26.2.2 第1课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 26.2.2 第1课时 $\boldsymbol{y=ax^2+(\boldsymbol{k})}$ 的图象和性质（人教版） ## 一、图像平移规律 抛物线 $\boldsymbol{y=ax^2+(\boldsymbol{k})}$ 可以由抛物线 $\boldsymbol{y=ax^2}$ **上下平移**得到： > > **上加下减**（只看常数$(\boldsymbol{k})$，针对整个函数） - $((\boldsymbol{k})>0)$：向上平移$\boldsymbol{(\boldsymbol{k})}$个单位； - $(\boldsymbol{k})<0$：向下平移$\boldsymbol{|(\boldsymbol{k})|}$个单位。 例：$y=x^2+3$ 由 $y=x^2$ **向上平移3个单位** $y=x^2-2$ 由 $y=x^2$ **向下平移2个单位** ## 二、图像基本特征 解析式：$\boldsymbol{y=ax^2+(\boldsymbol{k})\ (a≠0)}$ 1. 形状：抛物线；$|a|$不变，开口大小不变； 2. 对称轴：**y轴，直线$\boldsymbol{(\boldsymbol{(x=)0})}$**； 3. 顶点坐标：$\boldsymbol{(0,\ (\boldsymbol{k}))}$。 ## 三、函数性质 ### ① $\boldsymbol{(\boldsymbol{a>0})}$，开口向上 顶点$(0,(\boldsymbol{k}))$是**最低点**，当$\boldsymbol{(\boldsymbol{(x=)0})}$时，$y_{(y_{最小}=k)}=(\boldsymbol{k})$ - $(x>0)$（y轴右侧）：$y$随$x$增大**增大** - $(x<0)$（y轴左侧）：$y$随$x$增大**减小** ### ② $\boldsymbol{(\boldsymbol{a<0})}$，开口向下 顶点$(0,(\boldsymbol{k}))$是**最高点**，当$\boldsymbol{(\boldsymbol{(x=)0})}$时，$y_{(y_{最大}=k)}=(\boldsymbol{k})$ - $(x>0)$（y轴右侧）：$y$随$x$增大**减小** - $(x<0)$（y轴左侧）：$y$随$x$增大**增大** > > 记忆要点： > $a$ 定开口方向与宽窄；$(\boldsymbol{k})$ 控制顶点上下位置。 ## 四、基础过关 1. 抛物线$y=2x^2+5$，开口____，顶点坐标____，对称轴____，当$(x=)$**，(y*{最小}=k)值=*_。 2. 抛物线$y=-3x^2-4$，开口____，顶点坐标____，对称轴____，当$(x=)$**，(y*{最大}=k)值=*_。 3. 将抛物线$y=4x^2$向下平移6个单位，解析式：________。 答案 1. 向上；$(0,5)$；直线$\(\boldsymbol{\(x=\)0}\)$；$0$；$5$ 2. 向下；$(0,-4)$；直线$\(\boldsymbol{\(x=\)0}\)$；$0$；$-4$ 3.$y=4x^2-6$ ## 五、易错题 判断√/× 1. $y=x^2-1$是$y=x^2$向上平移1个单位（×，向下平移1） 2. $y=-2x^2+3$顶点$((0,3))$，有(y_{最大}=k)值3（√） 3. $y=3x^2-5$对称轴是直线$(x=)5$（×，对称轴仍然是$(\boldsymbol{(x=)0})$） ## 六、常见题型 1. 求抛物线顶点、对称轴、最值； 2. 判断增减性，比较函数值大小； 3. 平移变换求解析式； 4. 根据顶点、开口写函数。 下一节：$\boldsymbol{y=a(x-h)^2}$ 的图象与性质，要不要继续？ 人教版（新教材）数学九年级上册 26.2.2(第1课时)二次函数y=ax²+k的图象和性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十六章 二次函数 1 2 3 掌握二次函数 的图象特征和性质； 理解二次函数 与 图象之间的平移关系； 通过类比 的性质研究 的性质，体会类比和从特殊到一般的数学思想. 学习目标 回顾 1.二次函数 的图象是什么形状？ 2.它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？ 3.当 和 时，函数的增减性和最值分别是怎样的？ 图象 抛物线 对称轴 轴 顶点坐标 时，开口向上 开口方向 时，开口向下 时与上述情况相反. 增减性 时 随 增大而减小，时 随 增大而增大； 时， 有最小值 0. 情境导入 3 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在研究了y=ax2的图象和性质之后，我们进一步探讨当b,c不全为0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质.如何研究呢？能否将y=ax2+bx+c转化为类似y=ax2的简单形式? 通过配方，可以将“ax2+bx+c”转化为“a(x−h)2+k”,即将二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a(x−h)2+k的形式.当分别讨论h,k的取值时，就可以建立起y=ax2+bx+c与y=ax2的联系了. 先来讨论当h=0，k≠0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质. 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 x … −3 −2 −1 0 1 2 3 … y=x2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 … y=x2−1 … 8 3 0 −1 0 3 8 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 列表如下： 在同一坐标系内画出二次函数 的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 描点、连线，如图所示： 观察三个函数的图象，归纳出他们的共同点和不同点. 在同一坐标系内画出二次函数 的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 0 −1 −2 −3 −4 −5 y=x2+1 y=x2−1 y=x2 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是____________________； 抛物线 向上 y 轴 (0，1)，(0，0)， (0，−1) (5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最小值分别为____________________； (6) 函数的增减性都相同： ___________________________ ___________________________. 低 小 y = −1 y = 1， 对称轴左侧 y 随 x 增大而减小， 对称轴右侧 y 随 x 增大而增大 y = 0， 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 0 −1 −2 −3 −4 −5 y=x2+1 y=x2−1 y=x2 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 x … −3 −2 −1 0 1 2 3 … y=−x2+1 … −8 −3 0 1 0 −3 −8 … y=−x2−1 … −10 −5 −2 −1 −2 −5 −10 … y=−x2 … −9 −4 −1 −0 −1 −4 −9 … 列表如下： 在同一坐标系内画出二次函数 的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 描点、连线，如图所示： 观察三个函数的图象，归纳出他们的共同点和不同点. 在同一坐标系内画出二次函数 的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. y=−x2−1 y=−x2+1 y=−x2 O −2 2 −2 −4 −6 4 −4 −8 x y 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是____________________； 抛物线 向下 y 轴 (0，1)，(0，0)， (5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为____________________； (6) 函数的增减性都相同： ___________________________ ___________________________. 高 大 y = −1 y = 1 对称轴左侧 y 随 x 增大而增大， 对称轴右侧 y 随 x 增大而减小 y = 0 y=−x2−1 y=−x2+1 y=−x2 O −2 2 −2 −4 −6 4 −4 −8 x y 二次函数 y = ax2(a≠0)的图象的性质 y＝ax2 a > 0 a < 0 图象 开口方向与大小 对称性 顶点与最值 增减性 开口向上 开口向下 | a | 越大，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴是 x＝0 顶点坐标是原点(0，0) 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当 x = 0 时，y最大值 = 0 在对称轴左侧递减，右侧递增 在对称轴左侧递增，右侧递减 x y O x y O 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 y＝ax2+k a>0 a<0 图象 开口 对称性 顶点 增减性 开口向上 开口向下 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称 顶点是最低点 顶点是最高点 在对称轴左侧(x<0)递减 在对称轴右侧(x>0)递增 在对称轴左侧(x<0)递增 在对称轴右侧(x>0)递减 (0,k) 1. 返回 二次函数y＝x2＋1的图象大致是(　　) B 举一反三 13 返回 2. 抛物线y＝－3x2－2的开口(　　) A．向上 B．向右 C．向下 D．向左 C 举一反三 返回 3. 函数y＝2x2－9的图象的顶点坐标和对称轴分别是(　　) A．(－9，0)，直线x＝－9 B．(9，0)，直线x＝9 C．(0，－9)，y轴 D．(0，9)，y轴 C 举一反三 从数的角度探究 解析式 y = x2 y = x2 + 1 y = x2 − 1 +1 −1 点的坐标 函数对应值表 x … −2 −1 0 1 y=x2−1 … y=x2 … y=x2+1 … 4 3 5 1 0 2 1 0 (x， ) (x， ) (x， ) x2−1 x2 x2 + 1 2 −1 0 1 从形的角度探究 可以发现，把抛物线y = x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y = x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 . 下 y = x2 + 1 上 y = x2 − 1 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 0 −1 −2 −3 −4 −5 y=x2+1 y=x2−1 y=x2 归纳总结 二次函数 y = ax2 + k (a≠0)的图象可以由 y = ax2 的图象平移得到： 当 k > 0 时，向上平移 k 个单位长度得到. 当 k < 0 时，向下平移 −k 个单位长度得到. 二次函数 y=ax2+k(a≠0)与 y=ax2(a≠0) 的图象的关系 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知抛物线 过点 和点 . (1)求这个函数的关系式；(2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． (1)解：把点 和点 代入得 ，解得 所以这个函数的关系式为 ； (2)解：这个函数的关系式为 ； ∴对称轴 ， ，∴抛物线开口向下， ∴当 时，函数y随x的增大而减少． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知二次函数y＝ x2＋4. (1)写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值． 解：(1)因为a＝＜0，所以它的图象的开口向下， 对称轴为y轴，顶点坐标为(0，4)， 当x＝0时，y有最大值＝4. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)若点(x1，y1)、(x2，y2)在该二次函数的图象上，且x1＞x2＞0，试比较y1与y2的大小关系． (3)抛物线y＝x2+4可以由抛物线y＝ x2平移得到吗？如果可以，写出平移的方法；如果不可以，请说明理由． 解:(2)因为抛物线的开口向下，对称轴为y轴，所以当x＞0时，y随x的增大而减小． 所以当x1＞x2＞0时， y1＜y2. (3)抛物线y＝x2+4可以由抛物线y＝ x2平移得到， 其平移方法是：将抛物线y＝ x2向上平移4个单位. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 对于二次函数 ，当 时，y的取值范围是___________ 解：∵二次函数 ， ，对称轴为y轴， ∴该函数图象开口向下，当x>0时，y随x的增大而减小， 当x<0时，y随x的增大而增大，当x=0时，y取得最大值4， 当 时， ;当 时， ， ∴当 时，y的取值范围是 ． 注意 求二次函数的取值范围时，需要弄清楚二次函数的开口方向、对称轴和x的取值范围，最好数形结合，一般不能将端点值直接带入求解. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图所示，已知抛物线 ． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； (2)该抛物线可由抛物线 向________平移________个单位得到． (1)解：∵抛物线线解析式为 ， 该抛物线的顶点坐标为 ，开口向下， 令 ，则 ,即该抛物线经过点 和点 ， 令 ，则 ,即该抛物线经过点 和点 ， ∴此抛物线的大致图象如下图所示; (2)解：可由抛物线 向上平移4个单位可得到． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图,是一座抛物线形拱桥,水位在AB位置时,水面宽4米,水位上升3米达到警戒线MN位置时 ,水面宽4米,某年发洪水,水位以每小时0.25米的速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶? x y c 解:以AB为x轴,对称轴为y轴建立直角坐标系, 设抛物线的代数表达式为y=ax2+ c. 则B点坐标为(2,0), N点坐标为(2,3), 故0=24a+c,3=12a+c, 解得a= − ,c=6, 即y= − x2+6. 其顶点为(0,6), (6−3)÷0.25=12小时. 返回 4. 二次函数y＝－5x2－1的最值情况是(　　) A．有最小值－1 B．有最大值－1 C．有最小值5 D．有最大值－5 B 举一反三 [石家庄平山期中]若二次函数y＝－x2＋1的图象过点(1，y1)和(2，y2)，则y1，y2的大小关系为(　　) A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2 返回 5. B 举一反三 【新视角 结论开放题】已知二次函数y＝－x2＋c的图象不经过第一、二象限，请写出一个合适的常数c的值：__________________． 返回 6. －1(答案不唯一) 举一反三 返回 7. 抛物线y＝ax2＋c与y＝－3x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是(0，2)，则该抛物线的解析式是____________． y＝3x2＋2 举一反三 返回 8. 已知二次函数y＝x2－2. (1)写出此函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴及y随x的变化情况； 解：此函数图象的开口向上，顶点坐标为(0，－2)，对称轴为y轴．当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大． 举一反三 返回 (2)当－1≤x≤2时，求y的取值范围． 解：易知当x＝0时，y取得最小值，为－2， 当x＝2时，y取得最大值，为2. 所以当－1≤x≤2时，y的取值范围是－2≤y≤2. 举一反三 返回 9. 将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是(　　) A．y＝x2＋3 B．y＝x2－3 C．y＝(x＋3)2 D．y＝(x－3)2 A 举一反三 31 返回 10. 抛物线y＝－2x2经过平移得到抛物线y＝－2x2－5，则这个平移过程是(　　) A．向左平移5个单位长度 B．向右平移5个单位长度 C．向上平移5个单位长度 D．向下平移5个单位长度 D 举一反三 32 返回 11. [教材P38练习变式]在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数y＝－x2，y＝－x2＋1的图象． (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； 解：如图所示． (1)抛物线y＝－x2：开口向下，对称轴为y轴， 顶点坐标为(0，0)； 抛物线y＝－x2＋1：开口向下，对称轴为y轴， 顶点坐标为(0，1)． 举一反三 33 返回 (2)抛物线y＝－2x2＋3可由抛物线y＝－2x2向________平移________个单位长度得到． 上 3 举一反三 34 返回 12. [秦皇岛期末]在平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2－m的图象如图所示，则坐标原点可能是(　　) A．点D B．点C C．点B D．点A A 举一反三 35 13. 抛物线y＝－x2＋1与y＝－x2－2的不同之处是(　　) A．开口方向 B．对称轴 C．顶点坐标 D．形状 C 返回 举一反三 14. 已知二次函数y＝x2－1，当－2≤x≤1时，函数值y的取值范围是(　　) A．0≤y≤3 B．－1≤y≤0 C．0≤y≤1 D．－1≤y≤3 D 返回 举一反三 15. 已知抛物线y1＝x2－2经过平移后得到抛物线y2＝x2－4，若抛物线y1＝x2－2上任意一点M的坐标是(m，n)，则其在抛物线y2＝x2－4上的对应点M′的坐标一定是(　　) A．(m，n－2) B．(m－2，n) C．(m＋2，n) D．(m，n＋2) A 返回 举一反三 16. 若抛物线y＝ax2＋c与y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＋c＝________． 返回 1 举一反三 17. 如图，抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为________． 返回 －2 举一反三 18. 如图，抛物线y＝－x2＋4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． (1)求A，B，C三点的坐标； 返回 解：在y＝－x2＋4中，令x＝0，则y＝4； 令y＝0，则－x2＋4＝0，解得x1＝2，x2＝－2. ∴A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4)． 举一反三 (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 返回 解：易知AB＝4，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝4，CD∥AB，∴D(－4，4)． 设平移后抛物线的解析式为y＝－x2＋4＋m， 则4＝－(－4)2＋4＋m，解得m＝16， ∴平移后抛物线的解析式为y＝－x2＋20. 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 平移 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 k 正向上 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 y = ax2 (a≠0) 1. 开口方向由 a 的符号决定； 2. k 决定顶点位置； 3. 对称轴是 y 轴 图象 性质 y = ax2 + k (a≠0) k 负向下 谢谢观看 THANKS $