26.2.1 二次函数y＝ax²的图象和性质 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.2 二次函数的图象和性质 第二十六章 二次函数 26.2.1 二次函数y＝ax2的图象和性质 人教版九年级上册 图中篮球的运动轨迹该怎么用数学规律来描述呢？ 情境导入 x … −3 −2 −1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 画一画：画出二次函数y=x2的图象. 9 4 1 0 1 9 4 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 2. 描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y) 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得 到y = x2 的图象． 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 -3 3 o 3 6 9 当取更多个点时，函数y=x2的图象如下： x y 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫作抛物线. 这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交 点叫作抛物线的顶点. 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. x O y=x2 1.y＝x2是一条抛物线； y 5.图象有最低点． 4.顶点（ 0 ，0 ）； 3.图象关于y轴对称； 2.图象开口向上； 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 问题：观察二次函数y=x2的图象，y随x的如何变化？ (-2,4) (-1,1) (2,4) (1,1) 从二次函数y=x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大． O 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 解：列表如下. x ··· −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 例1 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 描点、连线，如图所示： 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 思考：（1）函数 的图象与函数 的图象相比，有什么共同点和不同点？ （2）当a＞0时，二次函数y = ax2的图象有什么特点？ 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 方法指导：对于抛物线 y = ax2 （a＞0）抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 解：列表如下. x … −3 −2 −1 0 1 2 3 … y=-x2 … 　 　 　 　 　 　 …　 −9 −4 −1 0　 −1 −9 −4 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 x ··· −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· −8 −4.5 −2 −0.5 0 −8 −4.5 −2 −0.5 −8 −4.5 −2 −0.5 0 −8 −4.5 −2 −0.5 x y O −2 2 －2 －4 －6 4 −4 －8 描点、连线，如图所示： 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 思考 （1）从函数 的图象，考虑这些抛物线有什么相同点和不同点. （2）当a＜0时，二次函数y = ax2的图象有什么特点？ x y O −2 2 －2 －4 －6 4 −4 －8 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 方法指导：对于抛物线 y = ax 2 （a＜0）抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小. 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 问题：观察图象，y随x的变化如何变化？ 从二次函数y=-x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小． y 2 4 -2 -4 O -3 -6 -9 x (2,−4) (−2,−4) (3,−9) (−3,−9) y=−x2 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=−ax2（a＞0)的关系是什么？ 二次项系数互为相反数， 开口相反，大小相同，它们关于x轴对称. x y O y=ax2 y=-ax2 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 3.函数y= x2的图象的开口 ，对称轴是 ， 顶点是 ，顶点是抛物线的最 点； 2.函数y=−3x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点； 1.函数y=4x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ； 向上 向下 y轴 y轴 (0，0) (0，0) 4.函数y= −0.2x2的图象的开口 ，对称轴是____，顶点是 . 向上 y轴 (0，0) 向下 y轴 (0，0) 高 低 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 【练一练】 新知探究 19 19 例2 已知二次函数y=x2． （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标； （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？ 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 20 （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ 解：（1）当x=2时，y=x2=4， 所以A（2，4）在二次函数图象上； （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标； （2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，−4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（−2，4）， 点A关于原点O的对称点D的坐标为（−2，−4）； 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 21 （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=−x2的图象上吗？ 当x=−2时，y=x2=4， 所以点C在二次函数y=x2的图象上； 当x=2时，y=−x2=−4， 所以点B在二次函数y=−x2的图象上； 当x=−2时，y=−x2=−4， 所以点D在二次函数y=−x2的图象上． 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 22 例3 已知 y =(m+1)x 是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数解析式. m2+m 解：依题意有： m+1>0 ① m2+m=2 ② 解②得：m1=－2，m2=1 由①得：m>－1 ∴ m=1 此时，二次函数的解析式为 y=2x2. 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 已知 是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k= . 分析： 是二次函数，即二次项的系数不为0，x的次数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此， 解得,k = 2. 2 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 【练一练】 新知探究 24 例4 已知二次函数y＝ax2. (1)若a=2,点(−2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2；(填“> ”“＝”或“< ”) < (2)若a＞0,点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2；(填“> ”“＝”或“< ”) (3)若a＜0,点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________. < y1＞y2＞y3 提示：将x=-2,x=3分别代入y=2x2,得出y1，y2的值，再比较大小 提示：根据a＞0，x＞0时，y随x的增大而_____得出结论 增大 提示：画出草图，在图象上标出y1，y2，y3，直观得出结论 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 新知探究 二次函数 y = ax2 中比较函数值的大小的方法： ① 直接代入法：将x的值分别代入函数解析式中，求出y值再比较大小，多用于a值确定的情况，如例5(1)； ②性质判断法：结合二次函数的性质(增减性)及自变量x之间的大小关系，得出其对应y值的大小关系；多用于自变量x在对称轴同一侧的情况，如例5(2)； ③草图法：画出二次函数的草图，描点，根据图象直接判断y值的大小.多用于a值不确定且x值不在对称轴同侧的情况，如例5(3). 探究点： 二次函数y=ax2的图象和性质 【归纳总结】 新知探究 1. 与抛物线y＝－ x2的开口方向相同的抛物线是（　B　） A. y＝ x2 B. y＝－x2 C. y＝ x2 D. y＝x2 B 随堂练习 2. 有下列二次函数：① y＝3x2；② y＝ x2；③ y＝－ x2.将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（　C　） A. ①②③ B. ①③② C. ②③① D. ②①③ C 3. 已知二次函数y＝ax2与y＝－3x2的图象的开口大小相同，方向相反，则a＝ 　3　. 3　 4. 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2和y＝－2x2的图象，并从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点. 解：图象略　二次函数y＝2x2和y＝－2x2的图象的相同点：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，顶点坐标都是（0，0）；二次函数y＝2x2和y＝－2x2的图象的不同点：y＝2x2图象开口向上，y＝－2x2图象开口向下 5. 已知二次函数y＝（a－1）x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　D　） A. a＞0 B. a＞1 C. a≠1 D. a＜1 6. 已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（－2，y1），B（1，y2）两点，则下列关系式正确的是（　C　） A. y1＞0＞y2 B. y2＞0＞y1 C. y1＞y2＞0 D. y2＞y1＞0 D C 7. （易错题）已知抛物线y＝2x2，当－1≤x≤3时，y的取值范围是 　0≤y≤18　. 8. 已知函数y＝（m＋3） 是关于x的二次函数.当m为何值时，该函数图象的开口向下？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ 0≤y≤18　 解：∵ y＝（m＋3） 是关于x的二次函数，∴ m2－3m－26＝2且m＋3≠0，解得m＝7或m＝－4，即m的值为7或－4.当m＝－4时，m＋3＝－1＜0，函数图象开口向下，∴ 当m为－4时，函数图象开口向下，此时当x＞0时，y随x的增大而减小 9. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　D　） D 10. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心画一个半径为2的圆，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则涂色部分的面积是 　2π　. 2π　 11. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3）.若抛物线y＝ax2与正方形有公共点，则实数a的取值范围是 ≤a≤3　. ≤a≤3　 12. 已知点A（2，8）与点B（－1，k）都在二次函数y＝ax2的图象上. （1） 求a和k的值，并写出该函数图象的对称轴、顶点坐标及开口方向； 解：（1） 由题意，得8＝a·22，解得a＝2.∴ y＝2x2.∴ 当x＝－1时，k＝2×（－1）2＝2.该函数图象的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），开口向上 （2） 求该函数图象上纵坐标为4的点的坐标； 解：（2） 令y＝4，则2x2＝4，解得x1＝ ，x2＝－ .∴ 该函数图象上纵坐标为4的点的坐标为（ ，4），（－ ，4） （3） 判断该函数的图象是否经过点 . 解：（3） 当x＝－ 时，y＝2× ＝ .∴ 该函数的图象经过点 13. 已知抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点（1，b）. （1） 求抛物线对应的函数解析式，并写出顶点坐标和对称轴； 解：（1） 将（1，b）代入y＝2x－3，得b＝－1.将（1，－1）代入y＝ax2，得－1＝a·12，解得a＝－1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－x2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴 （2） 若抛物线与直线交于A，B两点（点A在点B的右侧），连接OA，OB，求△AOB的面积； 解：（2） 令－x2＝2x－3，解得x1＝－3，x2＝1.当x＝－3时，y＝－9；当x＝1时，y＝－1.∴ A（1，－1），B（－3，－9）. ∴ S△AOB＝ ×（1＋9）×[1－（－3）]－ ×3×9－ ×1×1＝6 解：（3） 令点A关于y轴的对称点为A'（－1，－1）.连接BA'并延长，交y轴于点P，易知此时｜PA－PB｜的值最大.设直线A'B对应的函数解析式为y＝kx＋c.将B（－3，－9），A'（－1，－1）代入，得 解得 ∴ 直线A'B对应的函数解析式为y＝4x＋3.当x＝0时，y＝3，∴ 点P的坐标为（0，3） （3） 在（2）的条件下，若点P在y轴上，则当｜PA－PB｜取得最大值时，求点P的坐标. 二次函数y=ax2的图象及性质 画法 描点法 在对称轴两侧对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 课堂小结 $