26.2.2 第2课时 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 26.2.2 第2课时 $\boldsymbol{y=a(x-(\boldsymbol{h}))^2}$ 的图象和性质（人教版） ## 一、图像平移规律 抛物线$\boldsymbol{y=a(x-(\boldsymbol{h}))^2}$是由$\boldsymbol{y=ax^2}$**左右平移**得到 > > **左加右减**（只对x进行变化！） - $((\boldsymbol{h})>0)$：$y=ax^2$ **向右平移$\boldsymbol{(\boldsymbol{h})}$个单位** - $(\boldsymbol{h})<0$：$y=ax^2$ **向左平移$\boldsymbol{|(\boldsymbol{h})|}$个单位** 举例： $y=(x-3)^2$，$(\boldsymbol{h})=3>0$，$y=x^2$向右平移3个单位 $y=(x+2)^2=(x-(-2))^2$，$(\boldsymbol{h})=-2<0$，$y=x^2$向左平移2个单位 ## 二、图像基本特征 解析式：$\boldsymbol{y=a(x-(\boldsymbol{h}))^2\quad(a≠0)}$ 1. 图像：抛物线；$|a|$不变，开口大小不变 2. 对称轴：**直线$\boldsymbol{(x=)(\boldsymbol{h})}$** 3. 顶点坐标：$\boldsymbol{((\boldsymbol{h}),\ 0)}$ ## 三、函数性质 ### ① $\boldsymbol{(\boldsymbol{a>0})}$，开口向上 顶点$((\boldsymbol{h}),0)$是**最低点**，$\boldsymbol{(x=)(\boldsymbol{h})}$时，$\boldsymbol{y_{(\boldsymbol{y_{最小}=0})}=0}$ - $x>(\boldsymbol{h})$：$y$随$x$增大**增大** - $x<(\boldsymbol{h})$：$y$随$x$增大**减小** ### ② $\boldsymbol{(\boldsymbol{a<0})}$，开口向下 顶点$((\boldsymbol{h}),0)$是**最高点**，$\boldsymbol{(x=)(\boldsymbol{h})}$时，$\boldsymbol{y_{(\boldsymbol{y_{最大}=0})}=0}$ - $x>(\boldsymbol{h})$：$y$随$x$增大**减小** - $x<(\boldsymbol{h})$：$y$随$x$增大**增大** > > 记忆要点： > $a$定开口方向、宽窄；$\boldsymbol{(\boldsymbol{h})}$控制顶点左右位置。 ## 四、基础过关 1. 抛物线$y=2(x-4)^2$，开口____，顶点____，对称轴____，当$(x=)$**，(\boldsymbol{y*{最小}=0})值=*_。 2. 抛物线$y=-3(x+5)^2$，开口____，顶点____，对称轴____，当$(x=)$**，(\boldsymbol{y*{最大}=0})值=*_。 3. $y=5x^2$向左平移4个单位，解析式：________。 答案 1. 向上；$(4,0)$；直线$\(x=\)4$；$4$；$0$ 2. 向下；$(-5,0)$；直线$\(x=\)-5$；$-5$；$0$ 3.$y=5(x+4)^2$ ## 五、易错题 判断√/× 1. $y=(x-2)^2$是$y=x^2$向左平移2个单位（×，向右平移2） 2. $y=-2(x+1)^2$顶点是$(-1,0)$，对称轴$(x=)-1$（√） 3. $y=3(x-2)^2$，当$(x>0)$，y随x增大而增大（×，分界是$(x=)2$，不是(x=)0） ## 六、常见题型 1. 找顶点、对称轴、最值； 2. 判断增减区间，比较函数值大小； 3. 左右平移求抛物线解析式； 4. 已知顶点写顶点式。 下一节：$\boldsymbol{y=a(x-(\boldsymbol{h}))^2+k}$ 的图象与性质（顶点式完整版），继续吗？ 人教版（新教材）数学九年级上册 26.2.2(第2课时)二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十六章 二次函数 1 2 3 掌握二次函数的图象特征和性质. 理解二次函数图象之间的平移关系。 通过观察、对比、归纳与的异同，培养学生分析问题和归纳总结的能力. 学习目标 回顾 1.二次函数 与 的图象与性质有什么异同？ 2. 与 有什么关系？ 1.①相同点 都是抛物线，二者的对称轴，开口方向、大小以及增减性完全一致. ②不同点 顶点坐标 ， 顶点坐标 2. 可由 平移得到. 当 时，把抛物线 向上平移 个单位长度； 当 时，把抛物线 向下平移 个单位长度. 情境导入 3 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：先列表： x ··· −3 −2 −1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· 思考：在如图所示的坐标系中，画出二次函数 与 的图象． 9 4 1 0 1 4 9 25 16 9 4 1 0 1 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 向上 y 轴 直线x = 2 (0，0) (2，0) 根据所画图象，填写下表： 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 画出二次函数 的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点． x ··· −3 −2 −1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· 1 0 1 4 9 16 25 25 16 9 4 1 0 1 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 抛物线 开口 方向 对称轴 顶点坐标 向下 x = -2 (−2，0) x = 0 x = 2 向下 向下 (0，0) (2，0) 通过上述例子，得出函数 y = a(x - h)2 的图象特征和性质是什么？ 二次函数 y = a(x - h)2 (a≠0) 的图象和性质 y=a(x-h)2 a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线 x = h 直线 x = h (h，0) (h，0) 当 x = h 时，y最小值 = 0 当 x = h 时，y最大值 = 0 当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x＜h 时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞h 时，y随 x 的增大而减小. 1. 返回 已知二次函数y＝(x－1)2，则它的图象大致为(　　) B 举一反三 9 返回 2. [张家口期末]若抛物线y＝m(x＋2)2的开口向下，则m的值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 A 举一反三 返回 3. 【新考法 逐项判断法】下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝2的是(　　) A．y＝x2－2 B．y＝－x2＋2 C．y＝－(x－2)2 D．y＝(x＋2)2 C 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1) 完成下表； x … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … (2) 在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象． 已知二次函数 y＝ (x﹣2)2． -1 0 1 2 3 -1 2 2 4 1 -2 O x y 3 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (3) 写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； (4) 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？ -1 2 2 4 1 -2 O x y 3 解：对称轴为直线 x = 2. 顶点坐标为 (2，0). 解：当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (5) 若−2≤x≤2，求 y 的取值范围； (6)若 −2≤x≤4，y 的取值范围是什么？ ∵当 −2≤x≤4时，y 的最小值为 0， ∴当−2≤x≤4时，y 的取值范围是 0≤y≤8. -1 2 2 4 1 -2 O x y 3 解：∵当 x<2 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x = -2 时，y =8；当 x = 2 时，y = 0， ∴当 -2≤x≤2 时，y 的取值范围是 0≤y≤8. (7)若y≥0 ，x 的取值范围 是什么？ x为全体实数. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (8) 若抛物线上有两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 且 x1＜x2＜2，试比较 y1 与 y2 的大小． (9) 若点 A(m，y1)，B(m + 1，y2) 在抛物线的图象上，且 m＞2， 试比较 y1，y2 的大小，并说明理由． 解：∵ 当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x1＜x2＜2 时，y1＞y2. 解：∵ m＞2，∴ 2＜m＜m + 1. ∵ 当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大， ∴ y1＜y2. -1 2 2 4 1 -2 O x y 3 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 把抛物线 向 平移 个单位 就得到抛物线 ; 把抛物线 向 平移 个单位 就得到抛物线 . 左 右 2 -8 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 抛物线 有什么关系？ 2 二次函数 y = a(x±h)2 与 y = ax2 (a≠0) 的图象的关系 可以看作互相平移得到 (h > 0)： 左右平移规律： 自变量左加右减，括号外不变. 向右平移 h 个单位 y = a(x - h)2 向左平移 h 个单位 y = ax2 y = a(x + h)2 -8 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 关于二次函数 的图象，下列说法正确吗？ 开口向上 错误.函数 中，二次项系数 ，因此开口向下. 对称轴为直线 错误.顶点式为 ，对称轴为直线 . 可以由 的图象向左平移2个单位得到 向右平移2个单位 当 时，y随x的增大而增大 正确!开口向下时，对称轴左侧 y随x的增大而增大． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知抛物线 的对称轴为直线 ，且过点 ，求抛物线的解析式． 解：∵抛物线 的对称轴是直线 ， ， ∴抛物线解析式为 ， ∵抛物线经过 ， ， 解得 ， 抛物线解析式为 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在直角坐标系中画出函数y＝ (x-3)2的图象． (1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)说明该函数图象与二次函数y＝ x2的图象的关系； (3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小，何时y随 x的增大而增大，何时y有最大(小)值，是多少? -2 2 4 y O -2 2 x 4 -4 解：(1)开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，0）. (2)该函数图象由二次函数y= x2的图象向右平移3个单位得到. (3)当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小，当x=3时，y有最小值，为0. 返回 4. 对于二次函数y＝3(x＋4)2，其图象的顶点坐标为(　　) A．(0，4) B．(0，－4) C．(4，0) D．(－4，0) D 举一反三 二次函数y＝－5(x＋3)2的最大值是(　　) A．0 B．－5 C．3 D．－3 返回 5. A 举一反三 [秦皇岛校级期末]若点A(－1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝(x＋2)2上，则y1，y2的大小关系是(　　) A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2 返回 6. C 举一反三 返回 7. 已知二次函数y＝ (x＋3)2，当x________时，y随x的增大而减小，当x＝________时，函数有最________值，为________． ＜－3 －3 小 0 举一反三 返回 8. 把抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是(　　) A．y＝(x＋2)2 B．y＝(x－2)2 C．y＝x2＋2 D．y＝x2－2 A 举一反三 返回 9. 关于抛物线y＝－3(x－4)2与y＝－3x2的相同点，下列说法错误的是(　　) A．对称轴相同 B．开口方向相同 C．顶点都在x轴上 D．形状相同 A 举一反三 26 返回 10. 将抛物线y＝2x2向______平移______个单位长度，得到抛物线y＝2(x－1)2.抛物线y＝2(x－1)2的对称轴是直线________，顶点坐标是________． 右 1 x＝1 (1，0) 举一反三 27 返回 11. 已知一条抛物线的开口方向和形状与抛物线y＝3x2的都相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2的相同． (1)写出这条抛物线的解析式； (2)将(1)中的抛物线向右平移4个单位长度，写出平移后的抛物线的解析式． 解：(1)这条抛物线的解析式为y＝3(x＋2)2. (2)平移后的抛物线的解析式为y＝3(x－2)2. 举一反三 28 返回 12. 若二次函数y＝2(x－1)2的图象如图所示，则坐标原点可能是(　　) A．点P B．点Q C．点M D．点N B 举一反三 29 13. [廊坊期末]已知抛物线y＝(x－1)2经过点A(－2，t)，B(m，n)．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是(　　) 结论Ⅰ：t的值为9； 结论Ⅱ：若n<9，则m的取值范围是－2<m<4 A．结论Ⅰ，Ⅱ都对 B．结论Ⅰ，Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 A 返回 举一反三 14. 若抛物线y＝ (x－2)2向右平移m个单位长度后经过点(3，3)，则m的值为(　　) A．－2 B．－2或4 C．2或4 D．2或－4 B 返回 举一反三 15. 若点Q(m，n)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y＝a(x－1)2上的是(　　) A．(m，n＋1) B．(m＋1，n) C．(m，n－1) D．(m－1，n) B 返回 举一反三 16. 【新考法 分类讨论法】已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为________． 返回 1或6 举一反三 17. 已知二次函数y＝a(x＋m)2的图象的顶点坐标为(－1，0)，且过点A (1)求这个二次函数的解析式． 返回 举一反三 返回 解：∵二次函数y＝a(x＋m)2的图象的顶点坐标为(－1，0)， ∴m＝1，∴二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2. 举一反三 返回 (2)点B(2，－2)在这个函数图象上吗？若不在，你能通过左、右平移函数图象，使它过点B吗？若能，请写出平移方案． 解：把x＝2代入y＝ (x＋1)2，得y＝ ≠－2. ∴点B(2，－2)不在这个函数图象上． 根据题意，设平移后图象对应的函数解析式为y＝ (x＋1＋n)2. 举一反三 把点B(2，－2)的坐标代入上式，得－2＝ (2＋1＋n)2，解得n＝－1或n＝－5. ∴将原函数图象向右平移1个单位长度或5个单位长度后过点B. 返回 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 平移 二次函数 y=a(x−h)2 (a≠0) 的图象和性质 h＞0，向右平移 h 个单位 y = ax2 (a≠0) 1. 开口方向由 a 的符号决定； 2. 顶点坐标(h,0)； 3. 对称轴是直线x=h. 图象 y = a(x−h)2 (a≠0) h＜0，向左平移 −h 个单位 谢谢观看 THANKS . 把点A的坐标代入y＝a(x＋1)2， 得a(－2＋1)2＝－，解得a＝－， ∴这个二次函数的解析式为y＝－(x＋1)2. － － － － $