河北省邯郸市永年区第二中学2026-2027学年高二上学期数学期中考试复习专项练习04——椭圆（双曲线）的焦点三角形

期中考试范围——选择性必修一第一章至第三章的双曲线 永年二中高二期中考试复习专项练习04 ——椭圆（双曲线）的焦点三角形 一、单选题 1、【人教A版选择性必修一习题3.1第5题改编】已知P是椭圆上第三象限内的一点，且以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设是椭圆上一点，由面积可得，代入椭圆可得，即可求出坐标. 【详解】由椭圆方程可得，设是椭圆上一点，则，代入椭圆，则，又点P在第三象限，所以点P的坐标为. 2．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式，求出，结合离心率定义，即得答案. 【详解】 如图所示，当点位于上顶点（或下顶点）时，的面积取最大值，因此，由题意得，且，联立得，解得（负值舍去），则，离心率，故A正确. 3．（25-26高二上·上海虹口·期中）椭圆上一点与椭圆的两个焦点，的连线互相垂直，则的面积为（  ） A．24 B．48 C．12 D．96 【答案】A 【分析】结合椭圆的定义与直角三角形的勾股定理，求出两条焦半径的乘积，进而计算焦点三角形的面积. 【详解】对于椭圆，得，，因此，，故,设，,根据椭圆的定义，得，所以, 由，为直角三角形，根据勾股定理得, 即 ，解得,因此的面积. 4、过双曲线的左焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，与的另一条渐近线交于点，且，则的渐近线方程为( B ). A. B. C. D. 【答案】B [解析]如图所示，设直线，为双曲线的渐近线，为右焦点， 由题意可知，因为，所以为的中点，故为等腰三角形，即，故 ，所以直线，直线.故选. 5、已知P是双曲线－＝1(a＞0)上的点，F1，F2是其左、右焦点，且·＝0，若△PF1F2的面积为9，则a等于(　　) A．2　　　　　　　　　 B．1 C．3 D．4 【答案】B [解析]　由·＝0得⊥，由勾股定理得||2＋||2＝||2＝2＝100a2， 由双曲线的定义得|||－|||＝8a，∴64a2＝||2＋||2－2||·||＝100a2－2||·||， ∴||·||＝18a2，则△PF1F2的面积为||·||＝9a2＝9，又∵a＞0，解得a＝1. 6．（25-26高二下·广东韶关·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距，点，在椭圆上且满足，若，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据已知条件及椭圆的定义有，，且，再应用勾股定理列方程求参数值，即可得. 【详解】根据，设，则，，， 因为，所以，在中，有，即①， 在中，，即②， 所以，则，而，故③， ③代入①可得，所以，故，所以椭圆的长轴长为. 7、已知点F为双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，若在双曲线E的右支上存在点P，使得PF中点到原点的距离等于点P到点F的距离，则双曲线E的离心率的取值范围是(　　) A．(1,3)　　　　　　 B．(1,3] C．(1，] D．[，3] 答案：B 解析：设PF中点为M，双曲线E的左焦点为H，由题意知|OM|＝|PF|，当点P异于双曲线E的右顶点时，连接PH，由三角形中位线性质，可得|PH|＝|PF|，且|PH|－|PF|＝2a，则|PF|＝2a，又因为|HF|＝2c，由三角形任意两边之和大于第三边可得，解得1＜＜3. 当点P是双曲线E 的右顶点时，|OM|＝a＋，|PF|＝c－a， 由题意得a＋＝c－a，解得＝3.综上，得1<≤3，即1＜e≤3. 8．（2026·湖南怀化·一模）设为坐标原点，是的左、右焦点，若在双曲线上存在点，满足三角形的面积为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知，双曲线定义和的面积，最后利用双曲线离心率公式计算得到离心率. 【详解】设，双曲线焦点，，由，得，又因为的面积，所以，平方得：，因为在双曲线上，满足，所以，所以 化简得，代入，得：， ，约去得，即,代入得， 因此离心率： . 二、多选题 9．已知双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1为直角三角形，则(　　) A．b＝2＋2 B．双曲线的离心率为＋1 C．双曲线的焦距为2 D．△ABF1的面积为12＋8 答案：BD 解析：如图所示，若△ABF1为直角三角形，由双曲线的对称性可知，AF1⊥BF1，且|AF1|＝|BF1|.设|AF2|＝m，则由双曲线的定义得|AF1|＝|BF1|＝|AF2|＋2a＝2＋m，|AB|＝2m.所以在Rt△ABF1中，由勾股定理，得(2＋m)2＋(2＋m)2＝4m2，解得m＝2＋2，所以|AF1|＝|BF1|＝4＋2，所以△ABF1的面积为|AF1|·|BF1|＝×(4＋2)2＝12＋8，故D正确；|AF1|·|BF1|＝|AB|·|F1F2|，所以|F1F2|＝2＋2，故C不正确；由x2－＝1(b>0)可知，a＝1，c＝1＋，所以b2＝(1＋)2－1＝2＋2，故A不正确；e＝＝1＋，故B正确. 10．（25-26高二上·江苏扬州·期中）椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆离心率为 B．面积的最大值为 C．存在点，使得 D．若点，则的最大值为 【答案】BD 【分析】根据离心率公式直接判断A选项；根据点坐标的范围及焦点三角形面积计算公式可判断B选项；假设存在点使，可知此时点在以为直径的圆上，判断圆与椭圆位置关系即可判断C选项；根据两点间距离公式及点坐标的范围可判断D选项. 【详解】A选项：由椭圆方程可得，，，则离心率，A选项错误； B选项：设点，易知，且，则，所以当时，取得最大值为，B选项正确；C选项：假设存在点使，则此时点在以为直径的圆上，即点在圆上，又在椭圆上，联立，无解，与假设矛盾，所以不存在点使，C选项错误；D选项：，又点在椭圆上，即，所以，又，所以当时，，D选项正确. 11．（2026·广西桂林·一模）已知是双曲线上一点，且，，分别是的左、右焦点，为坐标原点，下列说法正确的有（    ） A．的离心率为 B．若，则的面积为1 C．若，则的取值范围是 D．过的直线与交于A，B两点，若为等腰直角三角形，且，则的斜率为 【答案】BC 【分析】根据双曲线的方程可求出，即可求其离心率，判断A；由可得，结合可求出，利用三角形面积公式可求的面积，判断B；利用向量数量积的坐标运算结合解不等式可判断C；根据双曲线的对称性可判断D. 【详解】对于A，双曲线中，，则， A错误；对于B，，则，是双曲线上一点，则，联立得，解得，则的面积为，B正确；对于C，，故，又，则，故，即，C正确；对于D，过的直线与交于A，B两点，若为等腰直角三角形，且， 则，根据双曲线的对称性可知关于x轴对称，则的斜率不存在，D错误. 三、填空题 12．（2026·山东济南·模拟预测）设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【分析】利用椭圆的定义表示，再结合直角三角形勾股定理建立与的关系，进而求得离心率. 【详解】设，则，，根据椭圆定义，，， 又因为，所以在中，即，解得，则，，则在中，，即，所以 故离心率. 13．（2026·河北石家庄·一模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点，满足，且的面积为，则双曲线的离心率为______. 【答案】/ 【分析】设，由题意可得、，，由此求解即可. 【详解】设， 因为，所以①，又因为为中点，的面积为，所以的面积为，则有，所以②，由双曲线的定义可知③，由①②③，可得，所以， 即，又因为，所以. 14．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为____. 【答案】 【分析】设，利用椭圆的定义表示出、，结合的直角条件，通过勾股定理求出与的关系；再在中用勾股定理建立与的等式，进而推导离心率. 【详解】设，由得，因此.根据椭圆的定义，，，由，可知为直角三角形（直角在），由勾股定理，得，展开并化简：，因，两边除以得，由此可得，，又因为共线，且，所以，即为直角三角形，由勾股定理，得，得， 所以，因此离心率. 四、解答题 15、【人教A版选择性必修一第3.1.1节练习第3题】已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线,交椭圆于两点,是椭圆的左焦点. （1）求的周长; （2）如果不垂直于轴,的周长有变化吗?为什么? 【答案】（1）20；（2）不变，理由见解析 【分析】根据椭圆的定义的周长为求解. 【详解】（1）由椭圆的定义得：， 所以的周长为. （2）不变，由椭圆的定义的周长为.只受a的影响，不受与轴的位置关系影响. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 16．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上． (1)求双曲线的方程；(2)求证：·＝0；(3)求△F1MF2的面积． 解：(1)因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ. 因为双曲线过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为x2－y2＝6. (2)证明：设＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)． 所以·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，因为M点在双曲线上， 所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以·＝0. (3)因为△F1MF2的底边长F1F2＝4.由(2)知m＝±. 所以△F1MF2的高h＝|m|＝，所以S△F1MF2＝×4×＝6. 17．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知椭圆，为Γ的左、右焦点，点A在椭圆Γ上 (1)求的周长；(2)求的取值范围 【答案】(1)；(2) 【分析】利用椭圆定义得椭圆上点到两焦点距离之和为，结合焦距计算三角形周长；将两距离乘积转化为关于单段距离的二次函数，结合距离取值范围求值域. 【详解】（1）由椭圆，得，，故，，因此焦距. 根据椭圆的定义，对任意椭圆上的点，有， 则的周长为： . （2） 由，可得，设，椭圆上点到焦点的距离满足，即. 令，该函数为开口向下的二次函数，对称轴为，属于区间：当时，取最大值；当时，取最小值. 因此，即的取值范围为. 18．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，动圆P与圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心的轨迹为E． (1)求轨迹E的方程； (2)设P为曲线E上一点，且，求（ⅰ）的周长；（ⅱ）的面积． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）核心是利用两圆内外切的距离关系，得到动点到两定点距离之和为定值，用椭圆定义直接写出轨迹方程； （2）结合椭圆定义与余弦定理，整体求出两条焦半径的乘积，再用三角形面积公式求出面积. 【详解】（1）圆：,即，所以圆心，半径， 圆：，即，所以圆心，半径，设动圆圆心， 半径，动圆与内切：，动圆与外切：，两式相加得，，，由椭圆定义得轨迹是以为焦点的椭圆， 且，，，故轨迹的方程是； （2）（i）由为曲线上的点和椭圆的定义得， 故的周长； （ii）在中，，由余弦定理， 得，代入，得， 得，故的面积. 19．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，且经过点，点P在椭圆上， B为上顶点. (1)求椭圆C的方程； (2)求的最大值； (3)求的最大值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由椭圆焦点得值，结合椭圆过已知点联立方程求解参数得椭圆方程； （2）利用椭圆定义得两焦半径和为定值，由基本不等式求乘积最大值； （3）将距离平方转化为关于的二次函数，结合的取值范围求最值. 【详解】（1）由题意得椭圆的焦点为，故，即①. 将点代入椭圆方程得②.将代入②，整理得，解得（负根舍去），故.因此椭圆的方程为. （2）由椭圆定义，对椭圆上任意点，有，且. 由基本不等式得，当且仅当时等号成立，此时为椭圆短轴顶点，符合条件. 故的最大值为. （3）由椭圆方程得上顶点的坐标为，设，，满足， 则，该二次函数开口向下，对称轴为，当时，.故的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $期中考试范围——选择性必修一第一章至第三章的双曲线 永年二中高二期中考试复习专项练习04 ——椭圆（双曲线）的焦点三角形 一、单选题 1、【人教A版选择性必修一习题3.1第5题改编】已知P是椭圆上第三象限内的一点，且以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为 A． B． C． D． 2．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海虹口·期中）椭圆上一点与椭圆的两个焦点，的连线互相垂直，则的面积为（  ） A．24 B．48 C．12 D．96 4、过双曲线的左焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，与的另一条渐近线交于点，且，则的渐近线方程为( B ). A. B. C. D. 5、已知P是双曲线－＝1(a＞0)上的点，F1，F2是其左、右焦点，且·＝0，若△PF1F2的面积为9，则a等于(　　) A．2　　　　　　　　　 B．1 C．3 D．4 6．（25-26高二下·广东韶关·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距，点，在椭圆上且满足，若，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 7、已知点F为双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，若在双曲线E的右支上存在点P，使得PF中点到原点的距离等于点P到点F的距离，则双曲线E的离心率的取值范围是(　　) A．(1,3)　　　　　　 B．(1,3] C．(1，] D．[，3] 答案：B 8．（2026·湖南怀化·一模）设为坐标原点，是的左、右焦点，若在双曲线上存在点，满足三角形的面积为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1为直角三角形，则(　　) A．b＝2＋2 B．双曲线的离心率为＋1 C．双曲线的焦距为2 D．△ABF1的面积为12＋8 10．（25-26高二上·江苏扬州·期中）椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆离心率为 B．面积的最大值为 C．存在点，使得 D．若点，则的最大值为 11．（2026·广西桂林·一模）已知是双曲线上一点，且，，分别是的左、右焦点，为坐标原点，下列说法正确的有（    ） A．的离心率为 B．若，则的面积为1 C．若，则的取值范围是 D．过的直线与交于A，B两点，若为等腰直角三角形，且，则的斜率为 三、填空题 12．（2026·山东济南·模拟预测）设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 13．（2026·河北石家庄·一模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点，满足，且的面积为，则双曲线的离心率为______. 14．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为____. 四、解答题 15、【人教A版选择性必修一第3.1.1节练习第3题】已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线,交椭圆于两点,是椭圆的左焦点. （1）求的周长; （2）如果不垂直于轴,的周长有变化吗?为什么? 16．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上． (1)求双曲线的方程；(2)求证：·＝0；(3)求△F1MF2的面积． 17．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知椭圆，为Γ的左、右焦点，点A在椭圆Γ上 (1)求的周长；(2)求的取值范围 18．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，动圆P与圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心的轨迹为E． (1)求轨迹E的方程； (2)设P为曲线E上一点，且，求（ⅰ）的周长；（ⅱ）的面积． 19．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，且经过点，点P在椭圆上， B为上顶点. (1)求椭圆C的方程； (2)求的最大值； (3)求的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $