2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册期中练习4

高二上册期中复习卷4 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，则等于（    ） A．0 B．-1 C．1 D．2 2．若圆的圆心为，且与轴相切，则圆的方程为（     ） A． B． C． D． 3．已知点和，点在轴上，且为直角，则点的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，，．则的值（   ）. A． B． C． D． 6．已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 7．已知圆C：，直线l：，若圆C上有四个不同的点到直线l的距离为，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．在平面上有等腰直角三角形，为直角顶点，，，，，若，到直线的距离分别为和，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知空间向量，，满足，，，则（     ） A． B． C． D．的最小值为 10．已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A. B.当时，圆与轴相切 C.当，时，直线与圆相切 D.若，则直线被圆所截的弦长最短为4 11．已知点，，，则下列说法正确的是（    ） A．若A、B、C三点共线，则    B．存在实数m，使得 C．若三角形是直角三角形，则或 D．设，当时，三角形与三角形的面积相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在空间直角坐标系中，已知点，若点在平面内，写出一个符合题意的点的坐标__________. 13．与直线平行且与它的距离为的直线的方程为____________________． 14．设为直线上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或推演步骤。 15．已知空间三点，，． (1)若，且分别与，垂直，求向量的坐标； (2)若∥，且，求点P的坐标． 16．已知直线的方程为，直线在轴上的截距为，且. 求直线与的交点坐标； 若直线经过与的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求的方程. 17．已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为． (1)求外接圆的标准方程； (2)若直线过点，且与圆相交截所得弦长为8，求直线的方程． 18．已知直线交y轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B． (1)当时，求切线长； (2)求证：直线恒过定点； (3)记直线与交于点C，，是否为定值？若是，求其值；若不是，请说明理由． 19．如图，四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，是PA的中点，点N是PC的中点． (1)求BM与PC所成角的余弦值； (2)若四棱锥的各顶点都在球的球面上，求与平面PDC所成角正弦值； (3)过点M，N，B的平面与线段PD交于点，求。 高二上册期中复习卷4参考答案 一．单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 参考答案 D A C A A C D A 二．多项选择题 题号 9 10 11 参考答案 BCD BCD AD 三．填空题 12．（答案不唯一） 13． 或 14． 四．解答题 15.解：(1)=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2）．设=（x，y，z）， ∵||=，且分别与、垂直， ∴， 解得，或． ∴=（1，1，1），（﹣1，﹣1，﹣1）． (2)因为∥，所以可设． 因为＝(3，－2，－1)， 所以＝(3λ，－2λ，－λ)． 又因为， 所以， 解得λ＝±2. 所以＝(6，－4，－2)或＝(－6,4,2)． 设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y－2，z－3)． 所以或 解得或 故所求点P的坐标为(6，－2,1)或(－6,6,5)． 16.解：，. 直线的方程为，即. 联立，解得. 直线与的交点坐标为. 当直线经过原点时，可得方程. 当直线不经过原点时，设在轴上的截距为，则在轴上的截距为， 其方程为，把交点坐标代入可得， 解得.可得方程. 综上可得直线的方程为或. 17.解：（1）设，，的中点为， 线段的垂直平分线方程为，的中点为在直线上， ，， ，的斜率为，直线和直线垂直， ，，联立，解得， ，设外接圆的标准方程为， ，，， ，， 外接圆的标准方程为； （2）当直线不存在斜率时，直线的方程为， 圆的标准方程为，则圆心，， 圆心到直线的方程的距离为，， 此时弦长为，符合题意； 当直线存在斜率时，直线的方程为，即， 圆心到直线的方程的距离为， 直线与圆相交截得弦长为，， 直线的方程为，即. 综上可知，直线的方程为或. 18.解：（1）圆的圆心，半径，当时，，则， 因为为圆的切线，所以， 所以； (2)因为，，且， 所以四点共圆，且为直径， 所以该圆圆心为，半径为， 所以圆的方程为：， 因为是该圆和圆的相交弦， 所以直线的方程为两圆方程相减， 即， 化简可得， 所以直线经过定点； （3）因为，所以， 因为在直线上，所以， 即点C在以为直径的圆上，因为，， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为：，圆心为， 因为点C在该圆上，所以为定值． 19.解：（1）取AD中点O，BC中点Z，连接OP，OZ， 因侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为2的正方形，则，， 又平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面，故直线OP，OA，OZ两两垂直， 故以O为原点，OA，OZ，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，，，， ，，，， 故， 故BM与PC所成角的余弦值为． （2）设OZ交BD于点，则球心在过且垂直于平面ABCD的直线上， 则设球心为，又， 所以，解得，即， 故，，， 设平面PCD的法向量为，则，故可取， 设与平面PDC所成角为，则有， 故与平面PDC所成角正弦值为． （3）设，则，且， 因，则，， 因为M，N，B，Q共面，则共面， 故存在唯一实数对，使得， 即， 所以， 解得，所以． ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 其他详解： 1．，故选项D正确. 2．由已知得圆的半径为，故圆的方程为，即． 3．设，则，． 因为为直角，所以， 整理可得，解得或，故点的坐标为或． 4．联立直线与， 可得方程组，解得，即两直线交点坐标为． 直线整理为斜截式为，则该直线斜率为． 已知两条互相垂直的直线斜率乘积为，设所求直线斜率为， 则，解得． 已知所求直线过点，斜率为，代入点斜式方程， 可得，整理为一般式，即． 5，，，，，， ， ， ，，， ， ， ． 6．向量在法向量上的投影向量为， 设向量在平面上的投影向量，由平行四边形法则可得， 故. 7．将圆C化成标准方程为，圆心，半径. 如图所示，使圆上有4个不同的点到直线的距离等于， 则圆心到直线的距离小于， 所以圆心到直线的距离，即，解得，所以实数的取值范围为. 8．以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为三角形为等腰直角三角形，且，所以， 所以直线的直线方程为， 因为，所以，所以， 又，所以，解得. 因为，，所以的轨迹方程为和. 记的中点为，则， 所以， 所以，所以的轨迹方程为. 过分别向直线作垂线，垂足分别为， 则，又因为，所以为直角梯形， 又，为的中点，所以. 则的最大值即为的最大值， 又到直线的距离为， 所以的最大值为，所以的最大值即为. 9．已知，，. 选项A：将两边平方得， 代入数值得，解得，则，故，A错误.选项B：，故，B正确. 选项C：将两边平方得， 代入数值得，解得，故，C正确. 选项D：，最小值为，故的最小值为，D正确. 10．直线：，圆：. A选项，要使圆成立，则，解得：，所以A选项错误； B选项，若，则圆：，表示圆心为，半径为3的圆，所以圆心到轴距离为3，即：圆与轴相切，所以B选项正确； C选项，，时，直线：，即：， 圆：表示圆心为，半径为2的圆，所以圆心到直线的距离为：，和圆半径相等，则直线与圆相切，所以C选项正确； D选项，时，圆：，表示圆心为，半径为3的圆， 此时圆心到直线的距离为：，则， 直线被圆所截的弦长为：， 令，则有解，即：关于的一元二次方程有实根，所以， 解得：，此时，则，所以D选项正确. 11．由题意在直线上，如图， 选项A，则已知，解得，A正确； 选项B，由已知，，， 若存在实数，使得， 则，此方程无解，因此不存在，B错误； 选项C，若三角形是直角三角形， 由图可知若，则，解得， 若，则，解得， 若，则，解得，C错误； 选项D，与不共线，而到直线（即直线）的距离相等， 因此角形与三角形的面积相等，D正确． 故选：AD． 12．点在平面内，所以四点共面，则， 所以， 所以，则， 所以满足即可. 令，满足， 所以符合题意的点的坐标可以为.（答案不唯一） . 13．设所求直线方程为，则，解得或， 14．因为为直线上的任一点，所以设， 由于圆的两条切线，，切点分别为切，， 所以，，则点，在以线段为直径的圆上， 即线段是圆和圆的公共弦， 则圆心的坐标是，且半径的平方是， 所以圆的方程是， 又，两式相减，得， 即公共弦所在的直线方程是，即， 由，解得， 所以直线AB恒过定点. 数学试题 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $