3.2 一元一次方程及其解法”的理解与拓展（含11种题型） 2026-2027学年沪教版（五四制）数学六年级上册

【原卷版】 微专题 “3.2 一元一次方程及其解法”的理解与拓展 【沪教版】六年级上册“3.2 一元一次方程及其解法”核心是：认识一元一次方程的概念：只含一个未知数，未知数次数为1，且含未知数的式子都是整式的方程；方程本质是用等式表达等量关系，是算术方法向代数思维的转变； 解一元一次方程的基本思路是化归，通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1这五步，逐步把复杂方程转化为：的最简形式；移项要变号、去括号注意符号，是最容易出错的要点，解题后可代入原方程检验根是否正确； 拓展方面，要区分方程的解与解方程两个概念；遇到含括号、分母的实际问题，先找准等量关系再列方程；同时可以了解：一元一次方程只有一个解；学习本节，不仅要掌握解方程的计算技能，更要学会把生活问题抽象成数学等式，为后续学习二元一次方程、不等式打下基础。 第3章 一元一次方程 3.2 一元一次方程及其解法 1、相关知识准备 （1）方程、解方程、方程的解 含有未知数的等式叫作方程；求方程的解的过程叫作解方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解； （2）相关的等式性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 即：如果，那么（为一个数或一个式子）； 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 即：如果，那么；如果，那么； 【说明】根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； 2、一元一次方程 只含有一个未知数且含有未知数的项是一次项的方程叫作一元一次方程； 一元一次方程的一般形式为：； 3、一元一次方程的解法 （1）求方程的解的过程叫作解方程；一般地，方程中含有括号时，要先去括号，再求方程的解； （2）利用等式性质解简单的一元一次方程的一般步骤： ①去括号； ②移项； ③合并同类项，把方程整理成：的形式； ④两边同除以未知数的系数（或同乘），得到方程的解； 【说明】解以为未知数的一元一次方程方程，就是把方程逐步转化为形如：（为常数）的形式，正确与规范使用等式性质是转化的重要依据； 题型1、判断是否是一元一次方程 例1、已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、已知方程是关于的一元一次方程，则的值为______． 题型2、判断是否是一元一次方程解 例3、小马虎在解决关于的方程时，误把“”看成了“”，得到方程的解为．则原方程的解为（    ） A． B． C． D． 例 4、代数式的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值： x 0 9 6 3 0 则关于x的方程的解为____________ 题型3、等式的性质1、2的正确使用 例5、运用等式性质进行的变形、正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例6、下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是 （填序号）． 题型4、已知一元一次方程求参数的值 例7、若关于的方程是一元一次方程，则的值为（     ） A．2 B．0 C．2或0 D．1 例8、若是关于x的一元一次方程，则m的值是__________． 题型5、利用合并同类项与移项解一元一次方程 例9、方程的解为_______． 例10、对于方程，解答过程的正确顺序是（    ） ①合并同类项，得．②移项，得．③系数化为1，得． A．①②③ B．③②① C．②①③ D．③①② 题型6、利用去括号解一元一次方程 例11、解方程： 例12、x加上4的和等于x减去14的差的3倍，求x的值． 题型7、利用去分母解一元一次方程 例13、在解方程时，在方程的两边同时乘以，去分母正确的是（ ） A． B． C． D． 例14、下面是小张同学解一元一次方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母（方程两边乘6），得．        第一步 去括号，得．                             第二步 移项，得．                               第三步 合并同类项，得．                                    第四步 系数化为1，得．                                       第五步 任务一：以上解方程的过程中，第一步“去分母”的依据是___________． 任务二：第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________ 任务三：请写出该方程正确的解． 题型8、已知一元一次方程的解求参数 例15、已知关于的方程的解是，则的值为________． 例16、若关于的方程的解是，则的值为__________． 题型9、一元一次方程解的关系的应用 例17、若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（      ） A．4 B．2 C． D． 例18、已知方程和方程 有相同的解，那么的值是______． 题型10、绝对值方程 例19、若，则x的值是（      ） A．3 B．1 C．1或3 D．3或 例20、解答下列问题： （1）若，则__________； （2）若，则__________． 题型11、与一元一次方程相关的新定义问题 例21、定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______． 例22、如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”． （1）请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由； （2）若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值． 1、方程的概念 （1）含有未知数的等式叫做方程； 【说明】方程必须同时具备两个条件：一是等式；二含有未知数； （2）等式性质是解一元一次方程的依据： 两同一不变：①＂两同＂一是等式两边要参与同一种运算，二是加、减、乘或除以（除以的数不为 0 ）的一定是同一个数或式子．②＂一不变＂是指等式变形后仍是等式； 【说明】等式还有其他的一些性质，在解方程中也时常会用到，它们是： ①对称性：如果，那么；即等式的左、右两边交换位置，所得结果仍是等式； ②传递性：如果，且，那么，这条性质也叫作等量代换； （3）判断等式的变形是否正确的方法： 当等式两边加、减或乘同一个数（或式子）时，变形均正确；当等式两边除以同一个数（或式子）时，要先判断这个数（或式子）是否为 0 ，若确定该数（或式子）不为 0，则该变形正确，否则错误； 2、一元一次方程的概念 （1）—元一次方程 ①概念：只含有一个未知数且含有未知数的项是一次项的方程叫作一元一次方程； ②一元一次方程的一般形式：； 【说明】一元一次方程具有如下特点 （1）是一个方程；（2）只含有一个未知数（元）；（3）含有未知数的项是一次项；（4）含未知数的项的系数不为 0；（5）分母不含未知数； （2）判断一个式子是不是一元一次方程的方法 先看这个式子是不是等式，分母是否含有未知数；再看式子是否只含有一个未知数；最后看式子含有未知数的项是不是一次项； 3、解一元一次方程 （1）解一元一次方程的基本思路： 通过适当的变形，把一元一次方程化简为（、为常数，且）的形式，得出方程的解为； （2）利用等式的性质解简单的一元一次方程步骤如下： ①利用等式的基本性质1，将方程左右两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），使方程逐步转化为一边只含有未知数的项，另一边只有常数项的形式； ②利用等式的基本性质2，将方程左右两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知数的系数化为1，从而求得方程的解； ③可将方程的解代入原方程进行检验，可判断解出来的值是否正确； （3）利用移项合并同类项解一元一次方程； 移项：将方程中等号一边的某项改变符号后移到另外一边，这种变形的过程称为移项。两变一不变：位置和符号变化，绝对值不变。 移项的依据：等式性质 1 ，即在方程的两边同时加（或减）同一个适当的数或整式，结果仍然相等。 移项的目的：将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边，使方程更接近 的形式。 通过移项解一元一次方程的步骤： ①移项； ②合并同类项，把方程整理成 的形式； ③两边同除以未知数的系数（或乘），得到方程的解 ； （4）利用去括号解一元一次方程 去括号：解一元一次方程时，按照在第2章所学的去括号方法和数与一次式相乘的方法把方程中的括号去掉，这个过程叫作去括号。 去括号的依据：乘法分配律； （5）利用去分母解一元一次方程 去分母的依据：等式性质 2，即方程各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，把方程中各项的系数化成整数。 去分母的一般步骤： ①确定各分母的最小公倍数；②方程两边同乘这个最小公倍数，约去分母。 去分母时的注意事项： ①各项都要乘所有分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项； ②如果分子是一个多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号； ③分母含有小数的应先化小数分母为整数分母，再去分母。依据分数的基本性质。 4、【拓展】有关解方程与方程的辨析 （1）解方程：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程； （2）方程的解：方程的解就是使方程中等号左右两边相等的未知数的值；（注意：只含一个未知数的方程的解也可以叫做方程的根）； （3）判断一个数是不是方程解的方法：把这个数分别代入方程中等号的两边，若等号两边的值相等，则该数是方程的解；反之，则不是方程的解； （4）方程的解和解方程的区别与联系： 区别：方程的解是解方程的结果，是具体的数值，而解方程是一个变形的过程； 联系；解方程的目的是求出方程的解； 1．下列运用等式性质进行的变形，正确的是（     ） A．如果，那么 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．下面是关于x的一元一次方程的求解过程，对于每一步的运算，其中依据表述错误的是（    ） 解方程：． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 方程两边同时除以17，得． A．①分数的基本性质 B．②乘法分配律 C．③等式的基本性质 D．④合并同类项法则 3．下面解方程的过程，你认为正确的是（     ） A．方程，合并，得 B．方程，去括号，得 C．方程，去分母，得 D．方程，系数化为1，得 4．若关于的方程是一元一次方程，则此方程的解是（     ） A． B． C． D． 5．方程的解是 ___________． 6．若，则________． 7．已知方程和关于x的方程的解相同，则k的值为______． 8．若关于的方程是一元一次方程，则______． 9．小马虎在解决关于x的方程时，误将“”看成了“”，得方程的解为，则原方程的解为_____． 10．在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，所以为一元一次方程的“久久方程”． （1）已知关于y的方程：①，②，其中哪个方程是一元一次方程的“久久方程”？请直接写出正确的序号_______； （2）若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“久久方程”，则a的值为_______． 11．下面是小虎同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：去分母，得．(第一步) 去括号，得．(第二步) 移项，得．(第三步) 合并同类项，得．(第四步) 系数化为1，得．(第五步) 问题1：以上解题过程中，第一步是依据_____进行变形的，第二步是依据_____（运算律）进行变形的； 问题2：第_____步开始出现错误的，这一步错误的原因是_______； 问题3：请写出该方程的正确解答过程． 12．已知关于的方程，其中为常数． （1）小明在解这个方程时，误将方程右边的“＋”看成“-”，得到方程的解为，的值为________； （2）若该方程与关于的方程的解互为相反数，求的值； （3）若该方程有正整数解，求整数的最小值． 第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【解析版】 微专题 “3.2 一元一次方程及其解法”的理解与拓展 【沪教版】六年级上册“3.2 一元一次方程及其解法”核心是：认识一元一次方程的概念：只含一个未知数，未知数次数为1，且含未知数的式子都是整式的方程；方程本质是用等式表达等量关系，是算术方法向代数思维的转变； 解一元一次方程的基本思路是化归，通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1这五步，逐步把复杂方程转化为：的最简形式；移项要变号、去括号注意符号，是最容易出错的要点，解题后可代入原方程检验根是否正确； 拓展方面，要区分方程的解与解方程两个概念；遇到含括号、分母的实际问题，先找准等量关系再列方程；同时可以了解：一元一次方程只有一个解；学习本节，不仅要掌握解方程的计算技能，更要学会把生活问题抽象成数学等式，为后续学习二元一次方程、不等式打下基础。 第3章 一元一次方程 3.2 一元一次方程及其解法 1、相关知识准备 （1）方程、解方程、方程的解 含有未知数的等式叫作方程；求方程的解的过程叫作解方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解； （2）相关的等式性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 即：如果，那么（为一个数或一个式子）； 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 即：如果，那么；如果，那么； 【说明】根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； 2、一元一次方程 只含有一个未知数且含有未知数的项是一次项的方程叫作一元一次方程； 一元一次方程的一般形式为：； 3、一元一次方程的解法 （1）求方程的解的过程叫作解方程；一般地，方程中含有括号时，要先去括号，再求方程的解； （2）利用等式性质解简单的一元一次方程的一般步骤： ①去括号； ②移项； ③合并同类项，把方程整理成：的形式； ④两边同除以未知数的系数（或同乘），得到方程的解； 【说明】解以为未知数的一元一次方程方程，就是把方程逐步转化为形如：（为常数）的形式，正确与规范使用等式性质是转化的重要依据； 题型1、判断是否是一元一次方程 例1、已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【提示】利用一元一次方程的定义分析即可，符合定义的就是一元一次方程，反之则不是； 【答案】B； 【解析】有一元一次方程的定义可知： ①，不是；②，是；③，是；④，不是；⑤，是；⑥，不是． 所以，②③⑤是一元一次方程， 故选：B； 【说明】本题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，关键是要掌握其定义； 例2、已知方程是关于的一元一次方程，则的值为______． 【提示】本题考查了一元一次方程的定义以及化简绝对值，含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程为一元一次方程，据此即可作答； 【答案】； 【解析】因为，方程是关于的一元一次方程， 所以，， 则； 【说明】本题考查了判断是否是一元一次方程与一元一次方程的不等式及其隐含条件； 题型2、判断是否是一元一次方程解 例3、小马虎在解决关于的方程时，误把“”看成了“”，得到方程的解为．则原方程的解为（    ） A． B． C． D． 【提示】把代入7a+5x=16得出方程，求出，得出原方程为，求出方程的解即可； 【答案】A； 【解析】由：将代入得： ， 所以，原方程为， ， 所以，原方程的解为， 故选：A； 【说明】本题考查了一元一次方程的解的定义和解一元一次方程．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解； 例 4、代数式的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值： x 0 9 6 3 0 则关于x的方程的解为____________ 【提示】本题主要考查了等式的性质，一元一次方程的解，根据等式的性质得到，再由表格中的数据即可得到答案； 【答案】； 【解析】解：∵， 所以， 由表格可知当时，， 所以，关于x的方程的解为， 故答案为：． 【说明】本题综合考查了一元一次方程的解、等式的性质； 题型3、等式的性质1、2的正确使用 例5、运用等式性质进行的变形、正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【提示】本题考查等式的基本性质．熟悉等式的基本性质：等式两边同时加上、减去、乘或除以（除数不为零）同一个数，等式仍然成立，是解题的关键．选项和的变形符号错误；选项忽略除数不能为零的条件；选项中分母隐含，因此变形正确； 【答案】C； 【解析】解：∵ 等式性质：等式两边同时乘或除以同一个不为零的数，等式仍成立， 所以，对于， 因为， ，且在分母，故， 所以， 两边同乘，得，正确； 对于：由，应得，而非，错误； 对于：由，应得，而非，错误； 对于：若，当时，与不一定相等，错误． 故选：． 【说明】本题考查了等式的性质1、等式的性质2； 例6、下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是 （填序号）． 【提示】本题考查的是等式的基本性质，等式两边同时加(减)同一个数(式子)，结果仍相等；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；应用等式的性质对等式进行变形时，必须注意“同”字，要对等式进行变形，就要保证等式两边始终相等，也就是说，运用等式的性质时，等式两边必须同时进行变形．根据等式的基本性质逐一判断即可； 【答案】①④⑤； 【解析】由：因为，， 所以，，符合等式性质1，故①符合题意； 因为，，， 所以，，故②不符合题意； 因为，， 所以，，故③不符合题意； 因为，， 所以，，符合等式性质2，故④符合题意； 因为，， 所以，，符合等式性质2，故⑤符合题意； 故答案为：①④⑤； 【说明】本题考查了等式的性质1、等式的性质2； 题型4、已知一元一次方程求参数的值 例7、若关于的方程是一元一次方程，则的值为（     ） A．2 B．0 C．2或0 D．1 【提示】根据一元一次方程需满足只含有一个未知数，未知数的次数为，且一次项系数不为求解即可； 【答案】B； 【解析】因为，关于的方程是一元一次方程， 所以，且， 所以，且， 所以，且或， 所以，． 【说明】本题考查了判断是否是一元一次方程与已知一元一次方程求参数； 例8、若是关于x的一元一次方程，则m的值是__________． 【提示】根据一元一次方程的定义，未知数的次数为，且的系数不为，据此列条件求解即可； 【答案】； 【解析】因为，方程是关于的一元一次方程， 所以，且 解得． 【说明】本题考查了判断是否是一元一次方程与已知一元一次方程求参数； 题型5、利用合并同类项与移项解一元一次方程 例9、方程的解为_______． 【提示】注意正确与规范使用等式的性质； 【答案】； 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 故答案为：． 【说明】本题主要考查了解一元一次方程，通过移项和合并同类项求解一元一次方程； 通过移项解一元一次方程的步骤： ①移项； ②合并同类项，把方程整理成 的形式； ③两边同除以未知数的系数 （或乘），得到方程的解 ； 例10、对于方程，解答过程的正确顺序是（    ） ①合并同类项，得．②移项，得．③系数化为1，得． A．①②③ B．③②① C．②①③ D．③①② 【提示】根据一元一次方程的解法步骤：移项、合并同类项、系数化为1，即可解答； 【答案】C； 【解析】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 所以，综上所述，解答过程的正确顺序是②①③． 故选：C． 【说明】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤——合并同类项与移项；是解题的关键； 题型6、利用去括号解一元一次方程 例11、解方程： 【提示】本题主要考查了解一元一次方程．去括号，移项合并同类项，系数化为1，即可求解； 【答案】； 【解析】由： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 【说明】本题考查了利用去括号与等式性质解一元一次方程； 例12、x加上4的和等于x减去14的差的3倍，求x的值． 【提示】关键是先寻找数量关系式列方程、去括号解一元一次方程； 【答案】； 【解析】根据题意，可以列出方程， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 两边同除以的系数，得 ； 所以，原方程的解为：； 【说明】本题考查了列方程，去括号解一元一次方程，根据题意列出方程，求解即可，掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键； 题型7、利用去分母解一元一次方程 例13、在解方程时，在方程的两边同时乘以，去分母正确的是（ ） A． B． C． D． 【提示】根据等式的性质，进行去分母化简即可； 【答案】B； 【解析】由：， 方程的两边同时乘以，得：； 所以，； 故选B； 【说明】本题考查了去分母解一元一次方程； 例14、下面是小张同学解一元一次方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母（方程两边乘6），得．        第一步 去括号，得．                             第二步 移项，得．                               第三步 合并同类项，得．                                    第四步 系数化为1，得．                                       第五步 任务一：以上解方程的过程中，第一步“去分母”的依据是___________． 任务二：第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________ 任务三：请写出该方程正确的解． 【提示】本题考查一元一次方程的求解，等式的性质，根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程求解方程即可； 【答案】等式的性质2；三，移项时没有变号； 【解析】由：任务一：第一步“去分母”方程两边同时乘以6，依据是等式的性质2； 任务二：第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项时没有变号； 任务三：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得，． 【说明】本题考查了去分母解一元一次方程与等式的性质2； 题型8、已知一元一次方程的解求参数 例15、已知关于的方程的解是，则的值为________． 【提示】将代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果； 【答案】； 【解析】因为，方程的解是， 所以，把代入原方程，得：， 整理得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； 【说明】本题考查了利用合并同类项与移项解一元一次方程、已知一元一次方程的解，求参数； 例16、若关于的方程的解是，则的值为__________． 【提示】方程的解满足方程，将代入原方程即可计算出的值； 【答案】； 【解析】因为，是方程的解， 所以，将代入方程得， 整理得， 解得． 【说明】本题考查了利用合并同类项与移项解一元一次方程、已知一元一次方程的解，求参数； 题型9、一元一次方程解的关系的应用 例17、若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（      ） A．4 B．2 C． D． 【提示】两个方程解相同，先求解不含参数的第二个方程，再将解代入第一个方程，即可求出的值； 【答案】A； 【解析】由：解方程得， 因为，两个方程的解相同， 所以，将代入方程得， 解得； 【说明】本题考查了利用合并同类项与移项解一元一次方程、已知一元一次方程的解，求参数、一元一次方程解的关系； 例18、已知方程和方程 有相同的解，那么的值是______． 【提示】分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于的方程，从而可以求出的值； 【答案】； 【解析】由：解方程得：， 解方程得：， 因为，方程和方程有相同的解， 所以，， 解得：； 【说明】本题考查了利用合并同类项与移项解一元一次方程、已知一元一次方程的解，求参数、一元一次方程解的关系； 题型10、绝对值方程 例19、若，则x的值是（      ） A．3 B．1 C．1或3 D．3或 【提示】利用绝对值的意义去掉绝对值符号，转化为一元一次方程求解； 【答案】C； 【解析】因为，， 所以，， 解得或； 【说明】本题考查了绝对值方程、利用合并同类项与移项解一元一次方程； 例20、解答下列问题： （1）若，则__________； （2）若，则__________． 【提示】（1）理解绝对值在数轴上指的是表示数x的点到表示数a的点的距离，从而将代数方程转化为几何距离问题求解； （2）理解绝对值在数轴上指的是表示数x的点到表示数a的点的距离，从而将代数方程转化为几何距离问题求解； 【答案】（1）2；（2）4或 【解析】（1）解：方程的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数5的点的距离等于到表示数的点的距离，这意味着表示x的点是以表示数5和表示数为端点的线段的中点． 中点坐标公式为：， 所以． （2）解：方程的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数3的点的距离与到表示数的点的距离之和等于7． 计算数轴上表示数3的点和表示数的点之间的距离：，因为距离之和7大于这两点间的距离5，所以点x不可能在和3之间，只能在这两点的外侧． 情况一：当点x在3的右侧时，， 此时，， 方程变为： 解得． 检验：，符合题意． 情况二：当点x在的左侧时，， 此时，， 方程变为：， 解得． 检验：，符合题意． 综上所述，x的值为4或． 【说明】本题考查了绝对值的几何意义、绝对值方程； 题型11、与一元一次方程相关的新定义问题 例21、定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______． 【提示】注意阅读理解与转化； 【答案】22； 【解析】解方程，得， 又因为，方程与方程是“和谐方程”， 所以，方程的解为， 把代入，得， 解得． 【说明】本题主要考查了利用合并同类项与移项解一元一次方程、一元一次方程解的关系； 例22、如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”． （1）请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由； （2）若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值． 【提示】（1）分别解出这两个方程的解，看它们的和是否为，即可得到答案； （2）先求出第一个方程的解，再解第二个关于的方程的解，把两个解相加让结果为，再解关于的方程即可； 【答案】（1）这两个方程不是“和解方程”；（2） 【解析】（1）这两个方程不是“和解方程”；理由如下： 解第一个方程， ， 所以，， 解第二个方程， ， 解得：， 因为，， 所以，这两个方程不是“和解方程”． （2）解：解第一个方程：， ， 解得：， 解第二个方程， ， ， 解得， 因为，关于的方程与方程是“和解方程”， 所以，， 所以，； 【说明】本题综合考查了去分母解一元一次方程、已知一元一次方程的解，求参数、一元一次方程解的关系； 1、方程的概念 （1）含有未知数的等式叫做方程； 【说明】方程必须同时具备两个条件：一是等式；二含有未知数； （2）等式性质是解一元一次方程的依据： 两同一不变：①＂两同＂一是等式两边要参与同一种运算，二是加、减、乘或除以（除以的数不为 0 ）的一定是同一个数或式子．②＂一不变＂是指等式变形后仍是等式； 【说明】等式还有其他的一些性质，在解方程中也时常会用到，它们是： ①对称性：如果，那么；即等式的左、右两边交换位置，所得结果仍是等式； ②传递性：如果，且，那么，这条性质也叫作等量代换； （3）判断等式的变形是否正确的方法： 当等式两边加、减或乘同一个数（或式子）时，变形均正确；当等式两边除以同一个数（或式子）时，要先判断这个数（或式子）是否为 0 ，若确定该数（或式子）不为 0，则该变形正确，否则错误； 2、一元一次方程的概念 （1）—元一次方程 ①概念：只含有一个未知数且含有未知数的项是一次项的方程叫作一元一次方程； ②一元一次方程的一般形式：； 【说明】一元一次方程具有如下特点 （1）是一个方程；（2）只含有一个未知数（元）；（3）含有未知数的项是一次项；（4）含未知数的项的系数不为 0；（5）分母不含未知数； （2）判断一个式子是不是一元一次方程的方法 先看这个式子是不是等式，分母是否含有未知数；再看式子是否只含有一个未知数；最后看式子含有未知数的项是不是一次项； 3、解一元一次方程 （1）解一元一次方程的基本思路： 通过适当的变形，把一元一次方程化简为（、为常数，且）的形式，得出方程的解为； （2）利用等式的性质解简单的一元一次方程步骤如下： ①利用等式的基本性质1，将方程左右两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），使方程逐步转化为一边只含有未知数的项，另一边只有常数项的形式； ②利用等式的基本性质2，将方程左右两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知数的系数化为1，从而求得方程的解； ③可将方程的解代入原方程进行检验，可判断解出来的值是否正确； （3）利用移项合并同类项解一元一次方程； 移项：将方程中等号一边的某项改变符号后移到另外一边，这种变形的过程称为移项。两变一不变：位置和符号变化，绝对值不变。 移项的依据：等式性质 1 ，即在方程的两边同时加（或减）同一个适当的数或整式，结果仍然相等。 移项的目的：将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边，使方程更接近 的形式。 通过移项解一元一次方程的步骤： ①移项； ②合并同类项，把方程整理成 的形式； ③两边同除以未知数的系数（或乘），得到方程的解 ； （4）利用去括号解一元一次方程 去括号：解一元一次方程时，按照在第2章所学的去括号方法和数与一次式相乘的方法把方程中的括号去掉，这个过程叫作去括号。 去括号的依据：乘法分配律； （5）利用去分母解一元一次方程 去分母的依据：等式性质 2，即方程各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，把方程中各项的系数化成整数。 去分母的一般步骤： ①确定各分母的最小公倍数；②方程两边同乘这个最小公倍数，约去分母。 去分母时的注意事项： ①各项都要乘所有分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项； ②如果分子是一个多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号； ③分母含有小数的应先化小数分母为整数分母，再去分母。依据分数的基本性质。 4、【拓展】有关解方程与方程的辨析 （1）解方程：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程； （2）方程的解：方程的解就是使方程中等号左右两边相等的未知数的值；（注意：只含一个未知数的方程的解也可以叫做方程的根）； （3）判断一个数是不是方程解的方法：把这个数分别代入方程中等号的两边，若等号两边的值相等，则该数是方程的解；反之，则不是方程的解； （4）方程的解和解方程的区别与联系： 区别：方程的解是解方程的结果，是具体的数值，而解方程是一个变形的过程； 联系；解方程的目的是求出方程的解； 1．下列运用等式性质进行的变形，正确的是（     ） A．如果，那么 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B； 【解析】A. 如果，那么    ，选项错误； B. 若，则，选项正确； C. 若，则，选项错误； D. 若，则当，或，选项错误； 故选：B． 2．下面是关于x的一元一次方程的求解过程，对于每一步的运算，其中依据表述错误的是（    ） 解方程：． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 方程两边同时除以17，得． A．①分数的基本性质 B．②乘法分配律 C．③等式的基本性质 D．④合并同类项法则 【答案】A； 【解析】解：去分母，得，（等式的基本性质）① 去括号，得，（乘法分配律）② 移项，得，（等式的基本性质）③ 合并同类项，得，（合并同类项法则）④ 方程两边同时除以17，得． 依据表述错误的是①， 故选：A． 3．下面解方程的过程，你认为正确的是（     ） A．方程，合并，得 B．方程，去括号，得 C．方程，去分母，得 D．方程，系数化为1，得 【答案】D； 【解析】由：A、方程，合并，得，解得，，原选项表示错误，不符合题意； B、方程，去括号，得，原选项计算错误，不符合题意； C、，去分母，得，原选项计算错误，不符合题意； D、原选项计算正确，符合题意； 故选：D ． 4．若关于的方程是一元一次方程，则此方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A； 【解析】由题意得：，所以， 原方程为：， 解得：， 故选：A 5．方程的解是 ___________． 【答案】； 【解析】由： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 6．若，则________． 【答案】4或； 【解析】因为，， 所以，或， 解方程，得； 解方程，得； 因此或． 7．已知方程和关于x的方程的解相同，则k的值为______． 【答案】3； 【解析】由：方程， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 将代入方程， 得， 即， 解得：， 故答案为：3． 8．若关于的方程是一元一次方程，则______． 【答案】； 【解析】因为，关于的方程是一元一次方程， 所以，二次项系数， 解得， 当时，一次项系数，满足条件． 故答案为：． 9．小马虎在解决关于x的方程时，误将“”看成了“”，得方程的解为，则原方程的解为_____． 【答案】； 【解析】因为，小马虎在解决关于x的方程时，误将“”看成了“”，得方程的解为， 所以，把代入得出方程， 解得：， 即原方程为， 解得． 故答案为：． 10．在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，所以为一元一次方程的“久久方程”． （1）已知关于y的方程：①，②，其中哪个方程是一元一次方程的“久久方程”？请直接写出正确的序号_______； （2）若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“久久方程”，则a的值为_______． 【答案】② ； 或； 【解析】解：解得：； 解得，； 解得：， 而， 所以是一元一次方程的“久久方程”； 故答案为：②； 解：∵， ∴或， 解得：或； 对于，去分母得：， 去括号、移项、合并同类项得：； 由题意，当时，，解得：； 当时，，解得：；     所以或； 故答案为：或． 11．下面是小虎同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：去分母，得．(第一步) 去括号，得．(第二步) 移项，得．(第三步) 合并同类项，得．(第四步) 系数化为1，得．(第五步) 问题1：以上解题过程中，第一步是依据_____进行变形的，第二步是依据_____（运算律）进行变形的； 问题2：第_____步开始出现错误的，这一步错误的原因是_______； 问题3：请写出该方程的正确解答过程． 【答案】问题1：等式的性质2，；乘法分配律；问题2：三；移项没变号； 问题3： 解：去分母，得．(第一步) 去括号，得．(第二步) 移项，得．(第三步) 合并同类项，得．(第四步) 系数化为1，得．(第五步) 【解析】问题1：∵第一步是等式两边同时乘上6， 所以，第一步是依据等式的性质2进行变形的； 因为，第二步去括号过程中，括号前的数值与括号每项相乘， 所以，第二步是依据乘法的分配律进行变形的； 故答案为：等式的性质2，；乘法分配律； 问题2：观察式子，第三步开始出现错误，这一步的错误的原因是移项没变号； 故答案为：三；移项没变号； 问题3：去分母，得．(第一步) 去括号，得．(第二步) 移项，得．(第三步) 合并同类项，得．(第四步) 系数化为1，得．(第五步) 12．已知关于的方程，其中为常数． （1）小明在解这个方程时，误将方程右边的“＋”看成“-”，得到方程的解为，的值为________； （2）若该方程与关于的方程的解互为相反数，求的值； （3）若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【提示】（1）把代入，得到方程，再解方程即可； （2）分别解两个方程，再由解互为相反数建立关于m的方程，再解方程即可； （3）可得是正整数．设（为正整数），因为5和7互质，所以必须是7的倍数，则，即可求解． 【答案】（1）2；（2）；（3）整数的最小值为6； 【解析】（1）由题意，把代入，则 解得； （2） 解得， 解得 由解互为相反数，得， 解得； （3）由（2）可知原方程的解为． 因为方程有正整数解， 所以是正整数． 设（为正整数）． 因为5和7互质， 所以必须是7的倍数，即，． 当时，，此时是正整数， 所以整数的最小值为6． 第20页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $