精品解析：安徽省皖北十三校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三10月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据存在量词命题的否定是全称量词命题判断可得. 【详解】根据存在量词命题的否定规定，修改量词，否定结论，可得命题“，”的否定为“，”. 2. 集合的子集个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】集合， 集合的子集个数为. 3. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以， 又， 所以切线方程为，即. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当时，， 所以单调递增， 所以，所以“”是“”的充分条件； 当时，， 即，， 解得或， 所以“”是“”的不必要条件. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过函数的奇偶性可排除C选项；再通过函数在无定义排除B选项；对AD函数的定义域及单调性均符合，但从右侧的极小值是大于还是小于，可排除A，进而可得正确答案为D. 【详解】通过排除法结合图象特征逐一验证选项： 排除选项C：要使函数有意义，则且，解得且且， 所以函数​的定义域为，定义域关于原点对称， 又因为，所以为偶函数，图象关于轴对称，与图中图象不符，舍去； 排除选项B：要使函数有意义，则，即且， 所以函数的定义域为，显然函数在处有意义， 但原图象中不包括，即在处无意义，不符合题意，舍去； 排除选项A：要使函数有意义，则且，解得且且， 所以函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又因为，所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称， 对求导，， 令，解得或， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 所以函数在处取得极小值，且极小值为，与图中在右侧的极小值大于不符合，舍去； 验证选项D：要使函数有意义，则且，解得且且， 所以函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称， 当时，对函数求导，， 令，解得， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 所以函数在处取得极小值，且极小值为，与图中在右侧的极小值大于符合. 因此的解析式可能是. 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要使函数有意义得，再由绝对值的零点分段法讨论可得. 【详解】要使函数有意义，则， 由绝对值的零点为、、，按这三个点划分区间分段讨论： 当时：去绝对值得，分母恒为，函数无意义，舍去； 当时：去绝对值得， 此区间内分母恒不为，函数有意义； 当时：去绝对值得， 在区间内分母恒不为，函数有意义； 当时：去绝对值得，分母恒为，函数无意义，舍去； 综上，当时，函数有意义，因此函数定义域为. 7. 已知函数（且），若对任意的，，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过已知条件得到，进行化简，进而利用均值不等式求的最小值即可. 【详解】因为函数（且），，，且，即，， 又，， 又，，即， 令，则， 令，则，故上式， 对，有，当且仅当，即时等号成立，所以， 故. 8. 已知，且，设的所有可能值构成的集合为A，则（ ） A. A中有1个元素 B. A中有有限个元素，且元素个数不是1 C. A中有无穷多个元素，且无最大元素 D. A中有无穷多个元素，且有最大元素 【答案】D 【解析】 【分析】等价变形给定等式，再求出集合即可判断得解. 【详解】依题意， ，则或， 当时，， ，当且仅当时取等号， 当时，， 则，， 因此，所以集合有无穷多个元素，且有最大元素1. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A、C，利用作差比较法即可求出答案，对于B、D，取特殊值代入计算即可得出答案. 【详解】对于A，， 因为，所以，， 所以，即，故A正确； 对于B，取，， 此时，， 即，不符题意，故B错误； 对于C，， 因为，所以，， 所以，即，故C正确； 对于D，取，， 此时，， 又，即此时有，不符题意，故D错误. 10. 已知定义在R上的函数满足，函数在区间内有20个零点，则（ ） A. B. 在内有个零点 C. 在内有个零点 D. 在内有个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，令，代入即可得出答案；对于B，因为在区间有20个零点，令，根据的单调性即可得出答案；对于C，设在区间有个零点，在有个零点，根据函数周期性有，在区间和在区间的零点个数相同，求出和；对于D，求在区间的零点个数等价于求在区间的零点个数再减去在区间的零点个数，代入计算即可求解. 【详解】对于A，因为，令，则，代入可得， 故是周期为5的周期函数，A正确； 对于B，因为在区间有20个零点，令， 因为在定义域内单调递增，所以在区间也有20个零点，故B正确； 对于C，将区间按区间长度为5来切割，得到，，，， ，，7个区间，因为是周期为5的周期函数， 所以在，，，，，的零点个数一样， 设在区间有个零点，在有个零点，则有， 所以，所以可能的取值为1，2或3， 当时，， 所以在区间有14个零点，与在区间有1个零点矛盾，舍去； 当时，， 所以在区间有8个零点，与在区间有2个零点矛盾，舍去； 当时，， 所以在区间有2个零点，在区间有3个零点，符合题意，所以C错误； 对于D，因为，， 所以在区间和在区间的零点个数相同， 求在区间的零点个数等价于求在区间的零点个数 再减去在区间的零点个数，即，故D正确. 11. 已知函数的定义域为区间，若，，使得，，且，都有，则称在区间上具有性质．下列说法正确的是（ ） A. 在上具有性质 B. 在上不具有性质 C. 在上具有性质 D. 在上不具有性质 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A直接根据定义判断可得；对B可构造两点，，自变量距离任意小，但函数差恒大于，可得无性质；对C构造两点，，自变量距离可任意小，函数差恒为，不满足性质； 对D构造两点，，自变量距离趋于，但函数差恒为，不一致连续，无性质. 【详解】选项A：在闭区间上，对任意， 有， 对任意，取， 当时，恒有， 因此在上具有性质，A正确； 选项B：在上， 取， ，，当时，， 当充分大时，无论取多小的，可使成立， 但，不满足性质的要求，B正确； 选项C：在开区间上，取， 取，（为足够大的正整数）， 当时，，， 当充分大时，无论取多小的，可使成立， 但，不满足性质，C错误； 选项D：在全体实数上，取​， 无论取多小的，取，，， 当时，， 当充分大时，无论取多小的，可使成立， 但，所以不具有性质，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，函数若，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】，所以，得，所以. 13. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】用倍角公式将函数将换元后转化为二次函数的单调性问题，进而求解. 【详解】， 令，由，可得，且为减函数 则：在区间上单调递减， 等价于在上是增函数， 只需对称轴：，解得. 14. 已知，若，则n的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】同构变形给定等式并构造函数，利用导数确定单调性，把表示为的函数，并利用导数求出最小值. 【详解】依题意，， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 由，得，， 则，令，函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则， 所以n的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的一个极值点是． （1）求的值； （2）求在上的最值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）直接根据函数的极值点是可得，然后检验判断可得； （2）由（1）知，再用导数求函数在闭区间上的最值可得. 【小问1详解】 由题意函数，函数的定义域为， 对函数求导得， 因为函数的一个极值点是， 令，解得. 经检验，当时，， ， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 因此是函数的一个极小值点，符合题意． 综上，. 【小问2详解】 由（1）可知, 所以，，且． 令，解得（舍去）， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 当时，取得极小值，也是最小值． 又，， 显然，所以是函数在上的最大值. 故在上的最大值为，最小值为． 16. 已知函数． （1）求的值域； （2）若函数存在两个不同的零点，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对函数变形后利用指数函数的值域结合不等式的性质可求出函数的值域； （2）由可得或，然后分和两种情况讨论即可. 【小问1详解】 ， 因为，所以， 所以，则， 所以，即， 故的值域为． 【小问2详解】 令，即，解得或． 若，则，因为在R上单调递增， 因为， 所以有唯一零点0，即有唯一零点，不符合题意． 若，因为在R上单调递增且值域为， 所以只需或，解得或． 综上所述，实数m的取值范围为． 17. 已知函数． （1）证明：的图象是轴对称图形； （2）证明：． 【答案】（1）由，可得或． 因为， 所以的图象关于直线对称，故的图象是轴对称图形． （2）令，则且，，所以． 要证，即证，即证． 设函数，则． 设函数，则． 令，可得， 当时，，即单调递减，当时，，即单调递增， 又，故，则在上单调递增． 又因为，所以当时，，，则，即， 当时，，，则，即． 综上所述，． 【解析】 【分析】（1）证明函数轴对称的核心是验证，本题通过代入并利用对数的运算性质化简，证得，从而确定对称轴为；（2）证明函数不等式的核心是换元简化表达式，通过构造辅助函数并利用一阶、二阶导数分析单调性与最值，分区间讨论符号完成证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知函数，． （1）若，讨论的单调性； （2）若关于的不等式恒成立，求的最大值； （3）若存在唯一的正数，使得在上恒成立，求的值． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）直接利用导数判断函数的单调性可得； （2）先用导数求得函数的最大值，进而将问题转化为，再构造函数，，再用导数判断函数单调性及函数的零点，从而可得的最大值； （3）先将不等式化简构造为，先通过端点效应得及，对求导得极值点，根据极值点是否在内分两种情况讨论：当，记，要使恒成立，即且有唯一解，通过导数判断得；当，利用唯一性排除可得. 【小问1详解】 若时，，其定义域为，， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 由题意知，的定义域为，， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以. 要使恒成立，则，即恒成立. 设，，则， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，，不符合；当时，，符合题意. 要使恒成立，则的最大值为. 因此的最大值为. 【小问3详解】 不等式化为在上恒成立． 设． 因为对任意，恒成立， 当，必有，即. 当时，，即，故． ，令，得. 因为函数在上单调递减， 当时，，在上单调递增，在上单调递减， ． 设，． 欲存在唯一的正数，使得，只需，且取得最小值时的值唯一． ，令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以，解得. 当时，，则在上单调递减， 欲满足题意，则，解得，故． 若且给定，显然满足的值不唯一， 若，则满足的为． 但当时，， 由（2）知，当时，均有，故的值不唯一． 若，则，不存在满足. 综上所述，． 19. 已知函数的定义域为，，现有如下定义： ①若，，且，有，则称在上具有“次幂性质”，否则称在上不具有“次幂性质”； ②若，，恒成立，则称在上有上界； ③对于一类函数，若，使得这一类函数中的每一个函数在上的所有取值都小于等于，则称为这一类函数的公共上界． 基于上述定义，完成如下问题： （1）已知函数在上不具有“次幂性质”，求实数的取值范围； （2）已知函数在上具有“次幂性质”，且，其中，比较与的大小关系，并说明理由； （3）将所有在上具有“次幂性质”，且在上有上界的函数归为一类，求这类函数在上的公共上界的取值范围． 【答案】（1） （2）．理由如下： 易知， 则，， 因为， 所以，， 则 （3）． 【解析】 【分析】（1）先假设函数在上具有“次幂性质”，再对函数通过令换元，转化为二次函数在上单调递减，得，再根据补集思想可得结果； （2）直接根据函数具有“次幂性质”得三个不等式，，，再结合不等式性质及放缩可得； （3）先由反证法证明不成立，再由反证法证明不成立，从而可得，最后再通过取反例验证不成立，从而可得的取值范围为. 【小问1详解】 由题意，得． 令，则，．易知与的单调性相反． 假设在上具有“次幂性质”，则函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，且是开口向下的二次函数，对称轴， 所以，解得， 因此当在上不具有“次幂性质”时，实数a的取值范围为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 假设存在，使得，则． 因为在上具有“次幂性质”，所以对任意的，都有． 令，则，且对任意的，都有，与有上界矛盾． 所以若有上界，则对任意的，都有． 假设存在，使得， 则对任意的，都有，故，矛盾． 所以在上具有“次幂性质”的有上界时，恒成立，则均满足题意． 假设存在符合题意，不妨取，， 则在上单调递增，且， 但当时，，矛盾，即不存在满足题意． 故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三10月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 集合的子集个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 3. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（且），若对任意的，，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，设的所有可能值构成的集合为A，则（ ） A. A中有1个元素 B. A中有有限个元素，且元素个数不是1 C. A中有无穷多个元素，且无最大元素 D. A中有无穷多个元素，且有最大元素 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在R上的函数满足，函数在区间内有20个零点，则（ ） A. B. 在内有个零点 C. 在内有个零点 D. 在内有个零点 11. 已知函数的定义域为区间，若，，使得，，且，都有，则称在区间上具有性质．下列说法正确的是（ ） A. 在上具有性质 B. 在上不具有性质 C. 在上具有性质 D. 在上不具有性质 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，函数若，则______． 13. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是________． 14. 已知，若，则n的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的一个极值点是． （1）求的值； （2）求在上的最值． 16. 已知函数． （1）求的值域； （2）若函数存在两个不同的零点，求实数m的取值范围． 17. 已知函数． （1）证明：的图象是轴对称图形； （2）证明：． 18. 已知函数，． （1）若，讨论的单调性； （2）若关于的不等式恒成立，求的最大值； （3）若存在唯一的正数，使得在上恒成立，求的值． 19. 已知函数的定义域为，，现有如下定义： ①若，，且，有，则称在上具有“次幂性质”，否则称在上不具有“次幂性质”； ②若，，恒成立，则称在上有上界； ③对于一类函数，若，使得这一类函数中的每一个函数在上的所有取值都小于等于，则称为这一类函数的公共上界． 基于上述定义，完成如下问题： （1）已知函数在上不具有“次幂性质”，求实数的取值范围； （2）已知函数在上具有“次幂性质”，且，其中，比较与的大小关系，并说明理由； （3）将所有在上具有“次幂性质”，且在上有上界的函数归为一类，求这类函数在上的公共上界的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $