26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 26.2.3 二次函数 $\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{y=(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})x^2+(\boldsymbol{b})x+(\boldsymbol{c})}$ 的图象和性质（一般式）人教版 ## 一、一般式化为顶点式（配方法） $$ \(\boldsymbol{b})egin{(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})lign*} y&=(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})x^2+(\boldsymbol{b})x+(\boldsymbol{c}) \ &=(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})\left(x^2+\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){(\boldsymbol{b})}{(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}x\right)+(\boldsymbol{c}) \ &=(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})\left(x+\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){(\boldsymbol{b})}{2(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}\right)^2+\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){4(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c})-(\boldsymbol{b})^2}{4(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})} \end{(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})lign*} $$ 对比顶点式 $y=(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(x-h)^2+k$： $$\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{h=-\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){(\boldsymbol{b})}{2(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})},\qu(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})d k=\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){4(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c})-(\boldsymbol{b})^2}{4(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}}$$ ## 二、图像基本信息 解析式：$\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{y=(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})x^2+(\boldsymbol{b})x+(\boldsymbol{c})\qu(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})d((\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})≠0)}$ 1. 图像：抛物线；$|(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})|$ 决定开口宽窄 2. 开口方向： - $((\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})>0}))$，开口向上 - $((\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})<0}))$，开口向下 3. 对称轴：**直线 $\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{(x=)-\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){(\boldsymbol{b})}{2(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}}$** 4. 顶点坐标：$\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{\left(-\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){(\boldsymbol{b})}{2(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})},\ \dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){4(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c})-(\boldsymbol{b})^2}{4(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}\right)}$ > > 快速记忆：对称轴公式 $\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{(x=)-\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){(\boldsymbol{b})}{2(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}}$，大题经常用！ ## 三、函数增减性与最值 ### ① $\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{((\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})>0}))}$，开口向上 顶点是最低点，当 $\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{(x=)-\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){(\boldsymbol{b})}{2(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}}$ 时，$\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{y_{(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{y_{最小}=\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){4(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c})-(\boldsymbol{b})^2}{4(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}})}=\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){4(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c})-(\boldsymbol{b})^2}{4(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}}$ - $x>-\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){(\boldsymbol{b})}{2(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}$：$y$ 随 $x$ 增大**增大** - $x<-\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){(\boldsymbol{b})}{2(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}$：$y$ 随 $x$ 增大**减小** ### ② $\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{((\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})<0}))}$，开口向下 顶点是最高点，当 $\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{(x=)-\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){(\boldsymbol{b})}{2(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}}$ 时，$\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{y_{(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{y_{最大}=\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){4(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c})-(\boldsymbol{b})^2}{4(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}})}=\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){4(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c})-(\boldsymbol{b})^2}{4(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}}$ - $x>-\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){(\boldsymbol{b})}{2(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}$：$y$ 随 $x$ 增大**减小** - $x<-\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){(\boldsymbol{b})}{2(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}$：$y$ 随 $x$ 增大**增大** ## 四、$((\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a}),(\boldsymbol{b}),(\boldsymbol{c}))$ 的符号判断（高频考点） 1. $\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}$：看开口方向 $((\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})>0}))$向上；$((\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})<0}))$向下 2. $\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{(\boldsymbol{b})}$：看对称轴位置（**左同右异**） 对称轴在y轴左侧，$(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a}),(\boldsymbol{b})$同号；对称轴在y轴右侧，$(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a}),(\boldsymbol{b})$异号 3. $\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{(\boldsymbol{c})}$：抛物线与y轴交点纵坐标 交y轴于$(0,(\boldsymbol{c}))$ - $(\boldsymbol{c})>0$：交点在y轴正半轴 - $(\boldsymbol{c})<0$：交点在y轴负半轴 - $(\boldsymbol{c})=0$：抛物线过原点 ## 五、一般式 ↔ 顶点式互化 1. 一般式→顶点式：**配方法** 例：$y=x^2-4x+1$ $y=(x^2-4x)+1=(x-2)^2-4+1=(x-2)^2-3$ 顶点$(2,-3)$，对称轴$((x=)2)$ 2. 顶点式→一般式：直接展开 $y=2(x+1)^2-5=2(x^2+2x+1)-5=2x^2+4x-3$ ## 六、基础过关 1. 抛物线$y=x^2-2x-3$，$(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})=__$，$(\boldsymbol{b})=__$，$(\boldsymbol{c})=__$；对称轴________；顶点坐标________。 2. $y=-2x^2+4x+1$，开口____；当$(x=)$****时，有最__值=****。 3. 抛物线$y=x^2-6x+5$化成顶点式：________________。 <det(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})ils> <summ(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})ry>答案</summ(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})ry> 1.$1,-2,-3$；直线$(x=)1$；$(1,-4)$ 2.向下；$1$；大；$3$ 3.$y=(x-3)^2-4$ </det(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})ils> ## 七、易错题 判断√/× 1. $y=2x^2-4x+1$对称轴$(x=)\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){(\boldsymbol{b})}{2(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}$（×，是$(x=)-\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){(\boldsymbol{b})}{2(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}$） 2. $((\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})>0}))$，抛物线一定有(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{y_{最小}=\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){4(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c})-(\boldsymbol{b})^2}{4(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}})值（√） 3. $y=x^2-2x$，$(\boldsymbol{c})=0$，抛物线经过原点（√） 4. 对称轴在y轴右侧，则$(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a}),(\boldsymbol{b})$同号（×，左同右异，右侧异号） ## 八、常见题型 1. 求对称轴、顶点坐标、最值（公式法 / 配方法） 2. 配方法把一般式化成顶点式 3. 根据图像判断$(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})、(\boldsymbol{b})、(\boldsymbol{c})$符号（选择题压轴） 4. 判断增减性，比较抛物线上点的函数值大小 5. 一般式与顶点式互相转化 # 练习题 ## 一、填空 1. 抛物线 $y=2x^2-8x+3$，对称轴是________，顶点坐标________。 2. $y=-x^2+4x-1$，当$(x=)$****时，$y$有最____值，是****。 3. 将$y=x^2-2x$化为顶点式：____________。 ## 二、解答题 4. 已知二次函数$y=x^2-4x+2$ (1) 用配方法化为顶点式； (2) 写出开口方向、对称轴、顶点坐标； (3) 当$x$取何值，$y$随$x$增大而减小。 5. 二次函数$y=-2x^2+4x+6$ (1)求顶点、对称轴； (2)求最值。 <det(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})ils> <summ(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})ry>参考答案</summ(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})ry> 1. 直线$((x=)2)$；$(2,-5)$ 2.$2$；大；$3$ 3.$y=(x-1)^2-1$ 4.(1)$y=(x-2)^2-2$ (2)$(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})=1>0$开口向上；对称轴$((x=)2)$；顶点$(2,-2)$ (3)$(x<2)$时，y随x增大而减小 5.(1)对称轴$(x=)1$，顶点$((1,8))$ (2)$(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})=-2<0$，$(x=)1$时(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{y_{最大}=\dfr(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c}){4(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})(\boldsymbol{c})-(\boldsymbol{b})^2}{4(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})}})值$8$ </det(\(\boldsymbol{b})oldsym(\boldsymbol{b})ol{a})ils> 要不要我继续讲**二次函数与一元二次方程**（26.3）？或者单独出一份本节无答案练习卷？ 人教版（新教材）数学九年级上册 26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十六章 二次函数 1 2 3 掌握用配方法将二次函数一般式 转化为顶点式 的方法. 能准确说出二次函数一般式的顶点坐标、对称轴和最值； 会画出二次函数一般式的图象，并能根据图象和解析式分析其性质，培养学生的数形结合能力。 学习目标 回顾 上节课我们学习了二次函数的顶点式 ，你还记得它的图象和性质？ 对称轴 顶点坐标 开口方向 时，开口向上 时，开口向下 最值 时，， 最小值 ； 时，， 最大值 增减性 以基础，左右两边的增减性相反 情境导入 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 顶点坐标 对称轴 最值 y = −2x2 y = −7x2 − 4 y = −2(x + 1)2 y = −2(x + 5)2 − 4 y = (x − 4)2 + 9 y = −3x2 + 8x y = x2 + x − 6 (0，0) y 轴 0 (0，−4) y 轴 −4 (−1，0) 直线 x = −1 0 (−5，−4) 直线 x = −5 −4 (4，9) 直线 x = 4 9 黄色表格中的数据如何求？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 对于二次函数，如何画出它的图象并讨论它的性质？ 配方： 由此可知，抛物线的顶点是点(6，3)，对称轴是直线x＝6. (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某大棚内种植西红柿，经过试验，其单位面积的产量与这个单位面积种植的株数构成一种函数关系.每平方米种植4株时，平均单株产量为2kg；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.25kg.问：每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少？ 解：设每平方米种植x株，产量为y kg. 根据题意，有y=x[2−0.25 (x−4)]. 即y= −0.25x2+3x. 即y=−0.25(x−6)2+9. 当x=6时，y取最大值9. ∴当每平方米种植6株时，能获得最大的产量，最大产量为9kg. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 我们如何用配方法将二次函数的一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 化成顶点式 y = a(x − h)2 + k？ y = ax² + bx + c 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 y=−x2+2x y=−2x2−1 y = 2x2 − 4x + 6 顶点式 y =−(x −1)2 +1 y =−2x −1 y =2(x −1)2 + 4 顶点坐标 (1，4) 对称轴 最值 (1,1) x=1 最大值1 (0,−1) y轴 最大值−1 最小值4 x=1 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 你能画出　　　　　　　 的图象吗？ 如何直接画出　　　　　　　 的图象？ 观察图象，二次函数　　　　　　 的性质是什么？ 6.75 8 8.75 9 8.75 8 6.75 x ... 3 4 5 6 7 8 9 ... y = − x2+3x ... ... 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 O y x 5 10 5 10 20 15 x＝6 结合二次函数 的图象， 说出其增减性. 当x>6时，y随x的增大而增大 当x<6时，y随x的增大而减小 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 因此，抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是 对称轴是直线 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成 y = a(x − h)2 + k 的形式，即 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 如果 a＜0， 当 x＜ 时，y 随 x 的增大而增大； 当x＞ 时，y 随 x 的增大而减小. 如果 a＞0， 当 x＜ 时，y 随 x 的增大而减小；当x＞ 时，y 随 x 的增大而增大. x y O x y O 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 a、b、c 的关系 字母符号 图象的特征 a＞0 开口___________ a＜0 开口___________ b = 0 对称轴为_____轴 a、b 同号 对称轴在 y 轴的____侧 a、b 异号 对称轴在 y 轴的____侧 c = 0 经过原点 c ＞ 0 与 y 轴交于_____半轴 c ＜ 0 与 y 轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 1. 返回 用配方法将二次函数y＝x2－8x－3化成y＝a(x－h)2＋k的形式为(　　) A．y＝(x＋4)2－3 B．y＝(x＋4)2－7 C．y＝(x－4)2－13 D．y＝(x－4)2－19 D 举一反三 14 返回 2. 若y＝ax2＋bx可配方为y＝－2(x－2)2＋8，则a＝______，b＝______． －2 8 举一反三 返回 3. 抛物线y＝ x2＋5x－3的对称轴是直线______，顶点坐标为________． x＝5 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 −16 −6 0 2 0 −6 −16 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质. 解：将函数 配方，得 先列表： x ... −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 ... y = −2x2 −12x−16 ... ... 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 然后描点、连线，得到图象如右图. 由图象可知，这个函数具有如下性质： 当 x＜−3 时，函数值 y 随x 的增大而增大； 当 x＞−3 时，函数值 y 随x 的增大而减小； 当 x = −3 时，函数取得最大值，最大值为 2. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知抛物线 y = 2x2 − 12x + 10. (1)当 x 为何值时，y 有最小值？最小值是多少？ (2)当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？ (3)将该抛物线向左平移 3个单位长度，再向上平移 7个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式. 解：∵ y = 2x2 − 12x + 10 = 2(x − 3)2 − 8， ∴抛物线开口向上，顶点为(3，−8)，对称轴为直线x = 3. (1)当 x = 3 时，y 有最小值，最小值为 −8. (2)当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小. (3)新抛物线的解析式为 y = 2x 2 − 1． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知函数 (b，c为常数)的图象经过点 ， ． (1)求b,c的值．(2)当 时，求y的最大值． (1)解：将 ， 代入， 得 ，解得 ； (2)解：由(1)得 ，抛物线开口向下，对称轴为直线 ， 当 时， 时，y取最大值， 将x=−3代入，得 ，∴y的最大值为6. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 由于当 x＞2 时，y 的值随 x 值的增大而减小，∴ 抛物线的对称轴应在直线 x = 2 处或其左侧. 已知二次函数 y =−x2＋4bx＋c，当 x＞2 时，y 的值随 x 值的增大而减小，求实数 b 的取值范围. ∴ 2b≤2，b≤1. 如图所示. 解：∵ 二次项系数−1＜0， ∴ 抛物线开口向下，对称轴为 x y O b 1 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知二次函数 y = x2 − 4x − 1． (1) 将函数 y = x2 − 4x − 1 的解析式化为 y = a(x + m)2 + k 的形式，并指出该函数图象的顶点 B 的坐标； 解：y = x2 − 4x − 1 = (x − 2)2 − 5， 该函数图象的顶点 B 的坐标为 (2，−5). 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2) 在平面直角坐标系 xOy 中，设抛物线 y = x2 − 4x − 1与 y 轴交点为 C，抛物线的对称轴与 x 轴交点为 A，求四边形 OABC 的面积． 解：如图，令 x = 0，则 y = −1， ∴ OC = 1. ∵ B (2，−5)， ∴ OA = 2，AB = 5. ∴ S四边形OABC = 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)解：将点 ， 代入， 得 ，解得 ， 二次函数的解析式为 ； 如图，二次函数 的图象经过坐标原点，与x轴交于点 ． (1)求二次函数的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标； (2)解：∵ ， 抛物线的顶点坐标为 ； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (3)在抛物线上存在点P，满足 ，请直接写出点P的坐标． (3)解： ， ，设点P到x轴的距离为h，则 ， 解得h=4， ①当点P在x轴上方时， ，解得 ，∴点P的坐标为 ； ②当点P在x轴下方时， ，解得 ， ， 点的坐标为 或 ； 综上所述，点的坐标是 或 或 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论： ①abc＞0；②2a−b＜0；③4a−2b＋c>0；④(a＋c)2>b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 解：由图象开口向下可得 a＜0， 由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0， 由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0， 则 abc＞0，故①正确； 由对称轴 x = >−1 可得 2a−b＜0，故②正确； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 则 (a＋b＋c)(a−b＋c)＜0， 即 (a＋c)2−b2＜0，所以 (a＋c)2＜b2， 故④错误．综上所述，①②正确. 故选 B. 由图象上横坐标为−2 的点在第三象限可得 4a−2b＋c＜0，故③错误； 由图象上横坐标为 1 的点在第四象限得 a＋b＋c＜0， 由图象上横坐标为−1 的点在第二象限得 a−b＋c＞0， ③ 4a−2b＋c＜0 ④ (a＋c)2＜b2 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象中常见的表达式 表达式 含义 a＋b＋c 当x=1时得函数值 a−b＋c 当x=−1时得函数值 4a＋2b＋c 当x=2时得函数值 4a−2b＋c 当x=−2时得函数值 9a＋3b＋c 当x=3时得函数值 9a−3b＋c 当x=−3时得函数值 返回 4. 二次函数y＝x2＋2x＋1的图象大致是(　　) B 举一反三 已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是(　　) A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2 返回 5. B 举一反三 [邯郸峰峰矿区期中]如果二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，那么c的值为(　　) A．2 B．4 C．－2 D．8 返回 6. B 举一反三 返回 7. 若点(2，5)，(6，5)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的两个点，则它的对称轴是(　　) A．直线x＝1 B．直线x＝2 C．直线x＝3 D．直线x＝4 D 举一反三 返回 8. [深圳一模]已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为 常数)的图象经过点(0，－3)，(－1，0)． (1)b＝________，c＝________； (2)该二次函数图象的顶点坐标为________； (3)在如图所示的直角坐标系中画出该二次函数的图象； (4)当－1<x<2时，y的取值范围是________． －2 －3 (1，－4) 解：如图所示． －4≤y<0 举一反三 返回 9. [南通中考]将抛物线y＝x2＋2x－1向右平移3个单位长度后得到新抛物线的顶点坐标为(　　) A．(－4，－1) B．(－4，2) C．(2，1) D．(2，－2) D 举一反三 34 返回 10. 将抛物线y＝(x＋1)2＋1平移后得到抛物线y＝x2＋6x＋6，则需将原抛物线先向左平移________个单位长度，再向________平移________个单位长度． 2 下 4 举一反三 35 11. 二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝x＋b的图象一定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D 返回 举一反三 36 返回 12. [安徽中考]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则(　　) A．abc<0 B．2a＋b<0 C．2b－c<0 D．a－b＋c<0 C 举一反三 37 13. [广州中考]在平面直角坐标系中，点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝ax2－2ax(a>0)上，则下列结论中正确的是(　　) A．当x1<0且y1·y2<0时，0<x2<2 B．当x1<x2<1时，y1<y2 C．当x1<0且y1·y2>0时，0<x2<2 D．当x1>x2>1时，y1<y2 A 返回 举一反三 14. 【新考法 整体思想】将抛物线y＝ax2＋bx＋3向下平移5个单位长度后，经过点(－2，4)，则6a－3b－7＝________． 返回 2 举一反三 15. 如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3)． (1)求a的值． 返回 解：把点P(－2，3)的坐标代入y＝x2＋ax＋3， 得3＝(－2)2－2a＋3，解得a＝2. 举一反三 (2)点Q(m，n)在该二次函数图象上． ①当m＝2时，求n的值； ②若点Q到y轴的距离小于2，直接写出n的取值范围． 解：∵a＝2，∴y＝x2＋2x＋3. 把x＝2代入y＝x2＋2x＋3，得y＝11， ∴当m＝2时，n＝11. 返回 解：2≤n＜11. 举一反三 16. 【新考法 分类讨论思想】[北京中考]在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2a2x(a≠0)． (1)当a＝1时，求抛物线的顶点坐标； 返回 解：把a＝1代入y＝ax2－2a2x，得y＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∴抛物线的顶点坐标为(1，－1)． 举一反三 (2)已知M(x1，y1)和N(x2，y2)是抛物线上的两点．若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1<y2，求a的取值范围． 解：由题意，得抛物线的对称轴是直线x＝ 当a>0时，如图①，此时3a<3，解得a<1.又∵a>0，∴0<a<1； 当a<0时，如图②，此时－a>4， 解得a<－4.又∵a<0，∴a<－4. 综上所述，a的取值范围为0<a<1或a<－4. 返回 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 顶点坐标 二次函y=ax²+bx+c 的图象和性质 y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 ) 一般式 顶点式 对称轴 配方法 公式法 性质 谢谢观看 THANKS － －＝a. $