2026-2027学年高二上学期数学人教A版期中数学模拟卷

高中数学人教A版选择性必修一期中模拟试题 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D D C A D D BC BCD 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】可化简为，则圆心为. 2．B 【详解】因，则， 则． 3．D 【详解】由题意可知， 则点到的距离为. 4．D 【分析】利用空间基底的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，因，即，，是共面向量，不能构成空间基底，故A错误； 对于B，因，即，是共面向量， 不能构成空间基底，故B错误； 对于C，因，即是共面向量， 不能构成空间基底，故C错误； 对于D，对于，假若， 则可得，该方程显然无解， 即不是共面向量，能构成空间的一个基底，故D正确. 5．C 【分析】利用所求直线上的点关于轴的对称点在已知直线上，求解即可. 【详解】在所求直线上任取一点， 此点关于轴的对称点在直线上， 代入得，即. 6．A 【详解】设动点， 由动点与两个定点，的距离之比为，即， 所以，即， 整理得，即， 所以动点的轨迹方程为． 7．D 【分析】对截距为和截距不为两种情况，分别设出直线方程利用待定系数法求解. 【详解】当截距为零时，直线过原点，设直线方程为， 因为在直线上，所以，解得， 所以方程为； 当截距不为零时，设直线方程为， 因为在直线上，所以，解得， 所以方程为； 综上所得，直线的方程为或. 8．D 【分析】先整理含参直线方程得到其恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到该定点的距离求解． 【详解】首先将直线的方程整理为：， 由于等式对任意均成立，因此联立方程组，解得， 即直线过定点． 当直线绕点旋转时，点到直线的距离的最大值为点到定点的距离（此时）． 由两点间距离公式得：， 此时，且，则，解得，符合题意， 故点到直线的最大距离是． 9．BC 【详解】先把直线化成斜截式：，斜率. A选项：设倾斜角为，则，，所以倾斜角， A正确； B选项：直线，斜率，，两直线不垂直，B错误； C选项：由点到直线的距离公式得， C错误； D选项：与直线平行的直线斜率为，过点，由点斜式方程得，整理得 ，D正确. 10．BCD 【详解】选项A、若，则， 即， 解得，选项A错误； 选项B、当时，， 解得，选项B正确； 选项C、当时，， 则，选项C正确； 选项D、当时，， ，， 所以，选项D正确． 11．ABD 【分析】A选项可通过分离参数求直线过的定点判断；B先求两直线定点及垂直关系，再用勾股定理求平方和即可判断；C利用参数方程表示和，结合辅助角公式求最大值；D由确定的轨迹为圆，再用圆心到原点的距离减去半径求最小值. 【详解】对于A：由得，故直线恒过定点，故A选项正确； 对于B：由得，故直线恒过定点, 由和, 满足，所以， 所以，则,所以B正确； 对于C：因为, 且，设为锐角, 则, ， 所以, 其中， 所以当时, 取最大值, 故选项C错误； 对于D：由,取中点，所以,所以在以为直径的圆上，圆心为中点，半径， 原点到圆心的距离，故 ，所以D正确. 12． / 【详解】根据两直线间的距离公式可得与间的距离 . 13．/0.4 【分析】建立空间直角坐标系，由异面直线向量法计算即可求解. 【详解】设正方体棱长为，以为原点，为 轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，. 由题意可得，． ， ， 所以， 即异面直线和所成角的余弦值为. 14．9 【分析】根据平行四边形所在直线求交点，以及边长和高，再代入面积公式，即可求解. 【详解】联立，得， 联立，得， 点和两点间的距离为， 又平行线和间的距离为， 所以该平行四边形的面积. 15．(1) (2)或 【分析】（1）由得出两直线的斜率相等，再由点斜式得出直线的方程. （2）先排除直线与轴和轴平行的情况，然后由点斜式设出直线的方程，算出直线在轴上的截距和轴上的截距，列出方程解出斜率，然后求出直线的方程. 【详解】（1）由，， 直线经过点， 直线的方程为， 整理得. （2）当直线的斜率不存在时，直线在轴上没有截距，不满足条件. 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，， 当时，直线在轴上没有截距，不满足条件. 当时，令，， 直线在轴上的截距为， 令，， 直线在轴上的截距为， 由题意得，，或， 直线的方程为或， 整理得或. 16．(1)（i）（ii） (2) 【分析】(i)利用点到直线的距离公式，求圆心到直线的垂线段长度，该值即为直线上的动点到的距离最小值. (ii)先设出满足直线方程的圆心坐标，结合弦长公式推导的半径与弦心距的勾股关系、圆过点的条件联立求解圆心坐标，进而算出半径得到圆的标准方程。 (2)先根据对称点求解规则求出圆关于对称的圆的圆心，再利用垂径定理得，通过向量点积为或斜率乘积为的关系，推导弦中点的轨迹方程. 【详解】（1）i）设圆心，圆心C到的最小距离为， ii）由题意易知半径为． 因为圆C经过点， 所以，解得或，即或， 则圆C的标准方程为． （2）因为圆心在第一象限，故圆心．设圆心关于的对称点为， 则，解得，则， 因为过原点O的直线m交圆于M，N两点，弦MN中点为Q， 当点Q与点O，'都不重合时，，则Q在以为直径的圆上， 显然点O，在此圆上，因此此圆的圆心为，即， 此圆的半径为，则Q轨迹方程为，即． 17．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将直线方程整理为，进而可求定点，再结合圆心坐标和半径，列出等式求解即可； （2）通过讨论直线斜率是否存在，结合弦长公式即可求解； （3）通过讨论直线斜率是否存在，结合圆心到直线的距离等于半径，列出等式即可求解. 【详解】（1） 如图所示，将直线的方程整理为 ， 令，解得，故， 由圆心在直线上可设圆心坐标为，则， 即，解得：， 故圆心坐标为，半径为， 故圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线为，此时圆心到的距离为， 由垂径定理得：弦长为，满足要求； 当直线斜率存在时，设直线为， 圆心到直线即距离为， 由垂径定理得：，解得：， 故直线方程为：即 综上：直线方程为或 （3）当切线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，与圆显然相切，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线斜率为，切线方程为 ，即， 由圆心到切线距离等于半径得，整理得 ，解得，代入得切线方程为， 所以切线方程为或. 18．(1)将直线的方程整理为， 由，解得，所以不论为何实数，直线恒过定点； (2) (3) 【分析】（1）将直线方程化为，联立求定点，即可证； （2）讨论、，结合直线过第四象限的特征列不等式求参数范围； （3）根据已知及截距式得，应用基本不等式、三角形面积公式得面积并确定等号成立条件，联立前提求得，，即可得直线方程. 【详解】（1）略 （2）当时，直线：，不经过第四象限，符合题意；     当时，直线：， 由不经过第四象限可知，解得， 综上，的取值范围为； （3）设直线与轴负半轴交于，与轴负半轴交于，，， 直线的截距式方程为，即， 因为直线恒过，代入得，即， 三角形面积，由，所以，， 当且仅当时等号成立，即， 代入，得，所以，， 此时直线过点，，方程为，化简得， 该直线对应参数，所以直线的方程为. 19．(1)取中点，连接，. 因为为的中点，为中点，所以且， 又，，，， 所以有且.所以四边形为平行四边形. 则，又平面，平面，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）取中点，连接，.可证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和向量，结合向量的距离公式即可求解； （3）由（2）得到平面的一个法向量为，再由平面，得到平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）在中，由，得，所以. 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 又因为，，所以，则. 如图以A为原点，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则. 因为为的中点，所以，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设点到平面的距离为，可得， 所以点到平面的距离为. （3）由（2）中的空间直角坐标系，可得平面的一个法向量为， 又由（2）知平面，所以平面的一个法向量为. 设二面角的平面角的大小为，由图可知二面角为锐二面角. 则， 所以二面角的余弦值为. 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一期中模拟试题 一、单选题 1．圆的圆心坐标为（     ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到的距离为（ ） A．3 B．2 C． D．1 4．已知是空间的一个基底，则下列各组向量中，能构成空间基底的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．与直线关于轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 7．过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 8．点到直线的最大距离是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线，则下列结论错误的是（     ） A．直线的倾斜角是 B．若直线，则 C．点到直线的距离是1 D．过点与直线平行的直线方程是 10．已知空间向量，，则下列选项中正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 11．已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则以下说法正确的是（     ） A．A点的坐标为 B． C．的最大值为5 D．点P到原点O的距离的最小值为 三、填空题 12．直线与直线间的距离为___________． 13．如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是__________． 14．平行四边形的四条边所在直线的方程分别为，，，，则该平行四边形的面积为______． 四、解答题 15．已知点和直线：． (1)若直线经过点，且，求直线的方程； (2)若直线经过点，且在轴上的截距是轴上的截距的4倍，求直线的方程． 16．已知圆经过点，圆心C在直线 上，圆被直线截得的弦长为 (1)若Q为直线上一动点 （i）求的最小值; （ii）求圆C的标准方程； (2)若圆心C在第一象限，且圆C与圆关于直线对称，过原点O的直线m交圆于两点，求弦中点Q的轨迹方程． 17．已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过的直线被圆截得的弦长为，求直线方程． (3)过点引圆的切线，求切线方程． 18．已知直线：． (1)证明：不论为何实数，直线恒过一定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的负半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程． 19．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)求二面角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $