果，再开方估算即可得到最接近的整数. 【详解】解：对平方，得． ，代入上式： 分子：； 分母：； ， ， ， ， ，，与的差值远小于与的差值，， 因此最接近的整数是． 5. 不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】先求解不等式组得到解集，再根据所有整数解的和为12，分情况讨论可能的整数解，推导得到的取值范围. 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因此不等式组的解集为． 分两种情况讨论： 当时，要使所有整数解的和为，符合条件的整数解为，和为，因此可得； 当时，要使所有整数解的和为，符合条件的整数解为，和为，因此可得； 综上，的取值范围是或. 6. 将绕原点逆时针旋转得如图所示曲线，已知，，连线交旋转后图形于，则_____． 【答案】15 【解析】 【分析】利用旋转变换的性质，将整个图形顺时针旋转还原.此时曲线变回，点A，B分别落在y轴和x轴上，求出变换后的直线解析式及交点坐标，利用面积割补法求解． 【详解】解：将图形绕原点顺时针旋转，设变换后的对应点分别为，，，，曲线变回， ∵点在第二象限角平分线上，且， ∴顺时针旋转后，点落在y轴正半轴上，坐标为， ∵点在第一象限角平分线上，且， ∴顺时针旋转后，点落在x轴正半轴上，坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与反比例函数解析式：， ∴， 整理得， 解得，， 当时，；当时，， ∴交点，的坐标分别为和， ∵旋转不改变图形面积， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 7. 已知，，均为正整数，使和均为整数的有_____组． 【答案】 【解析】 【分析】设，，均为正整数，整理得，为正整数，对不同的计算符合的的个数，求和即可得到结果． 【详解】解：∵和均为整数，设，，是正整数，， ∴， ∴， 整理得：，即， 设，是正整数，则，得，， ∴， 根据条件，得，对枚举计算： ：，，共组； ：，，共组； ：，，共组； ：，，共组； ：，无正整数，共组； 总组数为． 8. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先计算前几项推导运算规律，验证规律后，根据规律计算最终结果． 【详解】解：∵， ∴； ； ； 由此可得规律：， 设，则， 两式相加得：， ∴ ∴， ∴． 二、解答题（14+14+16） 9. 中，，，于，为上一点，交于，过作于，连接． （1）当时，求证：是中点； （2）若，，求 【答案】（1）证明：过点作，交于点， ∴， ∴， 中，，，于， ∴， ∴， ∴为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即是中点； （2）2 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，先证明，再证明，可得，从而得，即是中点； （2）证明四点共圆，得，作于点，得是等腰直角三角形，求出，再证明得，从而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵中，，， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， 作于点， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 已知方程． （1）若方程恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围； （2）若存在实数，使得对于方程中的每一个实数根，都满足，求实数． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）注意到恒为方程的根，原方程可降次为；将两边同除以，化为，用对勾函数的单调性与最小值（差值法）确定三次因式根的个数，从而分三类讨论； （2）恒为根，先由得或；再对每个候选检验“每一个实数根都满足条件且被开方数非负”：时条件等价于，取恰使方程的全部实根满足；时负根使，舍去． 【小问1详解】 解：把代入方程左边，得， ∴恒为方程的根， ∴原方程可化为， ∴方程的不同实数根由与的不同实数根组成． ∵的根不为（时左边）， ∴两边同除以，得， 记（），则的不同实数根个数等于的不同实数根个数． 记，则，，且， 对任意：， 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴； ∴对任意，，当且仅当时取等号， 当时，， ∵，，∴，又， ∴，∴，即在上随的增大而减小， 又可小于任何数，可大于任何数（为充分大的正整数）， ∴对任意实数，在上恰有一个实数根， 而在上的根：当时恰有个（一个在内，一个在内）；当时恰有个（）；当时没有， ∴当时，恰有个实数根（负根）， 当时，有个不同实数根（一个正根与一个负根）， 当时，有个不同实数根（一个负根与两个正根）． ∴原方程：当时，不同实数根为与一个负根，共个（该负根为负数，不为）； 当时，共个不同实数根； 当时，若，则，即也是的根，此时原方程的不同实数根为、、，共个；其余时共个， ∴方程恰有两个不同实数根当且仅当． 【小问2详解】 解：∵是方程的根，∴对，条件成立，即， ∴（两边均非负）， ∴，∴或． 当时：对每个实数根，条件平方并整理，得，即， ∴，、、， 当时，原方程为，其实数根恰为（二重）、、， 逐一验证：三者均使（值分别为、、，均非负），条件成立， ∴满足要求． 当时：条件要求且，即；平方整理得， ∴、 代入得，代入得， 而时方程有三个实数根、、，其中使，不满足条件，矛盾； ∴舍去． 综上，． 11. ，已知或，求证： （1）2026不能表示成此形式； （2）2025能表示成此形式． 【答案】（1）证明：∵对任意，或， ∴是的倍数， ∴是的倍数． ∵，且右边每个加数都是的倍数， ∴是的倍数． ∵，且是的倍数， ∴是的倍数， ∴必为的倍数． ∵除以余，不是的倍数， ∴不能表示成此形式； （2）证明：∵，是的倍数， ∴2025能表示成此形式． 验证：取的值如下： 当且时，； 当或时，； ， ， 则 ， ∴ 能表示成此形式． 【解析】 【分析】（1）由或可知是的倍数，即是的倍数，将左右两边同时加上得到，根据、是的倍数，可知必为的倍数，进而判断是不是的倍数即可； （2）同（1）判断2025是不是的倍数，进而验证即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $