精品解析：河南新乡市新誉佳高级中学等校2026-2027学年高二年级上学期10月月考数学试卷

2026-2027学年上学期新誉佳高中10月月考 高二数学试卷 考试范围：选择性必修第一章；考试时间：120分钟 命题人：邢宝泰 审题人：张秀平 注意事项： 1.答题前填写好本人姓名，班级，考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题五分，共40分，每小题给出的选项中只有一项是符合要求的. 1. 在空间四边形OABC中（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量运算求得正确答案. 【详解】. 2. 点关于平面对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】空间直角坐标系中，点关于平面对称的坐标变换规则如下， 为对称点的横坐标、纵坐标与原坐标相同，竖坐标为原坐标竖坐标的相反数， 已知点，则对称点坐标为. 3. 点，直线AB的一个单位方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，而是与直线平行的非零向量，且模长为1， 所以是直线的一个单位方向向量． 4. 点与点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】、，故 . 5. 已知空间向量，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】因，则， 则． 6. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 直线平面或 C. 直线l与平面所成角为 D. 直线l与平面的垂线平行 【答案】B 【解析】 【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，且， 所以直线平面或. 7. 若空间内一组基底为且四点共面则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】因为是空间内的一组基底，四点共面， 则四点共面向量的性质， 由题可知 8. 在空间直角坐标系中定义平面的一般方程为（A，B，C，），点到平面的距离，则在底面边长与高均为1的正四棱锥中底面中心O到侧面的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出侧面平面方程，再套用题干给出的点到平面距离公式计算． 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则， 令，则，设是平面内任意点，， 故平面的方程：， 故到平面的距离为： ． 二、选择题：本题共3小题，每小题共6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错误的得0分. 9. 下列关于空间向量说法正确的是（ ） A. 空间中任意两个向量都可以共面. B. 若向量共线，则所在直线平行. C. 空间向量的数量积满足交换律： D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【详解】对于选项A：空间中任意两个向量都可以共面，故A正确； 对于选项B：若向量共线，则所在直线平行或重合，故B错误； 对于选项C：空间向量的数量积满足交换律：，故C正确； 对于选项D：例如，，， 满足，但不相等，故D错误. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，若，则存在实数使，比较第二个坐标得，矛盾，故C错误； 对于D，由均为非零向量，且，得，故D正确． 11. 在棱长为2的正方体中，E为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 直线DE与平面所成角的正弦值为 C. 点C到平面的距离为 D. 三棱锥的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量运算分别验证向量点积、线面角正弦值、点到平面距离、三棱锥体积四个结论. 【详解】以D为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 因为棱长为2，所以，，，，. 对于A：，，，A正确； 对于B：平面内的向量，，设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量， 则直线与平面所成角的正弦值为，B错误； 对于C：，点C到平面的距离为，C正确； 对于D：设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， 又，所以， 所以，， 所以，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，则， 且，所以. 13. 若空间向量，且则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用空间向量共线的充要条件，通过对应坐标成比例列方程求解参数、. 【详解】因为，且， 所以，存在实数，使得，即，解得 ， 所以，，. 14. 正方体棱长为2，取AB中点为E，E到平面内一点距离的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式进行求解即可. 【详解】建立空间直角坐标系，如下图所示： ，设点是平面内任意一点，坐标设为， ， 显然当时，有最小值，此时点与点重合； 当时，有最大值，此时点与点重合， 所以E到平面内一点距离的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，与共线，，求： （1）. （2）写出一个与共线的向量. 【答案】（1），. （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线和垂直列方程，求得，进而求得. （2）先求得，进而确定正确答案. 【小问1详解】 由与共线得，所以. 由得，所以. 【小问2详解】 ，所以与共线的向量可以是. 16. 如图，在三棱柱中，M为中点.若，试用表示下列向量. （1）表示 （2）若N是平面的中心，试用表示. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基本定理，结合向量的加减数乘运算求解即可； （2）利用空间向量基本定理，结合向量的加减数乘运算求解即可； 【小问1详解】 解：因为，在三棱柱中，M为中点. 所以，，，， 所以， 【小问2详解】 解：因为是平面的中心，即对角线与的中点， 所以，.， 所以. 17. 在正方体中，棱长为2，为的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系, 由棱长为2，得各点坐标： ，，,，，为中点，故 向量，向量, ,所以，故. （2） 【解析】 【分析】(1)建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，通过计算向量数量积为 0，证明两向量垂直，从而证得线线垂直； (2)求出平面内两个向量，解方程组得到平面法向量，再利用线面角的向量公式，代入直线方向向量与平面法向量，算出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 向量，， 设平面的法向量为，则 令，得平面的一个法向量是, 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知空间四点，. （1）用坐标表示； （2）求证：平面； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）,. （2）， ，， 因为，所以，故 ， 因为，所以，故 ， 因为 ，且平面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）空间向量坐标直接由“终点坐标减起点坐标”计算；（2）线面垂直的证明可转化为向量运算，验证直线向量与平面内两条相交直线的点积均为 0 即可；（3）先求平面的法向量，再由点到平面的距离公式求解. 【小问1详解】 由，得，. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 ，， 设平面的法向量为 ，则 ，得平面的一个法向量为， 取平面内点 ，向量 ，所以， 故点到平面的距离是. 19. 已知四棱锥，底面ABCD是边长为4的正方形，平面ABCD，，E是PB中点. （1）列出四棱锥所在空间中的一组基底； （2）求证：平面AEC； （3）取中点为O，线段PD上是否存在点F使得，平面AEC并说明理由. 【答案】（1）（答案不唯一）； （2）证明：以为原点，、、的方向分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，. ，，. 因为， 所以与、共面， 因为平面，所以平面. （3）线段上不存在这样的点，理由如下： 取中点. 设是线段上一点，（）， 则，. ，，设平面的法向量为， 所以,所以平面的法向量可取. 若平面，则，于是； 由前两式得，由后两式得，两者矛盾，故这样的点不存在. 【解析】 【分析】（1）取三个不共面的向量即可； （2）把用、线性表示，进而判断出平面AEC； （3）求出平面的法向量，设分的比为，由"与法向量共线"列出比例式，发现三式不能同时成立，故不存在. 【小问1详解】 因为、、两两不共面， 所以是四棱锥所在空间的一组基底（答案不唯一）. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期新誉佳高中10月月考 高二数学试卷 考试范围：选择性必修第一章；考试时间：120分钟 命题人：邢宝泰 审题人：张秀平 注意事项： 1.答题前填写好本人姓名，班级，考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题五分，共40分，每小题给出的选项中只有一项是符合要求的. 1. 在空间四边形OABC中（ ） A. B. C. D. 2. 点关于平面对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 点，直线AB的一个单位方向向量为（ ） A. B. C. D. 4. 点与点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 直线平面或 C. 直线l与平面所成角为 D. 直线l与平面的垂线平行 7. 若空间内一组基底为且四点共面则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在空间直角坐标系中定义平面的一般方程为（A，B，C，），点到平面的距离，则在底面边长与高均为1的正四棱锥中底面中心O到侧面的距离等于（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题共6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错误的得0分. 9. 下列关于空间向量说法正确的是（ ） A. 空间中任意两个向量都可以共面. B. 若向量共线，则所在直线平行. C. 空间向量的数量积满足交换律： D. 若，则 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在棱长为2的正方体中，E为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 直线DE与平面所成角的正弦值为 C. 点C到平面的距离为 D. 三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上. 12. 已知，则______. 13. 若空间向量，且则______，______. 14. 正方体棱长为2，取AB中点为E，E到平面内一点距离的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，与共线，，求： （1）. （2）写出一个与共线的向量. 16. 如图，在三棱柱中，M为中点.若，试用表示下列向量. （1）表示 （2）若N是平面的中心，试用表示. 17. 在正方体中，棱长为2，为的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知空间四点，. （1）用坐标表示； （2）求证：平面； （3）求点到平面的距离. 19. 已知四棱锥，底面ABCD是边长为4的正方形，平面ABCD，，E是PB中点. （1）列出四棱锥所在空间中的一组基底； （2）求证：平面AEC； （3）取中点为O，线段PD上是否存在点F使得，平面AEC并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $