26.2.2 第1课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次函数 \( y = ax^2 + k \) 的图象和性质，通过复习 \( y = ax^2 \) 及配方法解一元二次方程的启发，引导学生建立新旧知识联系，搭建从基础到拓展的学习支架。 其亮点在于采用描点法作图，对比分析 \( a>0 \) 与 \( a<0 \) 时的开口方向、顶点等性质，从数和形的角度探究平移规律“上加下减”，结合例题与当堂反馈。体现数学眼光（几何直观）、数学思维（推理意识），助力学生培养作图与分析能力，为教师提供条理清晰的教学流程。

26.2.2 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质 第1课时 二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质 第26章 二次函数 人教版 九年级（上） 1 1.会画二次函数 y = ax2 + k 的图象.（重点） 2.掌握二次函数 y = ax2 + k 的性质并会应用.（难点） 3.理解 y = ax² 与 y = ax² + k 之间的联系.（重点） 素养目标 在研究了 y = ax² 的图象和性质之后，我们进一步探讨当 b，c 不全为 0 时，二次函数 y = ax² + bx + c 的图象和性质. 如何研究呢？能否将 y = ax² + bx + c 转化为类似 y = ax² 的简单形式? 复习导入 回想一下，上一章是如何通过配方法解一元二程ax² + bx + c = 0 的？由此，你得到了什么启发？ 通过配方，可以将“ax² + bx + c”转化为 “a(x - h)2 + k”的形式，即将二次函数 y = ax² + bx + c 转化为 y = a(x - h)2 + k 的形式.当分别讨论 h，k 的取值时，就可以建立起 y = a(x - h)2 + k 与 y = ax² 的联系了. 先来讨论当 h = 0，k≠0 二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质. 思考 复习导入 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. (2) 抛物线 y = + 2，y = - 2 y = + 2，y = - 2 与抛物线 y = 有什么关系？ 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 新知探究 x ··· −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· ··· ··· 6.5 2.5 4 2.5 2 4 6.5 2.5 0 −1.5 0 −1.5 −2 2.5 解：列表如下： 10 6 10 6 用“描点法”法作图 y=+2 y=-2 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 新知探究 描点、连线，画出这两个函数的图象. y=+2 y=-2 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 新知探究 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 _________________； 抛物线 向上 y 轴 (0，2)， (0，−2) y=+2 y=-2 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 新知探究 (5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最小值分别为_______、________； (6) 函数的增减性的共性： ___________________________ ___________________________. 低 小 −2 2 对称轴左侧 y 随 x 增大而减小， 对称轴右侧 y 随 x 增大而增大 想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + k (a＞0) 的性质是什么？ y=+2 y=-2 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 新知探究 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. (2) 抛物线 y = - + 2，y = - - 2 y = - + 2，y = - - 2 与抛物线 y = - 有什么关系？ 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 新知探究 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 _________________； 抛物线 向下 y 轴 (0，2)， (0，−2) 【想一想】 y=-+2 y=--2 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 新知探究 y=-+2 y=--2 (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、________. (6) 函数的增减性共性： __________________________ ___________________________. 高 大 −2 2 对称轴左侧 y 随 x 增大而增大， 对称轴右侧 y 随 x 增大而减小 想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + k (a＜0) 的性质是什么？ 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 新知探究 【归纳总结】 二次函数 y = ax2 + k (a ≠ 0) 的性质 y = ax2 + k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 y 轴 y 轴 (0，k) 当 x = 0 时，y最小值 = k 当 x = 0 时，y最大值 = k 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 x＜0时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小 (0，k) 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 新知探究 例1 关于二次函数 y = 2x2 + 4，下列说法错误的是 ( ) A．其图象的开口方向向上 B．当 x = 0 时，y 有最大值 4 C．其图象的对称轴是 y 轴 D．其图象的顶点坐标为 (0，4) B 分析：当 x = 0 时，y 有最小值 4 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 新知探究 例2 关于抛物线 y = −x2 + 1 与 y = x2 − 1，下列说法正确的是（　　） A．开口方向相同 B．顶点相同 C．对称轴相同 D．当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大 C 分析： y = −x2 + 1 y = x2 − 1 开口方向： 顶点： 对称轴： 增减性： 向下 向上 (0，1) (0，−1) y 轴 y 轴 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 新知探究 探究点2： 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象及平移 y=+2 y=-2 y= 探究：观察上述图象，说说它们之间的区别与联系. 新知探究 解析式 y = x2 y = x2 + 2 y = x2 − 2 +2 −2 点的坐标 函数对应值表 x … −2 0 2 … … … … … … … 2 4 0 0 2 -2 (x， ) (x， ) (x， ) x2−2 x2 x2 + 2 从数的角度探究 4 2 0 y=+2 y=-2 y= 探究点2： 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象及平移 新知探究 从形的角度探究 可以发现，把抛物线y = x2 向 平移 2 个单位长度，就得到抛物 线 ；把抛物线 y = x2 向 平移 2 个单位长度，就得到抛物线 . 下 y = x2 + 2 上 y = x2 - 2 y=+2 y=-2 y= 探究点2： 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象及平移 新知探究 【想一想】 1. 抛物线 y = ax2 + k (a≠0) 与抛物线 y = ax2 有什么关系？ y = ax2 y = ax2 + k (k＞0) y = ax2 y = ax2 - k (k＞0) 向上平移 k 个单位 向下平移 k 个单位 上下平移规律： 二次项不变，常数项上加下减. 探究点2： 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象及平移 新知探究 1. 将二次函数 y = -2x2﹣2 的图象向上平移 3 个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是 . y = -2x2 + 1　 【链接中考】 2. 抛物线 y = ax2 + k (a≠0) 中的 a 决定什么？k 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ a 决定开口方向和大小，k 决定顶点的纵坐标； 对称轴为 y 轴；顶点坐标为 (0，k). 【想一想】 探究点2： 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象及平移 新知探究 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 图象 性质 与 y = ax2 (a≠0)的关系 1. 开口方向由 a 的符号决定； 2. k 决定顶点位置； 3. 对称轴是 y 轴 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 平移规律： 上加下减 课堂小结 1. 抛物线y＝2x2＋1的顶点坐标是(　B　) A. (2，1) B. (0，1) C. (1，0) D. (1，2) B 当堂反馈 2.将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位长 度，则平移后的二次函数解析式为(　A　) A. y＝x2－1 B. y＝x2＋1 C. y＝(x－1)2 D. y＝(x＋1)2 A 当堂反馈 3.关于二次函数y＝2x2＋3，下列说法正确的是( 　) 草图通关 顶点坐标： ⁠，a 0， 对称轴： ⁠. (0，3)　 ＞　 y轴　 A. 它的图象的开口方向是向下 B. 当x＜－1时，y随x的增大而减小 C. 它的图象的顶点坐标是(2，3) D. 当x＝0时，y有最大值是3 B 当堂反馈 4.已知y＝(m－1)＋6是二次函数. (1)求m的值； 解：(1)由题意可知m－1≠0且m2－m＝2， 解得m1＝2，m2＝－1.即m的值为2或－1. (2)当m为何值时，该函数图象的开口向上？ 解：(2)∵函数图象的开口向上，∴m－1＞0.∴m ＞1. ∴当m＝2时，该函数图象的开口向上. 解：(1)由题意可知m－1≠0且m2－m＝2， 解得m1＝2，m2＝－1.即m的值为2或－1. 解：(2)∵函数图象的开口向上，∴m－1＞0. ∴m＞1. ∴当m＝2时，该函数图象的开口向上. 当堂反馈 5.[作图通关]已知函数y＝－ax＋b的图象如图 所示，请在同一坐标系中画出函数y＝ax2－b的一种 可能的图象. 解：如图所示. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $