26.2.2第1课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+k的图象和性质，通过回顾y=ax²的图象画法，以“这个函数的图象是如何画出来的？”引导学生建立新旧知识联系，明确画图象、掌握性质及理解与y=ax²联系的学习目标。 其亮点在于结合描点法与平移法探究图象，通过典例分析a的符号、k的取值对开口方向、顶点的影响，用表格归纳性质培养推理意识，平移规律“常数项上加下减”帮助学生用数学语言表达关系，提升几何直观与应用能力，教师可高效开展教学，学生能深化对函数的理解。

M A T H E M A T I C S y = ax² + bx + c (General Form) 用函数读世界 用图象写未来 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 数学课件 教 学 设 计 把万物的变化，压缩成一个等式。 —— 笛卡尔 教 学 课 件 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 1 第二十六章 二次函数 26.2.2　二次函数y=ax²+k的图象和性质 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 目录页 新课导入 讲授新课 当堂练习 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 3 新课导入 教学目标 教学重点 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 4 学习目标 1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（重点） 2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（难点） 3.理解y=ax²与 y=ax²+k之间的联系.（重点） 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 x y 这个函数的图象是如何画出来的？ O 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 6 讲授新课 典例精讲 归纳总结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 7 解：先列表： x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· ··· ··· 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象． 例1 10 6 6.5 2.5 4 0 2.5 -1.5 2 -2 2.5 -1.5 4 0 6.5 2.5 10 6 1 二次函数的y=ax2+k的图象和性质(a＞0) 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 描点、连线，画出这两个函数的图象 x O 2 4 2 4 6 8 10 -2 -4 -2 y 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 （0,2） （0,-2） y轴 y轴 想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k(a＞0)的性质是什么？ 观察与思考 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 做一做 在同一平面直角坐标系中画出下列二次函数的图象： 2 二次函数的y=ax2+k的图象和性质(a ＜0) x O 2 4 2 4 -2 -4 -2 y -4 -6 -8 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 ； (2)三条抛物线的开口方向_______; (3)对称轴都是__________； (4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________； 抛物线 向下 直线x=0 ( 0，0) (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________； (6) 函数的增减性都相同： __________________________ _____________________________. 高 大 y=0 对称轴左侧y随x的增大而增大 对称轴右侧y随x的增大而减小 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的性质 y=ax2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0,k） （0,k） 最值 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大. 知识要点 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________. 解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数解析式求出纵坐标为c. c 【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数． 例2 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 解析式 +2 -2 点的坐标 函数对应值表 x … … … … … … … … 2 -1 0 4 -2 0.5 -1.5 2.5 x (x, ) (x, ) (x, ) 从数的角度探究 3 二次函数的y=ax2+k的图象及平移 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 可以发现，把抛物线 向 平移2个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 向 平移2个单位长度，就得到抛物线 . 下 上 从形的角度探究 x O 2 4 2 4 6 8 10 -2 -4 -2 y 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到. 二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图象的关系 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 知识要点 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　) A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位长度得到 B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位长度得到 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位长度得到 D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位长度得到 解析：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位长度得到的．故选D. D 练一练 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？ 2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k ︱个单位长度. 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线. a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标. 想一想 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 已知二次函数y=3x2+k的图象上有A( ，y1)，B(2，y2)，C( ，y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A. y1>y2>y3 B. y2>y1>y3 C. y3>y1>y2 D. y3>y2>y1 D 因为a=3>0，所以图象开口向上，因为对称轴为y轴，所以当x>0时，y随x的增大而增大，因为x1= >0，x2=2>0，x1<x2，所以y1<y2，又 所以点C( ，y3)到对称轴的距离大于点B(2，y2)到对称轴的距离，所以y2<y3，所以y3>y2>y1. 导引： 例3 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 当堂练习 当堂反馈 即学即用 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 21 1 (4分) 选择题 将二次函数y＝－2x2的图象向下平移3个单位长度， 得到新图象的函数解析式是（　） A．y＝－2x2＋3 B．y＝－2x2－3 C．y＝(－2x＋3)2 D．y＝(－2x－3)2 答案 答案：B 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 2 (4分) 选择题 抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝2x2＋1共有的性质是（　） A．开口向上 B．对称轴都是y轴 C．都有最高点 D．顶点都是原点 答案 答案：B 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 3 (4分) 填空题 已知抛物线y＝ 1 2 x2－1， 那么抛物线在y轴右侧部分是________(填“上升的”或“下降的”)． 答案 答案：上升的 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 4 (8分) 解答题 已知二次函数y＝x2－1. (1)写出此函数图象的开口方向、 对称轴和顶点坐标以及随着x的增大，y的变化情况； (2)画出它的图象． 答案 解：(1)抛物线开口向上，顶点坐标为(0，－1)，对称轴为y轴． 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大． (2)在y＝x2－1中，令y＝0，得0＝x2－1. 解得x＝－1或x＝1. 令x＝0，得y＝－1. 结合(1)中的顶点坐标及对称轴，可画出函数图象，图象略． 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 课堂小结 归纳总结 构建脉络 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 26 二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质 图象 性质 与y=ax2的关系 1.开口方向由a的符号决定； 2.k决定顶点位置； 3.对称轴是y轴. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 平移规律： k正向上； k负向下. 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 E N D O F C L A S S · 感谢您的聆听 再会 愿函数与变化之间的探索，成为你日常的乐趣。 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 · 二次函数y=ax²+k的图象和性质 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象和性质 28 $